Contraintes globales dépendantes de l’application

La contrainte globale introduite dans les déformations locales peut prendre d’autres formes que les transformations que nous avons étudiées jusqu’à présent. Il est possible d’introduire une contrainte spécifique à un problème particulier. Nous proposons par exemple d’ajouter une contrainte axiale à des modèles présentant une symétrie de révolution.

Contrainte globale axiale

Des modèles déformables surfaciques dont les déformations sont guidées en prenant leur symétrie de révolution en compte sont introduits dans (Terzopoulos et al., 1988). D’autres types de cylindres généralisés utilisés pour la reconstruction d’objets sont proposés dans (O’Donnell et Xi-Sheng, 1994). (O’Donnell et al., 1997) utilisent un modèle composé d’un axe (une courbe B-spline) et d’une surface composée par l’assemblage de contours (également des courbes B-splines) dans des plans orthogo-naux à l’axe pour segmenter des vaisseaux sanguins. Un modèle géométrique pour la représentation de structures vasculaires (vaisseaux, connexions et anévrisme) est présentée dans (Juhan et al., 1997). (Moreau-Gaudry et al., 1998) proposent un modèle paramétrique de surface pour représenter l’intersection en forme de “Y” d’un branchement artériel. Le modèle est composé d’un axe (squelette interne) et d’une courbe convexe définissant la partie supérieure du branchement (squelette externe) sur lesquels vient s’appuyer une surface. Il est utilisé pour la segmentation d’images ultrasonores 3D de la carotide dans (Moreau-Gaudry et al., 1999).

Pour déformer des structures munies d’un axe de révolution, nous proposons d’introduire une contrainte axiale à l’aide du formalisme de déformation à contrainte globale présenté ci-dessus. Sous l’action d’une contrainte axiale, la surface d’un modèle ne se déforme plus localement mais elle fléchit avec l’axe. La figure 4.17 illustre la contrainte axiale. En haut, un même modèle cylindrique se déforme sous l’action de sollicitations locales avec (à droite) ou sans (à gauche) contrainte axiale. Soit M un 2-maillage simplexe constitué des sommets {pi}i disposant d’une symétrie de révo-lution. L’axe A de M est défini comme un 1-maillage simplexe dont les sommets sont {ai}i. Si la surface est de topologie cylindrique, l’axe est un maillage simplexe avec bord. Dans le cas d’une topologie toroïdale, c’est un maillage fermé. La figure 4.17, ligne du bas, illustre deux modèles de topologies différentes avec un axe central. Chaque sommet p_j du maillage surfacique est attaché aux trois sommets les plus proches de l’axe a_i−1, ai et ai+1. Réciproquement, chaque sommet ai

de l’axe est associé à un ensemble Ei de sommets de la surface. La figure 4.18 (à gauche) illustre la connexion entre un sommet de la surface et les sommets de l’axe.

Un poids ν_ji dépendant de la distance entre l’axe et la surface est associé à chaque couple de sommets appariés de la surface et de l’axe {pj,a_i}. Pendant le processus de déformation, les forces externes s’appliquant sur la surface du maillage sont d’abord calculées de manière classique. Les

Fig. 4.17 – Ligne du haut : déformation d’un cylindre sans (à gauche) et avec (à droite) contrainte axiale. Ligne du bas : maillages simplexes d’un cylindre et d’un tore munis d’un axe central.

4.4. Déformations à contrainte globale 129

i+1

a

i

a

i-1

a

j

p

j,i

ν

j,i-1

ν

j,i+1

A

ν

( )

f

S

p

( )

p

p

f

( )

f

p

a

a

a

a

A

Fig.4.18 – À gauche : relation d’un sommet du maillage aux sommets de l’axe. À droite : calcul des forces axiales en fonction des forces surfaciques.

forces sont alors répercutées sur l’axe en calculant en chaque sommet a_i: f_ext(a_i) =

:

p_j∈Eiν_jif_ext(p_i) :

pj∈Eiν_ji ^.

Les forces régularisantes des 1-maillages simplexes sont calculées sur l’axe et chaque sommet de l’axe est soumis à la force :

f (a_i) = α(i)fint(a_i) + β(i)fext(a_i).

Réciproquement, les déformations de l’axe sous l’action des forces calculées ci-dessus induisent une déformation de la surface qui subit une flexion. Chaque sommet est soumis à une force com-posée d’une composante axiale (faxiale) et d’une composante radiale (fradiale). La force axiale est dépendante du déplacement de l’axe :

faxiale(pj) =

i+1

0

k=i−1

ν_jkf (ai).

La force radiale est orientée selon la perpendiculaire à l’axe et tend à ramener tous les sommet autour d’un point de l’axe à une même distance de l’axe. La position d’équilibre de la surface est donc localement circulaire dans chaque plan perpendiculaire à l’axe. Soit pA

j la projection orthogonale du sommet p_j sur l’axe et

n_j = ^p

A j p_j #pA

j p_j#

la direction radiale. Le rayon moyen de la surface autour du point de l’axe a_i est : r_i = ⁰

p_j∈Ei

et la force radiale exercée par le sommet de l’axe a_i sur le sommet de la surface p_j est définie comme :

f_radiale(a_i,p_j) = p^A_j +⁸(1− ξ)⁵5 5p^A_j p_j⁵5

5+ ξr_i⁹n_j− pj,

où ξ est un coefficient d’influence radiale. Finalement, la force radiale exercée au sommet p_j est : f_radiale(p_j) =

i+1

0

k=i−1

f_radiale(a_k,p_j).

Sous l’action de la seule contrainte axiale, la surface du modèle se déforme selon les flexions de l’axe en conservant des sections circulaires tout au long de son axe. En utilisant des déformations locales avec une contrainte globale axiale, il est possible pour la surface d’exprimer un ensemble plus riche de formes. On peut ainsi représenter des objets à caractère cylindrique mais ne présentant pas une géométrie très régulière.

Nous avons utilisé les contraintes axiales pour segmenter des anévrismes dans des images an-giographiques de vaisseaux cérébraux. Le but est de reconstruire la géométrie détaillée de l’arbre vasculaire dans des régions où un anévrisme a été détecté pour déterminer la topologie précise des interconnexions vasculaires dans cette zone sensible. La figure 4.19 (en haut) montre trois plans de coupes dans trois directions orthogonales de l’image angiographique tridimensionnelle. Dans la ligne centrale, quatre modèles cylindriques sont initialisés grossièrement autour des vaisseaux sanguins et un modèle sphérique est centré sur la lésion. Les modèles sont alors déformés dans l’image. Les modèles cylindriques sont soumis à des déformations locales avec une contrainte axiale. La ligne du bas de la figure 4.19 montre les cinq modèles après opérations topologiques pour relier les différentes composantes.

D’autres contraintes globales

On peut bien entendu imaginer différentes contraintes dépendantes de problèmes particuliers. L’analyse en composantes principales constitue par exemple un moyen de régulariser la surface en fonction d’une connaissance que l’on a des déformations probables d’un modèle. Un objet déformé en utilisant les modes de déformation de l’analyse en composantes principales ne peut exprimer que des formes qui sont définies comme une combinaison linéaire de ces modes. En introduisant des déformations locales, on peut imaginer des déformations plus souples de la surface pour segmenter des objets qui sont mal représentés par les modes de déformation connus.