Chapitre 2 Contexte théorique
2.1 Principe de fonctionnement et algorithmes TRP
La méthode du positionnement relatif temporel TRP a été proposée pour la première fois par Ulmer et al. (1995) dans le cadre d’un projet militaire qui avait pour objectif la détermination avec précision de l’azimut et de l’angle de tangage d’un système de pointage d’arme en utilisant un seul récepteur militaire GPS précis et léger (PLGR).
Trois projets de recherche portant sur cette technique ont été réalisés au sein du Département des sciences géomatiques de l’Université Laval. Le premier projet de Stéphanie Michaud (Michaud, 2000) s’orientait vers l’utilisation du positionnement TRP pour la détermination des coordonnées d’une station inconnue en partant de celles d’une station de référence et en utilisant les éphémérides et corrections
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d’horloges précises de la constellation GPS et GLONASS. Le deuxième projet est celui de Nicolas Balard (2003) qui avait pour but l’amélioration de la qualité du positionnement relatif temporel TRP en utilisant la méthode de correction par fermeture de cheminement.
En 2011, Valérie Kirouac a évalué l’impact de l’intégration des corrections GPS•C (semblable au WAAS américain) sur l’amélioration de la qualité de la méthode TRP. L’objectif principal du projet était d’utiliser le TRP sur de longs intervalles de temps afin de complémenter la solution PPP conventionnel.
Le principe de fonctionnement du positionnement relatif temporel consiste en la détermination du déplacement d’un seul récepteur entre deux époques en partant d’un point de coordonnées connues. Le calcul de ce déplacement repose sur la différence temporelle entre les mesures de phase des deux époques (1 et 2) sur un même satellite selon le modèle mathématique suivant :
δ𝜑12 = 𝜑2− 𝜑1 = δ𝜌12+ cδd𝑡12− cδd𝑇12− δ𝑑𝑖𝑜𝑛12+
δ𝑑𝑡𝑟𝑜𝑝12+ δε
(2.1)
Le symbole δ réfère à la différence temporelle entre l’époque 2 et l’époque 1. δ𝜑12 (m) est la différence temporelle entre la mesure de phase à l’époque 2 et la mesure de phase à l’époque 1. Le symbole 𝜌 (m) désigne la distance géométrique entre le satellite observé au temps de transmission et le récepteur au temps de réception. d𝑡 (s) et d𝑇 (s) sont, respectivement, l’erreur d’horloge du satellite et l’erreur de l’horloge du récepteur et c (m/s) est la vitesse de la lumière dans le vide. Les symboles 𝑑𝑖𝑜𝑛 (m) et 𝑑𝑡𝑟𝑜𝑝 (m) correspondent aux délais ionosphérique et troposphérique. Finalement, ε (m) réfère au bruit de l’observation de phase et aux erreurs résiduelles non modélisées.
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L’avantage majeur de la différence temporelle consiste en l’annulation de l’ambiguïté 𝑁 qui reste invariable entre deux époques, sauf s’il y a un saut de cycle entre ces deux époques. Dans ce cas, la mesure du déplacement sera erronée. Ainsi, la détection et la réparation de sauts de cycle doivent être envisagées. Dans cette étude, nous nous sommes limités à détecter les sauts de cycle et à rejeter les observations du satellite affectées par un saut de cycle dans le traitement TRP. La méthode qui a été utilisée est celle expliquée par Hofmann-Wellenhof et al. (1997) qui consiste à comparer la variation de la différence des mesures de phase sur les deux fréquences L1 et L2 à chaque époque. Il existe d’autres méthodes de détection des sauts de cycle, comme celle adaptée au récepteur mono-fréquence (moins dispendieux qu’un récepteur bi-fréquence) en combinant les mesures de phase et les mesures Doppler. Le principe de cette méthode consiste en la comparaison de la mesure de phase à une époque 𝑡𝑖 avec sa valeur prédite pour la même époque en utilisant les mesures Doppler qui ne sont pas affectées par les sauts de cycle (Santerre et al., 1995).
Dans les travaux de Michaud et Santerre (2001), une dégradation significative de la précision de la solution TRP est constatée lorsqu’il y a augmentation de l’intervalle de temps utilisé pour la différence temporelle (une précision centimétrique pour un intervalle de 30 secondes contre une précision décimétrique pour un intervalle de 70 secondes). Cela a été confirmé par les résultats des travaux de Balard et al. (2006) reportés au Tableau 2.1. Pour cette raison, nous avons choisi de sélectionner un intervalle de temps de mesures optimal dans la limite des performances du matériel utilisé, afin d’assurer la meilleure précision pour de courts intervalles de temps.
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Tableau 2.1 : Écart-type (m) des déplacements déterminés par TRP en fonction de la durée de la session, sans boucle et sans correction de la dérive (Balard et al. 2006) Durée Écart-type (m) N E V 1 min 0.05 0.04 0.15 2 min 0.10 0.08 0.28 4 min 0.17 0.18 0.50
La Figure 2.1 présente les algorithmes du logiciel TRP améliorés dans le cadre de ce projet de recherche. Les améliorations apportées à l’ancien logiciel TRP comprennent :
- La lecture de toutes les versions existantes du fichier RINEX des observations GNSS.
- Le triage suivant l’époque courante des éphémérides transmises des satellites et l’utilisation de celles qui correspondent ou qui sont plus proches aux époques des observations.
- L’établissement des algorithmes de détection et de réparation des exceptions et des anomalies que peuvent présenter les données brutes.
- La réduction du temps de traitement en optimisant les fonctions et en utilisant la pré-allocation de mémoire.
- L’intégration des fonctions de détermination de l’erreur d’horloge des satellites GPS et GLONASS dans une seule fonction.
- L’ajout des fonctions d’estimation et d’enlèvement de la pente due aux variations des erreurs GNSS à la suite du traitement TRP.
- La détermination d’un seul paramètre d’horloge du récepteur au lieu de deux paramètre afin d’optimiser davantage le calcul TRP (GPS-GLONASS).
Les algorithmes TRP sont présentés sous forme d’organigramme décrivant les étapes principales du processus de traitement.
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La première étape consiste en le choix de l’intervalle de temps dans lequel la différence temporelle entre deux époques sera effectuée. Dans cette étude, nous avons utilisé un intervalle de 0.1 s correspondant à un taux d’échantillonnage de 10 Hz. Ensuite, nous procédons à la lecture des fichiers de format RINEX (toutes les versions) des observations GPS et GLONASS ainsi que ceux des éphémérides transmises des deux constellations et nous en extrayons les observations correspondant aux deux époques 𝑡𝑖 et 𝑡𝑖+1. Par la suite, nous traitons seulement les observations correspondant aux satellites communs aux deux époques, et pour chaque satellite, nous calculons la correction d’horloge et la position du satellite au temps de transmission du signal. Ce qui permet de déterminer le vecteur et la distance géométrique récepteur-satellite ainsi que l’angle d’élévation du satellite pour le calcul du délai troposphérique, et ce pour chaque époque. Le modèle utilisé dans cette étude pour le délai troposphérique est celui de Hopfield simplifié qui sera expliqué en détail dans la section (2.3).
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Figure 2.1 : Organigramme du processus de traitement TRP des observations GNSS (GPS et GLONASS)
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Après vérification de l’angle d’élévation de chaque satellite qui doit être au-dessus du masque de 10° (afin d’utiliser le nombre maximal de satellites présents tout en éliminant l’effet de multitrajets), les différences temporelles entre les deux époques 𝑡𝑖 et 𝑡𝑖+1 ont été construites ainsi qu’optionnellement la combinaison sans effet ionosphérique (L3). Cette combinaison est expliquée davantage dans la section (2.3).
Enfin, lorsque le nombre de satellites est supérieur à 5, c’est à dire que le nombre d’observations dépasse le nombre de paramètres à estimer, à savoir les trois coordonnées du point à déterminer et les deux variations temporelles d’erreurs d’horloge du récepteur, une solution est calculée par moindres carrés en utilisant la méthode de variation de paramètres. Et à partir de cette solution, nous obtenons le déplacement tridimensionnel du récepteur entre les deux époques 𝑡𝑖 et 𝑡𝑖+1. Il faut noter que, dans le cas de traitement des observations GPS seules, les paramètres inconnus sont au nombre de 4 correspondant aux trois coordonnées de la position et un seul paramètre d’horloge du récepteur.
Le même processus se répète pour toutes les époques de la session d’observations afin d’obtenir au final le déplacement cumulé en 3D du récepteur.
À la fin du traitement, nous estimons une pente, à la série temporelle de chaque composante, causée par la variation temporelle des erreurs GNSS en utilisant la méthode de la régression linéaire. Ensuite, nous enlevons cette pente pour obtenir les déplacements finaux qui seront comparés aux solutions de validation.
Il faut souligner que les fonctions permettant le calcul de la correction d’horloge et la position des satellites GLONASS, écrites à l’origine en langage C par Stéphanie Michaud (Michaud, 2000) dans le cadre de son projet de maîtrise au sein du Département des sciences géomatiques de l’Université Laval, ont été traduites en MATLAB et intégrées dans le logiciel TRP amélioré dans le cadre de ce projet de recherche.
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Compensation par moindres carrés (méthode de variation de paramètres)
En mode TRP GNSS, pour chaque couple d’époques successives, lorsque le nombre d’observations disponibles est supérieur au nombre de paramètres inconnus, une solution par moindre carrés avec l’utilisation de la méthode de variation de paramètres est effectuée. Le modèle mathématique utilisé par cette méthode est le suivant :
𝑦 + 𝑉̂ = F(𝑋̂) (2.2)
Avec 𝑦 le vecteur des observations correspondant aux différences temporelles des mesures de phase δ𝜑12 entre l’époque 𝑡𝑖 et l’époque 𝑡𝑖+1 de tous les satellites
communs aux deux époques.
𝑉̂ est le vecteur des résiduelles associées aux observations car ces dernières sont affectées par le bruit de mesures et les erreurs systématiques non modélisées.
Et 𝑋̂ est l’estimé par moindre carrés des paramètres inconnus.
Après linéarisation du modèle mathématique décrit par l’équation (2.2), nous obtenons l’équation suivante :
𝑉̂ = A 𝑋̂ − W (2.3)
Le symbole A désigne la matrice des dérivés partielles des différences temporelles des observations de phase par rapport aux paramètres inconnus, soit les trois coordonnées du point inconnu plus les deux paramètres relatifs à la variation des erreurs d’horloge du récepteur pour les deux échelles de temps des systèmes GPS et GLONASS. 𝑊 est le vecteur de fermeture contenant les éléments de la différence entre les mesures de phase observées et les distances récepteur-satellite calculées
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entre les deux époques 𝑡𝑖 et 𝑡𝑖+1 en différence temporelle. Et 𝑋̂ représente le vecteur des corrections à ajouter aux valeurs a priori des paramètres.
En notant 𝑛 le nombre d’observations GPS, 𝑚 le nombre d’observations GLONASS et 𝑢 le nombre de paramètres inconnus qui est égal à 5, la matrice 𝐴 et les vecteurs 𝑊 et 𝑋̂ peuvent s’écrire sous la forme suivante :
𝐴 = ( −𝑒𝑋𝐺1 −𝑒𝑌𝐺1 −𝑒𝑍𝐺1 −1 0 −𝑒𝑋𝐺2 −𝑒𝑌𝐺2 −𝑒𝑍𝐺2 −1 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ −𝑒𝑋𝐺𝑛 −𝑒𝑌𝐺𝑛 −𝑒𝑍𝐺𝑛 −1 0 −𝑒𝑋𝑅1 −𝑒𝑌𝑅1 −𝑒𝑍𝑅1 0 −1 −𝑒𝑋𝑅2 −𝑒𝑌𝑅2 −𝑒𝑍𝑅2 0 −1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ −𝑒𝑋𝑅𝑚 −𝑒𝑌𝑅𝑚 −𝑒𝑍𝑅𝑚 0 −1) (2.4)
Les termes 𝑒𝑋, 𝑒𝑌 𝑒𝑡 𝑒𝑍 représentent les composantes du vecteur unitaire récepteur-
satellite exprimées dans le système de coordonnées Terrestre Moyen TM, et les exposants 𝐺 et 𝑅 référent aux satellites des constellations GPS et GLONASS, respectivement.
25 𝑊 = ( δ𝜑12 𝐺1− (δ𝜌 12 𝐺1+ cδd𝑡 12 𝐺1− cδd𝑇 12 𝐺1− δ𝑑𝑖𝑜𝑛𝑜 12 𝐺1+ δ𝑑𝑡𝑟𝑜𝑝 12 𝐺1) δ𝜑12𝐺2− (δ𝜌12𝐺2+ cδd𝑡12𝐺2− cδd𝑇12𝐺2 − δ𝑑𝑖𝑜𝑛𝑜12𝐺2+ δ𝑑𝑡𝑟𝑜𝑝12𝐺2) ⋮ δ𝜑12 𝐺𝑛− (δ𝜌 12 𝐺𝑛+ cδd𝑡 12 𝐺𝑛− cδd𝑇 12 𝐺𝑛 − δ𝑑𝑖𝑜𝑛𝑜 12 𝐺𝑛+ δ𝑑𝑡𝑟𝑜𝑝 12 𝐺𝑛) δ𝜑12𝑅1− (δ𝜌12𝑅1+ cδd𝑡12𝑅1− cδd𝑇12𝑅1 − δ𝑑𝑖𝑜𝑛𝑜12𝑅1+ δ𝑑𝑡𝑟𝑜𝑝12𝑅1) δ𝜑12 𝑅2− (δ𝜌 12 𝑅2+ cδd𝑡 12 𝑅2− cδd𝑇 12 𝑅2 − δ𝑑𝑖𝑜𝑛𝑜 12 𝑅2+ δ𝑑𝑡𝑟𝑜𝑝 12 𝑅2) ⋮ δ𝜑12𝑅𝑚− (δ𝜌12𝑅𝑚+ cδd𝑡12𝑅𝑚− cδd𝑇12𝑅𝑚 − δ𝑑𝑖𝑜𝑛𝑜12𝑅𝑚+ δ𝑑𝑡𝑟𝑜𝑝12𝑅𝑚)) (2.5) 𝑋̂ = ( δ𝑥̂ δ𝑦̂ δ𝑧̂ 𝑐δd𝑇12𝐺 cδd𝑇12𝑅) (2.6)
Les trois premiers éléments du vecteur 𝑋̂ sont exprimés dans le système de coordonnées Terrestre Moyen TM en mètres et l’unité des deux derniers éléments est la seconde. 𝑐 est la vitesse de la lumière dans le vide et les dimensions de 𝐴, 𝑊 et 𝑋̂ sont respectivement (𝑛 + 𝑚, 5), (𝑛 + 𝑚, 1) et (5,1).
L’objectif de la compensation par moindre carrés consiste en la minimisation de la somme des carrés des résiduelles de l’équation (2.3). C’est-à-dire 𝑉̂𝑇𝑃𝑉̂ = 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑢𝑚. La matrice 𝐴𝑇𝑃𝐴 est une matrice carrée et symétrique, ce qui nous apporte à la solution suivante pour 𝑋̂ (Cocard, 2016):
26 Avec 𝑃, la matrice de poids des observations.
Dans cette étude, les observations sont considérées avoir la même précision (c’est- à-dire, le même poids), ainsi la matrice des poids 𝑃 est égale à la matrice identité 𝐼.
La solution compensée est obtenue par l’équation suivante :
𝑋̅ = 𝑋̅̅̅̅ + 𝑋̂ 0 (2.8)
Connaissant les valeurs de 𝑋̂, nous pouvons déterminer le vecteur des résiduelles 𝑉̂ en utilisant l’équation (2.3), et par la suite, nous pouvons estimer le facteur de variance a posteriori 𝜎̂02 à l’aide de l’équation suivante :
𝜎̂02 = 𝑉̂𝑇𝑃𝑉̂
𝜈 (2.9)
Dans l’équation (2.9), 𝜈 = (𝑛 + 𝑚) − 𝑢 est le nombre de degrés de liberté pour les observations GPS et GLONASS.
Le facteur de variance a posteriori nous permet aussi de calculer la matrice de variances-covariances des paramètres estimés par la relation :
Σ̂𝑋̂ = 𝜎̂02𝑁−1 (2.10)
Dans le but d’évaluer l’impact de la distribution des satellites sur la précision de la solution, le calcul des facteurs DOP (Dilution of Precision) s’avère important. Ces
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facteurs sont déterminés à partir des éléments de la diagonale de la matrice 𝑄 qu’on peut calculer comme suit :
𝑄 = (𝐴𝑇𝐴)−1= ( 𝑞𝑋2 𝑞𝑋,𝑌 𝑞𝑋,𝑍 𝑞𝑋,δ𝑑𝑇𝐺 𝑞𝑋,δ𝑑𝑇𝑅 𝑞𝑌,𝑋 𝑞𝑌2 𝑞 𝑌,𝑍 𝑞𝑌,δ𝑑𝑇𝐺 𝑞𝑌,δ𝑑𝑇𝑅 𝑞𝑍,𝑋 𝑞𝑍,𝑌 𝑞𝑍2 𝑞 𝑍,δ𝑑𝑇𝐺 𝑞𝑍,δ𝑑𝑇𝑅 𝑞δ𝑑𝑇𝐺,𝑋 𝑞δ𝑑𝑇𝐺,𝑌 𝑞δ𝑑𝑇𝐺,𝑍 𝑞δ𝑑𝑇𝐺2 0 𝑞δ𝑑𝑇𝑅,𝑋 𝑞δ𝑑𝑇𝑅,𝑌 𝑞δ𝑑𝑇𝑅,𝑍 0 𝑞δ𝑑𝑇𝑅2) (2.11)
𝑄 est exprimé dans le système Terrestre Moyen TM, sa transformation dans le repère topocentrique Géodésique Local GL, en appliquant la loi de la propagation des erreurs aux éléments de la sous matrice 3x3 supérieure gauche de la matrice des variances-covariances (dans le cas où 𝑃 = 𝐼), nous permet d’obtenir les composantes NDOP (Nord), EDOP (Est) et VDOP (Verticale) des facteurs DOP.
𝑁𝐷𝑂𝑃 = √𝑞𝑁2 𝐸𝐷𝑂𝑃 = √𝑞𝐸2 𝑉𝐷𝑂𝑃 = √𝑞𝑉2
Ces trois composantes constituent les éléments de la diagonale de la matrice 𝑄𝐺𝐿.
𝑄𝐺𝐿 = (
𝑞𝑁2 𝑞𝑁,𝐸 𝑞𝑁,𝑉 𝑞𝐸,𝑁 𝑞𝐸2 𝑞𝐸,𝑉
𝑞𝑉,𝑁 𝑞𝑉,𝐸 𝑞𝑉2
) (2.12)
Dans ce projet de recherche, pour expliquer davantage les résultats obtenus des différents traitements TRP réalisés, nous avons étudié les graphiques des facteurs
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DOP (NDOP et EDOP pour les composantes horizontales et VDOP pour la composante verticale) et le nombre de satellites présents durant les sessions d’observations ainsi que les valeurs de la racine carrée des facteurs de variance a posteriori de la solution TRP.