Les modèles déformables apportent une information sur la forme des objets à reconstruire. Cependant, si la forme a priori du modèle diffère trop des données, le modèle peut ne pas être capable de s’adapter correctement. Pour circonvenir à ce problème, plusieurs travaux portent sur des modèles adaptatifs capables de changer de topologie.
Par changement de topologie, on entend aussi bien des changements de la structure du maillage (figure 1.5, haut), que des modifications du genre de la surface (figure 1.5, bas), c’est-à-dire une modification de la surface telle qu’elle ne soit plus homéomorphe à son ancienne représentation. Dans le premier cas, on parlera alors d’adaptation des modèles, alors que des changements de genre sont propres aux modèles à topologie variable.
1.4.1 Modèles adaptatifs
L’adaptation des modèles est nécessaire pour faire correspondre le niveau de détail de la repré-sentation géométrique avec le niveau de détail des données considérées.
Adaptation des modèles explicites
Les modèles paramétrés nécessitent une adaptation aux données lorsque la discrétisation de l’espace des paramètres est trop grossière pour décrire de manière précise les données. (McInerney et Terzopoulos, 1995b) proposent un rééchantillonnage du nombre de nœuds de la méthode des éléments finis au cours du temps. Cette approche multi-échelle permet une transition gros grain à grain fin. Le modèle est d’abord discrétisé grossièrement et il converge de manière approximative vers la surface à reconstruire. Alors qu’il se rapproche des données, la surface est adaptée de manière à représenter une forme plus détaillée. Cette approche permet de réduire sensiblement la charge de calculs pendant les premières itérations du modèle.
Dans le cas de modèles explicites, l’échantillonnage régulier de l’espace des paramètres ne conduit pas nécessairement à l’échantillonnage régulier de la surface. (Vemuri et Radisavljevic, 1994) pro-posent une transformation de l’espace des paramètres pour résoudre ce problème dans le cas parti-culier de leur étude. (Székely et al., 1996) cherchent à conserver au mieux le rapport entre l’aire d’un morceau de surface compris entre les trois points de paramètres (r1,s1), (r2,s2) et (r3,s3) et l’aire du triangle courbe de la sphère unité avec les trois sommets correspondant aux mêmes paramètres. D’un point de vue numérique, le rééchantillonnage des modèles paramétrés conduit nécessai-rement à une nouvelle évaluation des matrices de masse, de viscosité et de rigidité. Dans le cas
1.4. Topologie des modèles déformables 41
d’un schéma semi-implicite, il faut ensuite inverser ces matrices. Il peut donc s’avérer coûteux s’il intervient trop fréquemment dans le schéma itératif.
Modèles discrets adaptatifs
Dans le cas de modèles discrets, l’adaptation peut se faire localement en ajoutant des sommets. Dans la mesure où les équations du mouvement sont locales à chaque sommet, l’adaptation de la surface a peu ou pas d’incidence sur le schéma dynamique. (Bulpitt et Efford, 1995) proposent un algorithme de raffinement des surfaces triangulées régulières (chaque sommet possède six voisins). Nous détaillerons au chapitre 2 les opérations d’adaptation des maillages simplexes.
Le formalisme des surfaces morcelées (subdivision surfaces en anglais) offre une représentation multi-échelle des maillages discrets, indépendemment de leur structure. Un surface morcelée est représentée par un ensemble de points qu’il est possible d’enrichir pour affiner la description de la surface.
L’approche la plus courante consiste à considérer l’ensemble des points& p0i'
icomme les sommets d’un maillage M0. On construit alors une suite de maillages (M0, . . . ,Mj, . . .) de plus en plus détaillés qui converge vers une surface continue, c’est à dire limj→∞pji existe pour tout i et la suite 1
pji2
j converge uniformément.
De nombreux schémas de raffinement des surfaces morcelées existent. Ils cherchent à conserver les propriétés de :
• Interpolation. les sommets créés appartiennent à la surface limite.
• Localité. Le voisinage nécessaire au calcul de la position d’un nouveau sommet doit être aussi restreint que possible.
• Symétrie. Le schéma doit présenter les mêmes symétries que la topologie locale du maillage. • Généralité. Le schéma doit s’appliquer à tout type de surfaces discrètes sans restriction
topo-logique, y-compris sur les bords du maillage.
• Régularité. Les surfaces engendrées doivent garantir un certain niveau de continuité.
Il est difficile de respecter simultanément l’ensemble des ces critères et plusieurs schémas de division des surfaces concurrents existent (Zorin et al., 1997).
Une approche un peu différente consiste à considérer & p0i'
i comme un ensemble de points de contrôle engendrant une surface qui n’a pas de représentation directe. On affine cette surface en ajoutant des points de contrôle.
Adaptation selon le nombre de modes
La décomposition des modèles en modes de vibration comme présentée dans (Mozelle et Prêteux, 1996; Nastar et Ayache, 1994; Vemuri et Radisavljevic, 1994; Pentland et Sclaroff, 1991) conduit à une représentation adaptative où un nombre restreint de modes basse fréquence représentent une surface grossière. En ajoutant des modes, on peut affiner progressivement la représentation du modèle.
1.4. Topologie des modèles déformables 43
1.4.2 Topologies adaptatives
Plusieurs auteurs (Lachaud et Montanvert, 1999; McInerney et Terzopoulos, 1997; Leitner et Cinquin, 1991) proposent des modèles déformables dont la topologie est capable d’évoluer au cours du processus de déformation pour s’adapter aux données à reconstruire. L’initialisation du modèle peut donc être plus grossière que dans le cas général. Le processus de reconstruction s’appuie beaucoup moins sur la forme a priori du modèle et dispose d’un plus grand nombre de degrés de liberté.
Si cette idée est assez séduisante, elle est en pratique difficile à mettre en œuvre dans des images médicales bruitées. L’évolution des modèles déformables est en général très dépendante de l’initialisation du modèle à cause de la non convexité de la fonctionnelle d’énergie. Déterminer de manière automatique les changements topologiques d’une structure sans information a priori dans une image bruitée ou faiblement contrastée est une opération très délicate.
Représentation paramétrées
Pour les modèles paramétrés, des topologies différentes conduisent à des conditions aux li-mites sur les paramètres différentes. (Leitner et Cinquin, 1993) proposent un algorithme de dé-tection d’intersection des surfaces représentées par un produit tensoriel de B-splines. Les auto-intersections sont traitées en raffinant puis en perforant la surface dans les régions d’intersection. Les trous créés dans la surface sont connectés en ré-ordonnant les points de contrôle définissant la surface.
Représentation implicite
Comme indiqué précédemment, les ensembles de niveaux permettent de représenter de manière très naturelle les changements de topologie. On ne s’intéresse qu’à l’évolution de la fonction Ψ mais ses isovaleurs représentent des courbes dont la topologie peut évoluer librement. Cependant, ce formalisme ne permet aucune interaction de l’utilisateur ce qui peut s’avérer ennuyeux dans le cas de la segmentation d’images médicales.
Représentation discrète
McInerney et Terzopoulos proposent des contours «T-snakes» (McInerney et Terzopoulos, 1995c) et des surfaces «T-surfaces» (McInerney et Terzopoulos, 1997) à topologie adaptative. Leur approche repose sur une décomposition simpliciale de l’espace en une grille tétrahédrale quasi-régulière. Le modèle est initialement représenté comme une triangulation dont les sommets s’appuient sur les arêtes des tétrahèdres formant la décomposition simpliciale (voir figure 1.6). L’algorithme alterne entre deux étapes dans le processus de déformation :
• Le modèle est déformé en utilisant la dynamique Lagrangienne des modèles discrets pendant quelques itérations.
• Le modèle déformé est approché par une T-surface correspondant à un rééchantillonnage de la triangulation sur la décomposition simpliciale.
Pendant la phase de déformation, les sommets de la décomposition simpliciale qui se retrouvent à l’intérieur ou à l’extérieur de la surface sont marqués. Après déformation, la surface est redéfinie
Fig. 1.6 – À gauche : décomposition simpliciale triangulaire de IR2. Au centre : T-snake. À droite : cellule simplexe de IR3.
comme la limite entre les sommets intérieurs et les sommets extérieurs. Une nouvelle triangulation est rééchantillonnée qui approche le modèle déformé et qui s’appuie de nouveau sur la décomposition simpliciale. Si le modèle se recoupe, ou si deux modèles se coupent, l’un des tétrahèdres de la décomposition simpliciale est partagé entre deux triangles différents. Ces deux triangles sont alors connectés durant la phase de rééchantillonnage et des changements de topologie interviennent.
Cette approche est rendue efficace par l’utilisation d’un modèle discret pour lequel la reparamé-trisation n’est pas trop coûteuse. Cependant, elle implique de définir l’intérieur et l’extérieur de la surface. Il n’est donc pas possible de représenter des contours ouverts ou des surfaces à bords. Le processus de déformation nécessite également que la surface gonfle ou se rétracte dans son ensemble, ce qui peut causer des problèmes si l’initialisation n’est pas propre.
(Lachaud et Montanvert, 1999) proposent également des triangulations à topologie adaptative en s’appuyant sur le concept de δ-snakes définit par (Bainville, 1992). Un paramètre δ > 0 est utilisé pour contrôler l’échantillonnage de la triangulation et détecter les auto-intersections à partir de deux règles élémentaires :
– la distance entre deux sommets voisins doit être comprise entre δ et 2.5δ; – la distance entre deux sommets non voisins doit être supérieure à 2.5√
3δ.
La première contrainte impose un échantillonnage régulier de la surface tandis que la seconde dé-termine le seuil au dela duquel on considère que la surface entre en collision avec elle-même. Le non respect de la première contrainte provoque une opération de création, de destruction ou d’échange d’un sommet (voir figure 1.7). Le non respect de la seconde contrainte conduit à une transformation axiale ou annulaire (voir figure 1.8).
échange création destruction
Fig.1.7 – Opérations topologiques Euleriennes sur les triangulations.