5.2 Géométrie des images
5.2.3 Filtrage en géométrie non Cartésienne
La convolution d’une image par un filtre est une opération classique qui permet de lisser l’image ou d’en extraire des caractéristiques différentielles. Deux méthodes sont souvent utilisées : les masques discrets pour leur simplicité et les filtres récursifs (Shen et Castan, 1986; Deriche, 1987) pour leur efficacité. Ces deux approches ne sont pourtant adaptées qu’au traitement d’images en géométrie Cartésienne. Nous proposons ici une extension des masques de convolution à d’autres géométries (Montagnat et al., 1999).
Masques discrets Cartésiens
L’opération de convolution d’une image I par un filtre f s’exprime au point v de l’espace par : (I ⊗ f)(v) = 4 ∞ −∞ 4 ∞ −∞ 4 ∞ −∞f (vx− x,vy − y,vz− z)I(x,y,z)dxdydz. (5.2) Elle peut être discrétisée et approchée par une somme finie de termes :
(I⊗ f)(v) = vx+δx 0 x=vx−δx vy+δy 0 y=vy−δy vz+δz 0 z=vz−δz f (vx− x,vy− y,vz− z)I(x,y,z).
5.2. Géométrie des images 153
Cette opération correspond à la convolution discrète de chaque voxel de l’image par une matrice 3D de dimensions (2δx + 1) × (2δy + 1) × (2δz + 1).
La matrice de convolution doit vérifier les propriétés suivantes pour réaliser une opération conforme sur l’image :
• Neutralité. La convolution de toute valeur de l’espace des niveaux de gris de l’image G par la matrice de filtre est un élément de G.
• Normalisation. La somme des termes d’un filtre de dérivation est nulle. La somme des termes d’un filtre de lissage est égale à 1. Le filtre n’introduit ainsi pas de biais dans l’image.
Les filtres les plus utilisés sont les filtres monodimensionnels séparables. Un filtre est séparable si il peut être décomposé en plusieurs filtres de dimension inférieurs appliqués à l’image les uns après les autres. L’utilisation de filtres de plus faibles dimensions réduit considérablement la complexité algorithmique du filtrage.
Cette approche est adaptée aux images de géométrie Cartésienne pour lesquelles les voxels sont répartis selon une grille régulière mais il est possible de l’adapter au cas non Cartésien.
Masques discrets en géométrie non cartésienne
Les opérateurs classiques de convolution peuvent s’appliquer sur une image de géométrie quel-conque après son rééchantillonnage en géométrie Cartésienne. Cependant, la réponse d’un opérateur à des valeurs d’intensité délocalisées ou erronées par le rééchantillonnage rend souvent le résultat inutilisable (voir figure 5.15). Il est aussi possible, dans certains cas, d’appliquer des opérateurs bidimensionnels. En géométrie cylindrique par exemple, un opérateur bidimensionnel permet de traiter chaque plan. Cependant, cette approche ne prend pas en compte l’information qu’apporte la troisième dimension et réduit sensiblement les capacités du filtrage.
Nous proposons de calculer un vecteur de gradient tridimensionnel pour chaque voxel de l’image. Une approche similaire en deux dimensions a été proposée dans (Herlin et Ayache, 1992). Soit v un point de l’espace Euclidien de coordonnées Cartésiennes (vx,vy,vz) et I une image. Dans une géométrie non Cartésienne, les coordonnées (va,vb,vc) de v vérifient les relations :
vx= Cx(va,vb,vc) vy = Cy(va,vb,vc) vz= Cz(va,vb,vc),
où Cx, Cy et Cz sont trois fonctions de changement de coordonnées.
L’équation 5.2 de convolution de l’image par un filtre f s’exprime par changement de système de coordonnées :
(I ⊗ f)(v) =
4 4 4
f (vx− Cx(a,b,c),vy − Cy(a,b,c),vz− Cz(a,b,c))I(a,b,c)|J|dadbdc où J est la matrice Jacobienne de changement de coordonnées :
J = ∂Cx ∂x ∂C∂yx ∂C∂zx ∂Cy ∂x ∂Cy ∂y ∂Cy ∂z ∂Cz ∂x ∂C∂yz ∂C∂zz .
Dans le cas de la géométrie cylindrique par exemple, les relations Cx, Cy et Cz sont définies par l’équation 5.1, |J| = r et l’équation de convolution devient :
(I ⊗ f)(v) = 4 ∞ −∞ 4 2π 0 4 ∞
0 rf (vx− x0+ r sin(θ),vy− x0− r cos(θ),vz− z)I(r,θ,z)drdθdz Dans le cas conique, |J| = −r2sinA
α−α0 2 B . Après discrétisation : (I ⊗ f)(v) = vx+δx 0 x=vx−δx vy+δy 0 y=vy−δy vz+δz 0 z=vz−δz
rf (vx− x0+ r sin(θ),vy− x0− r cos(θ),vz− z)I(r,θ,z). Pour dériver une image, par exemple, nous calculons les masques à partir des filtres de Deriche (Deriche, 1987). Soit Ddle filtre de dérivation et Ldle filtre de lissage dans la dimension d ∈ {x,y,z}.
Dd(u) = ue−α|u|, Sd(u) = (α|u| + 1)e−α|u|. Les opérateurs directionnels de gradient sont définis comme :
Gx(u) = Dx(u)Ly(u)Lz(u) Gy(u) = Lx(u)Dy(u)Lz(u) Gz(u) = Lx(u)Ly(u)Dz(u)
et les masques sont calculés par échantillonnage de Gx, Gy et Gz. Les valeurs obtenues sont nor-malisées de façon à ce que la somme des coefficients positifs égale 1 et la somme des coefficients négatifs égale −1. La somme des coefficients de chaque masque est ainsi nulle.
Cette approche est coûteuse comparée au filtrage en géométrie Cartésienne car elle nécessite de recalculer les masques en chaque voxel de l’image. Cependant, le calcul du filtrage ne fait intervenir que les valeurs de l’intensité aux points connus de l’image et les coefficients des masques en ces points. La méthode garantit donc l’exactitude du calcul des caractéristiques différentielles de l’image. La figure 5.16 montre la réponse des filtres de dérivation dans une coupe d’une image synthétique d’un cube échantillonné en géométrie cylindrique. La norme du gradient est calculée correctement dans toutes les directions et la réponse du filtre est stable en tout point de l’image malgré la variation de la densité d’information à une certaine distance de l’axe. Des filtres de différentes tailles sont testés : δr = δθ = δz = 1 à gauche, δr = δθ = δz = 2 au centre et δr = δθ = δz = 3 à droite.
La figure 5.17 compare le résultat du calcul de la norme du gradient par filtres de Sobel 2D (au centre) et par masque cylindrique 3D (à droite) dans une coupe d’une image ultrasonore en géométrie cylindrique (à gauche). L’ensemble de la coupe est visualisée dans la ligne du haut tandis qu’un détail apparaît sur la ligne du bas. Le masque cylindrique améliore sensiblement la détection des contours. Il diminue d’avantage l’importance du speckle en prenant en compte la cohérence spatiale dans la troisième dimension de l’image. Il permet un filtrage plus efficace notamment dans la région centrale où les données sont assez denses. La réponse du filtre est également plus régulière.
5.2. Géométrie des images 155
Fig.5.16 – Image d’un cube en géométrie cylindrique et réponse de filtres de dérivation cylindrique dans l’un des plan de l’image. De gauche à droite : filtres de taille 32, 52 et 72.
Fig. 5.17 – Calcul de la norme du gradient dans une coupe d’une image ultrasonore cylindrique (à gauche) en utilisant les masques de Sobel 2D (au centre) et un masque cylindrique 3D (à droite). La ligne du bas présente un détail de l’image du haut.