Modèles paramétrés

De nombreux modèles s’expriment comme une surface appartenant à une famille de surfaces paramétrées. Les paramètres du modèle sont alors ceux de la famille de surfaces à laquelle il appar-tient. Cette représentation est plus restrictive que la précédente puisqu’elle impose aux fonctions coordonnées {xi}i d’appartenir à une famille donnée de fonctions. Elle diminue le nombre de sur-faces représentables. En contrepartie, le modèle ne dépend que d’un nombre restreint de paramètres et l’évolution du système en sera simplifiée d’autant.

B-splines

Très utilisées pour l’animation, les surfaces B-splines ont également séduit la communauté des modèles déformables pour la mise en correspondance de structures anatomiques (Guéziec et Ayache, 1992; Blake et al., 1993) ou le suivi de contours (Bascle et Deriche, 1994) dans des séquences d’images. La transformation affine d’une modèle B-spline peut s’appliquer indifféremment aux points de contrôle ou au modèle lui-même. (Menet et al., 1991) introduisent des «B-snakes», contours

représentés par des courbes B-splines. En dupliquant certains points de contrôle, il imposent une continuité C0 de la courbe qui peut alors posséder des points de coin pour représenter le contour de bâtiments. (Leitner et al., 1991; Leitner et Cinquin, 1993) modélisent des contours ou des surfaces déformables à partir de B-snakes. Les paramètres de leurs modèles sont les coefficients des fonctions de base des B-splines et pas la position des points de contrôle.

Superquadriques

Les superquadriques constituent certainement le modèle le plus fréquemment utilisé (Terzopoulos et Metaxas, 1991; Bardinet et al., 1996; Robert, 1996; Vemuri et al., 1997). Les superellipsoïdes en particulier permettent de représenter des surfaces fermées. Un superellipsoïde est défini par l’équation paramétrique : Qq(r,s) =       

a₁signe(cos r cos s)| cos r cos s|"1

a₂signe(cos r sin s)| cos r sin s|"2

a₃signe(sin s)| sin s|^"3

,

où q = (a1,a2,a3,)1,)2,)3)^T est le vecteur de paramètres de la famille de surfaces, r ∈ [0,2π[ et s ∈ [−π

2,^π₂]. Les superquadriques permettent de construire des surfaces relativement variées mais possédant toutes des axes de symétrie. Elles ne sont donc pas adaptées, dans leur forme primitive, à la représentation de structures anatomiques.

Les superquadriques disposent également d’une représentation implicite de la forme Fq(p) = % % % % p_x a₁ % % % % 2/"1 + % % % % p_y a₂ % % % % 2/"2 + % % % % p_z a₃ % % % % 2/"3 = 1.

La surface est alors définie comme Sq=&

p∈ IR3|Fq(p) = 1'

. Cette représentation permet de dé-terminer très facilement si un point p de IR3 appartient ou non à l’intérieur (Fq(p) < 1) ou à l’extérieur (Fq(p) > 1) de la surface. Dans (Bardinet et al., 1995), un modèle basé sur un superel-lipsoïde d’équation : Fq(p) =   *₊ p_x a₁ ,2 !2 + +p_y a₂ ,2 !2 -!2 !1 + +p_z a₃ ,2 !1   !1 2 = 1 (1.1)

est utilisée. Le choix de ce mode de représentation a une influence sur l’évolution du modèle. Extensions des superquadriques

(Terzopoulos et Metaxas, 1991) utilisent un modèle composé d’une superquadrique qui sert de référence sur laquelle vient s’ajouter un terme de déformation autorisant des perturbations locales de la surface. La surface du modèle est définie par :

Sq(r,s) = c + R (Qq_l(r,s) + d(r,s)) ,

où c représente la position du centre d’inertie de la superquadrique Q, R est une matrice de rotation et d est un champ vectoriel de déplacement par rapport à la surface de Q. Ils expriment d comme

1.2. Représentation géométrique des modèles déformables 19

une combinaison linéaire de fonctions de déplacement de base : d = Sq_d où S est la matrice des fonctions de bases et q_dest un vecteur de poids. Si q_θ représente les paramètres de la rotation R, le vecteur des paramètres du modèle s’exprime alors comme q = (c_x,c_y,q_θ,q_l,q_d). Cette formulation permet de représenter des surfaces moins régulières que les superquadriques, mais il ne s’agit que d’une perturbation locale et la surface reste topologiquement homéomorphe à une sphère, limitée par le modèle sous-jacent.

Dans (Metaxas et Terzopoulos, 1991), le modèle est encore enrichi pour représenter des déforma-tions avec un sens physique de la superquadrique initiale (torsion, flexion, pincement,...). La surface du modèle s’exprime alors :

Sq(r,s) = c + R (TQq_l(r,s) + d(r,s)) ,

où T est une transformation dont les paramètres q_T s’ajoutent au vecteur q.

(Vemuri et Radisavljevic, 1993) proposent à partir de ce modèle un moyen d’obtenir une transi-tion continue entre des déformatransi-tions globales (faisant intervenir les paramètres de la superquadrique seulement) et des déformations locales (faisant intervenir le terme de perturbation locale d). Ils dé-composent q_dsur une base orthogonale d’ondelettes et choisissent le nombre de modes utiles pour représenter la déformation. Plus un grand nombre de modes est pris en considération et plus les perturbations locales ont de l’influence.

(Bardinet, 1995) utilise un modèle à base de superquadrique. Des déformations locales de la surface sont introduites par l’utilisation de déformations de forme libre de l’espace.

Patrons déformables

Dans leur article, (Yuille et Hallinan, 1991) proposent un modèle paramétré adapté à la descrip-tion de l’œil (iris et pupille). La famille de contours représentables est adaptée au problème traité de manière à ne pas souffrir des limitations habituelles des modèles paramétrés.

Décomposition modale

De nombreuses représentations font intervenir la décomposition du modèle en différents modes. La base de décomposition correspond à un ensemble d’harmoniques de différentes fréquences. Cette représentation s’apparente à une famille de surfaces paramétrées dont les paramètres sont les poids des différents modes.

Plusieurs bases de décomposition peuvent être utilisées. En l’absence d’information a priori, la base de décomposition est fixée à l’avance, indépendamment de la surface représentée. Si un échantillon représentatif des formes à reconstruire est disponible, il est possible de déterminer une base propre des variations de la surface grâce à l’analyse en composantes principales (ACP).

• Modes fixes

Toute surface peut se représenter comme une série de modes de vibration. La somme des premiers modes constitue une approximation de la surface qui s’affine avec le nombre de modes pris en considération. En pratique, on cherche à utiliser un nombre minimal de modes, sachant que quelques modes suffisent à représenter des surfaces relativement complexes. En

outre, la restriction du nombre de modes correspond à un critère de régularisation de la surface. On limite ainsi l’espace de recherche de la surface lors de l’étape de reconstruction (Nastar et Ayache, 1996; Pentland et Sclaroff, 1991).

(Staib et Duncan, 1992) proposent d’utiliser une surface décomposée en modes de Fourier. Une courbe peut se représenter sous la forme :

Cq(r) = * a₀ c₀ -+ ∞ 0 k=1 * a_k b_k c_k d_k -. * cos kr sin kr -,

où le vecteur de paramètres est q = (a0, . . . ,aK,b1, . . . ,bK,c0, . . . ,cn,d1, . . . ,dn)^T si on ne consi-dère que les n premiers modes. Cette représentation s’étend aux surfaces en utilisant, par exemple, la base des harmoniques sphériques (Székely et al., 1995) pour décomposer le mo-dèle : Sq(r,s) = ∞ 0 k=0 k 0 m=−k c^m_kY_k^m(r,s), où Ym

k représente l’harmonique sphérique de degré k et d’ordre m et q = (c−n 0 , . . . ,cn

n)T. Ce formalisme s’étend à la décomposition sur d’autres bases. Pour simplifier la paramétrisation d’une surface quelconque, Staib et Duncan proposent différentes bases de décomposition en se limitant à quelques topologies (surfaces homéomorphes à une sphère, un tore, un cylindre ou un plan).

• Modes propres de déformation

(Cootes et al., 1993) utilisent l’analyse en composantes principales (aussi connue sous le nom de décomposition de Karhunen-Loeve) pour décomposer le modèle sur les modes propres issus d’un ensemble d’apprentissage. La richesse de la base de décomposition dépend du nombre d’éléments disponibles dans l’ensemble d’apprentissage. Contrairement aux décompositions de Fourier, l’analyse en composantes principales ne permet pas de représenter une surface quelconque mais seulement les modèles qui s’expriment sous forme de combinaison linéaire des modes propres. Il s’agit de limiter les variations possibles de la forme représentée en contraignant le modèle à conserver une forme «cohérente» avec l’ensemble d’apprentissage. L’analyse en composantes principales s’intéresse aux déformations résiduelles de l’ensemble d’apprentissage après recalage par une similitude de tous ses éléments. Une instance particu-lière de cet ensemble est donc définie comme :

Si= T (x_i),

où xi est un vecteur de paramètres de dimension d décrivant la surface Si. Soit le vecteur x_i contient les coordonnées d’un ensemble de d/3 sommets représentant un modèle discret x_i = (x₁, . . . ,x_d)T (Baldwin et al., 1998; Cootes et al., 1995) et T est une similitude, soit x_i est un vecteur de paramètres x_i = q = (q₁, . . . ,q_d)^T (Székely et al., 1996) représentant la surface. Dans ce dernier cas T est une transformation de l’espace des paramètres vers l’espace

1.2. Représentation géométrique des modèles déformables 21

de variation de la surface. On considère un ensemble d’apprentissage constitué de n instances (x₁, . . . ,x_n) de la structure étudiée. La forme moyenne de cet ensemble est définie comme :

¯ x= ¹ n n 0 i=1 x_i

et sa matrice de covariance (symétrique et définie positive) : C=

n

0

i=1

(x_i− ¯x)(xi− ¯x)^T.

Par diagonalisation, CU = UV, où U est la matrice dont chaque colonne est un vecteur propre de C et V = diag(v₁, . . . ,v_n) est la matrice diagonale des valeur propres associées. Les vecteurs colonnes uide U correspondent aux déformations «caractéristiques» présentes dans l’ensemble d’apprentissage. Chaque mode u_iest pondéré par la valeur propre associée v_i. U représente une base orthogonale des modes de variation des modèles de l’ensemble d’apprentissage. L’analyse en composantes principales s’appuie sur l’hypothèse d’une distribution Gaussienne des données qui conduit à une représentation linéaire. Le vecteur x_i varie dans un ellipsoïde de dimension n dont les axes ont pour direction les vecteurs propres et pour amplitude les valeurs propres de C.

Une nouvelle instance de la forme est représentée par une combinaison linéaire : x= ¯x+ Uq,

où q est le vecteur paramètres pondérant l’influence de chaque mode de déformation. En gé-néral, on cherche à obtenir une forme qui varie relativement peu par rapport à la connaissance que l’on a des modes de déformations. On impose donc que chaque composante q_i de q soit bornée : −kvi ≤ qi≤ kvi.

En pratique, n est souvent très inférieur à d et la diagonalisation de C conduit à n−1 vecteurs propres associés à n − 1 valeurs propres non nulles. Le nombre de modes disponibles dépend donc de la taille de l’ensemble d’apprentissage. Celui-ci doit être suffisamment important par rapport à la taille d des vecteurs paramètres de manière à pouvoir représenter convenablement les variations naturelles de l’objet à reconstruire. Une difficulté de cette approche consiste en la construction de l’ensemble d’apprentissage. Elle nécessite la mise en correspondance sur n modèles de d points «identiques». Cette étape, généralement manuelle, est très fastidieuse en deux dimensions et peut devenir impossible en trois dimensions. De plus, déterminer des points identiques sur des surfaces assez lisses représentant des structures anatomiques est une tâche ardue pour un opérateur humain en dehors de quelques points caractéristiques facilement identifiables comme les extrema de courbure. Plusieurs méthodes de mise en correspondance automatique de points sur des surfaces sont présentées dans (Caunce et Taylor, 1998). L’analyse en composantes principales a rencontré un large succès dans la littérature pour la segmentation (Cootes et al., 1995), en particulier de structures anatomiques (Ruff et al., 1996;

Hill et al., 1993), le suivi de contours (Heap et Hogg, 1998; Kervrann et Heitz, 1996) et la classification (Nastar et al., 1996). Des extensions non linéaires sont proposées dans (Chalmond et Girard, 1998; Sozou et al., 1995; Sozou et al., 1994).