Contrainte de forme

Soit ε1◦ i , ε2◦

i et ϕ◦

i les paramètres métriques et l’angle simplexe du sommet i à l’origine des déformations de la surface. Si on impose à chaque étape du processus de déformation :

∀i, ˜ε¹i = ε^1◦_i , ˜ε²_i = ε^2◦_i et ϕ˜_i = ϕ^◦_i, (3.8) alors le maillage converge vers sa forme d’origine, à une similitude près, puisque les paramètres métriques et les angles simplexes définissent une forme unique. La contrainte de forme donne au maillage déformable un comportement intéressant. En l’absence de terme d’attache aux données, le maillage converge vers sa forme de référence comme illustré dans la figure 3.8.

Fig. 3.8 – Convergence d’un modèle déformé vers sa forme de référence sous l’action des forces internes. La texture attachée à chaque sommet permet de vérifier qu’il n’y a pas de glissement des sommets sur la surface.

La contrainte de courbure peut être renforcée par l’intermédiaire du paramètre de rigidité η qui permet de lisser la courbure sur un voisinage de taille variable. Nous proposons d’introduire un paramètre de rigidité similaire à celui de la contrainte de courbure de manière à permettre une convergence plus ou moins rapide vers la forme de référence.

Dans l’équation 3.8, l’angle simplexe en chaque sommet est défini de manière purement locale, indépendamment des sommets voisins. L’idée est de trouver un schéma itératif du modèle déformable qui autorise une convergence de la surface vers sa forme de référence d’autant plus rapidement que la taille η du voisinage pris en considération est élevée. Dans la mesure où l’angle simplexe ne doit pas passer d’une valeur extrême (−π) à l’autre (π) et où des valeurs extrêmes signifient des distorsions de la surface correspondant à des situations anormales dans le cadre des surfaces régulières représentant des structures anatomiques, on utilise une métrique plus adaptée à l’angle simplexe :

y_i = tan +ϕ_i

2 ,

Le transformé y_i de ϕ_i est un élément de l’espace vectoriel IR dans lequel on peut utiliser la notion de distance usuelle tandis que ϕ_i appartient à la variété circulaire [−π,π].

Soit {uij}ij un ensemble de réels et {y◦

i}i les transformés des angles simplexes de référence {ϕ◦ i}i

d’un modèle M. Considérons le schéma itératif : ∀i, y^k+1i = y_i^◦+ ⁰

p_j∈Vη(i)

u_ij(y_j^k− y^◦j). Il s’écrit sous une forme vectorielle :

y^k+1 = y^◦+ U(y^k− y^◦),

où y est le vecteur de composantes y_i, y◦ est le vecteur de composantes y◦

i, et U est une matrice dont le terme de la ligne i et de la colonne j vaut u_ij si p_j ∈ Vη(i) et 0 sinon. On montre facilement par récurrence que :

yⁿ= Uⁿ(y⁰− y^◦) + y^◦. (3.9)

L’équation 3.9 converge si et seulement si la plus grande des valeurs propres de la matrice U est strictement inférieure à 1. On peut également montrer que le schéma converge dès que:

ju_ij = ρ < 1 (Montagnat, 1996). C’est à dire que les suites des {yi} convergent vers y0

i quel que soit i. Pour donner une importance égale à tous les points du voisinage de p_i, on prend ∀i,∀j,uij = _|V^ρ

η(i)|. On définit donc la force interne de forme sur un voisinage d’ordre η par :

f_int^η (p_i) = α(i)p_ip˜_i

où ˜p_i est défini par l’angle simplexe : ˜ ϕ_i = 2 tan⁻¹  tan +ϕ^◦_i 2 , + ^ρ |Vη(i)| 0 p_j∈Vη(i) * tan +ϕ_j 2 , − tan * ϕ^◦_j 2 --^ .

Validité du schéma itératif

Nous présentons deux expériences qui illustrent l’effet de la force régularisante proposée précé-demment. Dans la première nous montrons l’accélération de la convergence en fonction du paramètre de rigidité η et du paramètre de normalisation ρ. Dans la seconde, nous analysons la réduction des distorsions produites sur la surface par le paramètre de rigidité.

Convergence

Considérons un maillage surfacique M d’une sphère que l’on perturbe localement et qui évolue sous l’action des seules forces régularisantes de forme. Après un nombre fixé d’itérations, on estime la distance entre la sphère déformée et la sphère d’origine. Une distance appropriée et invariante par une similitude est la somme quadratique des écarts des angles simplexes du modèle avant et après déformation. Soit {ϕ◦

i}i la valeur des angles simplexes de la sphère d’origine et {ϕi}i la valeur des angles simplexes après un certain nombre d’itérations. La distance considérée est donc :

d ({ϕ^◦i}i,{ϕi}i) = @ 0 pi∈M (ϕ_i− ϕ◦ i)2. (3.10)

3.3. Forces internes des surfaces déformables 95 1 5 10 15 20 25 0.999 0.99 0.95 0.85 0.6 0 0.1 0.2 0.3 0.4 Distance η ρ

Fig. 3.9 – Ligne du haut : maillage surfacique d’une sphère après perturbation locale (à gauche) et 100 itérations (à droite) sous l’action de forces régularisantes de forme. Ligne du bas : distance des angles simplexes du maillage déformé aux valeurs d’origine après 100 itérations en fonction du paramètre de rigidité η et de la constante de normalisation ρ.

La figure 3.9 montre l’évolution du maillage surfacique avant et après une centaine d’itérations. Le graphique mesure la distance d’après l’équation 3.10 en fonction des paramètres η et ρ. Il apparaît clairement que la convergence est meilleure quand le paramètre de rigidité augmente. D’autre part, la diminution de ρ accélère également la convergence. Mais si ρ devient trop petit, le paramètre de rigidité perd de son influence. En pratique nous avons fixé ρ à 0,95.

Distorsions de la surface

Nous considérons ici un objet surfacique en forme de croix ayant subit une transformation rigide par rapport à sa position de référence. Sous l’action de forces externes, le maillage évolue vers sa position initiale. La figure 3.10, à gauche, montre la surface (en faces pleines) et sa position initiale (en fil de fer).

Après un nombre fixé d’itérations, le maillage revient à sa position initiale mais la surface subit une distorsion en raison de la nature locale des déformations. C’est à dire qu’un sommet revient sur la surface d’origine mais pas forcément à sa position d’origine sur cette surface et qu’il se trouve donc en plus mauvaise adéquation avec la surface puisque la courbure de sa nouvelle position ne correspond pas forcément avec sa courbure d’origine. On mesure la distorsion de la surface comme la somme des distances entre la position {pi}i des sommets après déformation et la position {p◦

i}i

sommets du modèle à l’origine :

d ({pi}i,{p^◦i}i) =⁰ i #pi− p^◦i# . 0 50 100 150 200 250 0 5 10 15 20 30 40 55 Distance

avec contrainte de forme sans contrainte de forme

η

Fig.3.10 – À gauche: une surface décalée par un transformation rigide par rapport à sa position ini-tiale. À droite: distance de la surface à la surface initiale après convergence en fonction du paramètre de rigidité η.

La figure 3.10, à droite, montre l’évolution de la distance après convergence en fonction de l’accroissement du paramètre de rigidité en utilisant la contrainte de courbure (tirets discontinus) ou la contrainte de forme (trait plein). Cette dernière permet une meilleure convergence dans tous

3.3. Forces internes des surfaces déformables 97

les cas, et surtout, la distance décroît de manière monotone lorsque η augmente. La prise en compte d’un voisinage plus important permet une convergence plus homogène des sommets du maillage.

Chapitre 4

Régularisation locale et globale

L

en général sur l’hypothèse que les contours dé-limitant les objets recherchés correspondent à un minimum global ou local d’une énergie potentielle. En pratique, on ne garantit la convergence que vers un minimum local. Il convient donc de rendre la fonction d’énergie aussi convexe que possible au voi-sinage de la solution de manière à ce que le modèle soit moins dépendant de sa position et de sa forme initiale. Nous proposons ici un schéma d’évolution

à contrainte globale permettant de mieux contrô-ler les déformations du modèle de manière efficace (Montagnat et Delingette, 1997a). Il permet une initialisation plus grossière du modèle et rend pos-sible la segmentation de données bruitées grâce à un comportement adéquat du processus de défor-mation. Des contraintes de déformations spécifiques ou une contrainte globale de forme s’expriment en outre de manière naturelle dans ce cadre (Monta-gnat et Delingette, 1998).

4.1 Régularisation des déformations

La qualité parfois très médiocre des image médicales ou le manque de contraste dû à une mauvaise discrimination des tissus par le processus physique d’acquisition d’images rendent le problème de reconstruction des modèles déformables difficile. La fonctionnelle d’énergie n’est pas convexe et le processus de déformation est très sensible à la position initiale du modèle.