Discussion

fusion axiale

rupture annulaire

Fig.1.8 – Opérations topologiques non-Euleriennes sur les triangulations.

distance entre chaque paire de sommets. Une structure d’octree est utilisée pour réduire la complexité algorithmique.

Dans le chapitre 2, nous introduisons un algorithme de changement de topologie adapté aux maillages simplexes qui découple les aspects géométriques et topologiques.

1.5 Discussion

Nous avons présenté un inventaire des principales approches proposées dans la littérature pour modéliser des contours ou des surfaces. La littérature sur les modèles déformables est abondante et il existe des représentations très variées. On s’apperçoit cependant que la nécessaire discrétisation des modèles et des équations d’évolution pour la résolution numérique conduit souvent à des schémas itératifs très proches, si ce ne sont les problèmes de résolution numérique qui peuvent conduire à des résultats sensiblement différents.

Dans le cas de notre étude nous nous intéressons à la segmentation d’images médicales de qualité très variable. Notre préoccupation principale sera d’obtenir des résultats robustes même en présence de bruit et dans des images faiblement contrastées. L’hypothèse selon laquelle le minimum global de la fonctionnelle d’énergie correspond à une description des objets désirés n’est pas garantie dans la mesure où les structures d’intérêt ne sont pas forcément les plus contrastées de l’image. On se satisfait donc d’un processus de recherche des minima locaux de la fonctionnelle d’énergie. Le processus de reconstruction sera dépendant de l’initialisation du modèle dans l’image, c’est-à-dire de l’information a priori que le modèle apporte en terme de position et de forme.

Enfin, le traitement d’images médicales nécessite d’attacher le plus grand soin quant à la validité des résultats obtenus bien que cette étape de validation s’avère souvent très complexe. En premier lieu, le praticien doit pouvoir intervenir pour corriger les erreurs des algorithmes de reconstruction automatique. L’outil de segmentation est un assistant parfois indispensable pour l’interprétation et la modélisation des images médicales 3D, mais le praticien à besoin de pouvoir décider, en définitive, de la validité des résultats obtenus.

Parmi les différents types des modèles déformables, nous avons choisi une représentation discrète qui nous permet de nous affranchir de nombreux problèmes de paramétrisation de la surface et de

discrétisation de l’équation d’évolution. Cette approche permet de plus de manipuler simplement la topologie des surfaces considérées. Elle conduit à une résolution rapide de l’équation d’évolution ce qui permet de proposer des applications interactives où le praticien peut guider et corriger le modèle en cours de déformation.

Chapitre 2

Maillages simplexes

L

repré-sentation discrète des modèles déformables surfaciques. Ce sont des maillages discrets régu-liers topologiquement duaux des triangulations. Ils sont fondés sur un formalisme élégant permettant de définir la forme d’une surface localement en chaque sommet du maillage. Ils permettent de re-présenter des surfaces avec n’importe quelle topolo-gie. Nous rappelons ici la définition des maillages

simplexes (Delingette, 1994a). Nous définissons des notions de qualité géométrique et topologique des maillages simplexes et nous proposons des algo-rithmes de raffinement et de décimation (Monta-gnat et al., 2000; Scapel, 1999). Nous introduisons un algorithme de changement automatique de to-pologie que nous comparons à l’approche classique par ensembles de niveaux (Delingette et Montagnat, 2000a).

2.1 Topologie

Les maillages simplexes ont été introduits par (Delingette, 1994a). Dans ce paragraphe, nous définissons les maillages simplexes complets de IR3 que nous utilisons pour représenter des surfaces déformables. Nous nous intéressons plus particulièrement aux 1- et aux 2-maillages simplexes per-mettant de représenter des contours et des surfaces respectivement. Le lecteur désireux d’étudier la généralisation aux k-maillages simplexes pourra se reporter à (Delingette, 1994a).

Sommets

Un k-maillage simplexe de IRn, est un maillage dont chaque sommet possède exactement (k + 1) voisins. Il est défini par l’ensemble de ses sommets {i}_{i∈!0,d−1"} et des relations de voisinage pour chaque sommet (PP₁(i), . . . ,PP_k+1(i))∈ (IN → IN)k+1 vérifiant les propriétés suivantes.

• Unicité. Un sommet ne peut pas être son propre voisin et un sommet ne peux pas posséder deux fois le même voisin :

∀i ∈ !0,d − 1",∀j ∈ !1,k + 1",PPj(i).= i

∀i ∈ !0,d − 1",∀j .= l ∈ !1,k + 1",PPj(i).= i et PPl(i).= PPj(i). • Réciprocité. Si i est un voisin de l alors l est un voisin de i :

PPj(i) = l⇒ ∃m ∈ !1,k + 1",PPm(l) = i. On note p_i la position du sommet i.

Arêtes

Les relations de voisinage permettent de définir les arêtes qui relient certains sommets du maillage entre eux. D’après la définition donnée ci-dessus, un k-maillage simplexe ne peut avoir au plus qu’une arête reliant deux sommets.

Fig. 2.1 – 1-maillage simplexe ouvert et 2-maillage simplexe fermé de IR2.

Faces

On appelle face d’un 2-maillage simplexe un ensemble de sommets {PFi(0),PF_i(1), . . . ,PF_i(m− 1)} vérifiant le propriétés suivantes.

• Fermeture. Les sommets d’une face sont reliés deux à deux par une succession d’arêtes jointives fermée :

2.1. Topologie 49

• Unicité. Aucune arête ne partage une face en deux :

∀j,h ∈ !0,m − 1",∀l ∈ !1,3",PPl(PF_i(j)) = PF_i(h)⇒ h = (j + 1)[m] ∨ j = (h + 1)[m]. Une face définit donc un polygone (p_PFi(0),p_PFi(1), . . . ,p_PFi(m−1)) généralement non plan de som-mets adjacents. D’après les propriétés précédentes, deux faces partagent au plus une arête. Deux faces partageant une arête sont dites adjacentes. Les faces d’un maillage réalisent une partition de l’ensemble des sommets, chacun appartenant à exactement trois faces.

Orientation

Les relations de voisinage induisent une orientation des arêtes autour des sommets et donc une orientation des sommets d’un k-maillage simplexe. On impose à tous les sommets d’une face d’être orientés de manière cohérente, induisant ainsi une orientation de la face. La figure 2.2 illustre une face orientée à partir de l’orientation de ses sommets (à gauche) et l’orientation de l’ensemble des sommets et des faces d’un 2-maillage simplexe (à droite).

Fig. 2.2 – Orientation des sommets d’une face, orientation induite de la face (à gauche) et orien-tation induite sur l’ensemble d’un 2-maillage simplexe (à droite).

2.1.1 Maillages simplexes et triangulations

Il existe une équivalence topologique entre les k-maillages simplexes et les k-solides. Dans le cas des 1- et des 2-maillages simplexes, le tableau 2.3 définit la dualité entre les composants d’un simplexe et ceux d’un solide.

1-maillage simplexe ⇔ polygone 2-maillage simplexe ⇔ triangulation

sommet ⇔ arête sommet ⇔ face

arête ⇔ sommet arête ⇔ arête

triangle ⇔ sommet Fig. 2.3 – Dualité entre les maillages simplexes et les solides.

En particulier, un 2-maillage simplexe est topologiquement dual d’une triangulation, comme l’illustre la figure 2.4. Cette dualité est purement topologique et il n’existe pas d’homéomorphisme transformant les coordonnées d’un maillage simplexe en les coordonnées du solide dual.

Fig. 2.4 – 1-, 2-maillage simplexe (en traits pleins) et leurs duaux topologiques (en tirets disconti-nus).

2.1. Topologie 51

2.1.2 Bord d’un maillage simplexe

Un bord d’un k-maillage simplexe est un (k − 1)-maillage simplexe. Un 1-maillage simplexe possède exactement zéro ou un bord (il est soit ouvert, soit fermé). Un bord d’un 1-maillage simplexe est une arête marquée absente qui relie deux sommets correspondant aux extrémités du maillage. Un 2-maillage simplexe peut posséder plusieurs bords. Chaque bord est une face marquée absente qui constitue un trou dans la surface.

La figure 2.6 représente un 1- et un 2-maillage simplexe avec bord.

bords

Fig. 2.6 – 1- et 2-maillage simplexe avec un bord.

2.1.3 Contour d’un 2-maillage simplexe

Un contour d’un 2-maillage simplexe M est un 1-maillage simplexe dont les sommets et les arêtes coïncident avec des sommets et des arêtes de M. Les contours sont utiles pour définir des opérations topologiques et appliquer des contraintes localement sur la surface d’un maillage. On définit un contour Ci de longueur l sur un 2-maillage simplexe M de d sommets à l’aide d’une fonction d’adjacence :

PC_i : !0,l− 1" → !0,d − 1"

j (→ PCi(j) le rang d'un sommet deM qui vérifie les propriétés :

• Fermeture. Le contour est nécessairement fermé : ∀j ∈ !0,l − 1",∃k ∈ !1,3",PCi((j + 1)[l]) = PP_k(j).

• Contour simple. Un contour ne peut pas se recouper : ∀j,k ∈ !0,l − 1",PCi(j).= PCi(k). • Indépendance. Un sommet appartenant à un contour ne peut pas avoir ses trois voisins sur le

2.1.4 Voisinage d’un sommet

On appelle voisinage d’ordre η d’un sommet i et on note Vη(i) l’ensemble des sommets du maillage qui sont topologiquement distants de i d’au plus η. C’est à dire qu’il existe un chemin d’arêtes jointives de longueur au plus η entre i et chaque sommet de Vη(i). La figure 2.7 illustre les voisinages d’ordre 1, 2 et 3 d’un sommet d’un 2-maillage simplexe.

p i p i p i

Fig. 2.7 – Voisinages d’ordre 1, 2 et 3 d’un sommet d’un 2-maillage simplexe. On note |Vη(i)| le nombre de sommets du voisinage Vη(i).