Théorie classique 2.5D

On peut étendre la théorie de la section précédente pour construire une salle de repro- duction où chaque mur, plancher et plafond s'assimile à un plan inni (on verra à la section 2.2.4 comment traiter la troncature spatiale d'un RSS). En terme de réalisation pratique, cela veut dire une salle dont tous les murs, plafonds et planchers sont couverts de haut-parleurs. Ceci devient très couteux en matériel, infrastructure et charge de calcul pour les signaux de commande des haut-parleurs. C'est pourquoi, à moins que l'espace 3D soit essentiel au projet de reproduction, beaucoup de congurations de systèmes WFS utilisent des RSS linéaires ou curvilignes, diminuant substantiellement les ressources néces- saires. Ces systèmes restreignent cependant la reproduction valide sur un plan plutôt qu'un espace. Comme l'humain est habitué d'évoluer dans un monde 3D selon des déplacements 2D sur un plan horizontal, il s'agit d'un compromis acceptable lors de la reproduction de scènes acoustiques où l'auditeur est amené à se déplacer. Bien entendu, le contenu sonore provenant d'en haut et d'en bas, s'il en existe, est ramené sur le plan horizontal, ce qui peut déformer la reproduction. Comme traditionnellement les reproductions sonores par WFS utilisent des sources ponctuelles et des ondes planes3_{, elles peuvent être placées de façon}

astucieuse au même niveau d'élévation que le RSS linéaire pour éviter le problème. Des solutions pour traiter les sources ponctuelles virtuelles se trouvant hors du plan d'écoute sont décrites à la section 2.2.3.

Suivant ces hypothèses, des opérateurs WFS 2.5D conçus pour la reproduction sonore sur un plan horizontal existent. Imaginons une ligne horizontale innie de sources secondaires remplaçant le plan inni de la section précédente, formant maintenant un RSS linéaire inni (voir gure 2.7). L'approximation par phase stationnaire (APS, développée à l'an- nexe C) est utilisée pour que chaque terme de l'équation (2.7) soit ramené sur le plan horizontal, c'est-à-dire que z0 = 0 dans chaque fonction dépendante de x0 et que z = 0

dans chaque fonction dépendante de x [Berkhout et al., 1993; Verheijen, 2010; Williams, 1999]. L'intégration surfacique de l'équation (2.7) devient une intégration linéaire. D'autres termes découlant de l'APSsont regroupés sous un facteur Q (en m), un facteur dimen- sionnel permettant que les unités physiques restent valides dans l'équation (2.7).

S(x, ω) = − 

A₀

G(x, x0, ω)D(x0, ω)Qdx0 (2.8)

3_{En reproduction sonore, on peut représenter une onde plane par une source ponctuelle située très loin}

de l'auditeur. À ce moment, le rayon de courbure du front d'onde est si grand qu'il s'approche d'un front d'onde plane par rapport aux dimensions de la salle de reproduction. Dans la suite du texte, je ne ferai plus allusion à l'utilisation d'ondes planes en WFS, par souci de concision.

Traditionnellement, Q prend cette forme [Ahrens, 2012, p. 104] : Qt =

 2πyref

jk (2.9)

où yref est la distance entre le RSS et une ligne de référence choisie arbitrairement, parallèle

au RSS linéaire et dans le plan de reproduction. Cette variable apparaît dans l'élaboration de l'APS, qui rend S dépendant de la position de l'auditeur en x (x et y), ce qui n'est pas souhaitable puisqu'on désire reproduire physiquement un champ acoustique cible dans une zone étendue et sans système de poursuite de l'auditeur. On peut trouver un compromis en rendant valide la reproduction sur une ligne parallèle au RSS située à une distance yref de celui-ci (voir gure 2.7). Cette approximation introduit une erreur d'amplitude

dans le champ de reproduction : la décroissance d'amplitude à partir du haut-parleur s'approche d'un rapport de 1/√r, par rapport à une décroissance en 1/r habituelle pour un monopôle. L'explication est fournie au chapitre 4, lors du développement du facteur Q utilisé dans ce projet. Le résultat est que le champ acoustique reproduit entre le RSS et la ligne de référence est plus faible que le champ cible ; le champ acoustique reproduit après la ligne de référence est plus fort que le champ cible et le champ acoustique reproduit sur la ligne de référence est identique au champ cible. Cependant, dans tout le champ acoustique reproduit, il n'y a théoriquement pas d'erreur de phase introduite. Cette erreur d'amplitude est inévitable, mais n'aecte pas le champ acoustique de façon perceptible [Verheijen, 2010].

Pour un réseau de sources secondaires carré englobant une zone de reproduction, comme il est utilisé dans ce projet de recherche, la même construction de la ligne de référence peut-être utilisée, en dénissant une ligne de référence par côté de carré. Cependant, pour une source virtuelle étendue focalisée, celle-ci risque de croiser la ligne de référence et créer une instabilité dans l'opérateur WFS. Il a donc été nécessaire de repenser la construction des lignes de référence, ce qui est expliqué au chapitre 4.

Ahrens montre que l'expression classique de Qt n'est pas physiquement exacte quand

l'onde à reproduire est diérente d'une onde plane se propageant dans une direction per- pendiculaire au RSS linéaire [Ahrens, 2012, p. 106]. Il suggère d'utiliser :

QPW =

 2πyref

jk sin θPW (2.10)

où θPWest l'angle entre le RSS linéaire et la direction du front d'onde plane (voir gure 2.8).

Figure 2.7 Schéma représentant l'intégrale de Rayleigh I 1D, avec un RSS linéaire inni et continu et un panneau comme source virtuelle.

planes non parallèles au RSS sont reproduites à partir des équations (2.7) et (2.9). Ce facteur QPW n'est pas valide pour le projet de recherche en cours, puisque celui-ci vise

la reproduction de sources virtuelles composées de sources ponctuelles pouvant se trouver proches des haut-parleurs : le front d'onde traversant le RSS est donc loin d'être plan. On fera souvent référence à cette hypothèse par la suite, sous la forme kr0  1, ce qui signie

que la source virtuelle est susamment loin du RSS pour émettre une onde quasi plane. Par dénition :

r0 =||x0− xs|| (2.11)

Lorsque la source virtuelle est susamment proche du RSS pour inrmer cette hypothèse, on indiquera kr0  1. La modication du facteur Q pour respecter kr0  1 est décrite au

chapitre 4 : le nouveau facteur développé dans ces travaux est nommé Qd.

Figure 2.8 Construction géométrique de l'angle θPW entre le RSS linéaire et la