Ce chapitre a permis de mieux positionner la Wave Field Synthesis parmi d'autres tech- niques de reproduction qui auraient pu être utilisées pour auraliser des modèles vibroa- coustiques 3D théoriques. Des approximations couramment utilisées en WFS, mais qui peuvent être améliorées ou changées par rapport aux objectifs du projet de maîtrise, ont été énoncées. Ensuite, diérentes approches pour modéliser des sources primaires com- plexes ont été décrites, et les défauts de celles-ci ont été soulevés pour justi er la nouvelle approche faite dans ce mémoire. Finalement, une introduction sur la mesure de perte par insertion de panneaux acoustiques et la modélisation de champs dius a été faite pour mieux cerner l'application de ce projet dans un contexte d'ingénierie.
Suite à cette revue de littérature, on peut tirer du travail de l'étudiant quelques contribu- tions originales :
Premièrement Un opérateur WFS 2.5D qui permet des sources focalisées et extérieures pour un réseau de haut-parleurs rectangulaire : le concept de ligne de référence est repensé, puisqu'il ne peut être le même que pour un réseau linéaire ou circulaire. Deuxièmement Un facteur de compensation pour les sources virtuelles hors du plan de
reproduction : la structure à reproduire a une hauteur non négligeable et la straté- gie de décomposition de l'objet fait en sorte que la majorité des sources virtuelles représentant l'objet sont hors plan.
Troisièmement Une solution pour ne pas utiliser la simpli cation traditionnelle en WFS qui suppose que la source virtuelle est su samment loin des haut-parleurs (kr0 1) :
ceci permet de mieux reproduire des sources virtuelles plus près des auditeurs, c'est- à-dire directement derrière les haut-parleurs ou focalisées dans la salle.
Quatrièmement Un facteur de correction d'énergie pour les haut-parleurs lorsque ceux- ci sont fenêtrés pour atténuer les artefacts de reproduction, ce qui permet l'obtention des bons niveaux physiques pour la reproduction, plutôt qu'un signal représentatif en temps et fréquence ajusté avec un gain pour obtenir le bon niveau.
Cinquièmement L'application de la Wave Field Synthesis telle que développée et ra née aux étapes précédentes dans une partie d'un processus de développement de produit acoustique, c'est-à-dire la perte par insertion de panneaux : en auralisant le panneau à partir de son modèle théorique sans le fabriquer, on peut accélérer le prototypage acoustique.
MODÈLE ANALYTIQUE VIBROACOUSTIQUE
D'UN PANNEAU
Pour tester l'outil proposé dans ce mémoire, un modèle vibroacoustique de source primaire étendue est choisi. Un panneau rectangulaire mince vertical simplement supporté et ba é a été choisi pour plusieurs raisons. Premièrement, une expression analytique représentant ce modèle de vibration linéaire est déjà disponible et permet une implantation paramétrique facile avec Matlab. Deuxièmement, ce genre de source primaire possède un patron de directivité de rayonnement très marqué par son comportement modal en exion pure. Troisièmement, il est facile de se faire une idée de comment résonne un panneau, lorsqu'il est excité par une force ponctuelle ou un champ acoustique dius, puisque cette situation est courante. Ce dernier point est essentiel, puisque l'écoute perceptive du modèle pendant le développement de l'outil doit permettre de détecter certains défauts et aucun panneau avec les paramètres physiques du modèle n'est disponible pour écouter la réponse sonore (timbre) réelle qu'on désire reproduire.
Une plaque rectangulaire est préférée à une plaque carrée pour éviter les cas dégénérés où deux modes ont la même fréquence de résonance. Pour le développement, on dé nit le système de coordonnées, la position du panneau et la position du RSS à la gure 3.1. Les paramètres physiques du panneau sont résumés au tableau 3.1. L'indice s pour les variables et vecteurs indique l'association à la surface du panneau. L'indice 0 pour les variables et vecteurs indique l'association au RSS.
Tableau 3.1 Paramètres physiques du panneau Symbole Unités Valeur Description
ν - 0.33 Coe cient de Poisson
E Pa 70 Ö109 Module de Young
ρs kg/m3 2700 Masse volumique
η - 0.004 Facteur de perte structural
a m variable Largeur du panneau (selon l'axe x, pour la gure 3.1) b m variable Hauteur du panneau (selon l'axe z, pour la gure 3.1) e m variable Épaisseur du panneau (selon l'axe y, pour la gure 3.1) θs ° variable Angle du panneau par rapport à l'axe x, dans le plan
x-y, pour la gure 3.1 39
Figure 3.1Panneau acoustique virtuel positionné par rapport à un RSS carré pour illustrer les variables géométriques du problème. Notons le changement de direction de n0 selon le haut-parleur. Dans ce projet, le panneau est toujours
vertical, mais peut avoir un angle θs par rapport à l'axe x.
3.1 Champ vibratoire sur la surface du panneau
Pour exciter le panneau a n qu'il rayonne acoustiquement, on peut soit utiliser une force ponctuelle ou une excitation aérienne (dans ce cas, un champ de pression acoustique dius). Pour déterminer le champ acoustique P (x, ω) rayonné par le panneau, qui sert au calcul de la commande D(x0, ω) des sources secondaires de reproduction, il faut déterminer sa
vitesse vibratoire transversale complexe us(xs, ω) (en m/s) selon ns en tout point sur sa
surface, à partir du déplacement vibratoire transversal ws(xs, ω) (en m) en tout point
sur sa surface [Junger et Feit, 1986, sect. 7.10]. Le développement complet du modèle vibratoire du panneau peut être trouvé dans cette référence et celui-ci est résumé dans cette section.
3.1.1 Excitation ponctuelle
Le panneau est excité par une force harmonique ponctuelle1 F (ω) = ejωt, agissant dans la
direction de la normale au panneau nset au point xF ∈ xs. L'indice F indique l'association
à la force ponctuelle. Pour le panneau, on peut dé nir la norme modale Nmn (en m2), les
amplitudesmodaleswmn(ω) (en m), la rigidité en exion Dp (en Pa·m3) et l'impédance
modale Zmn(ω) (en rad2/s2) :
Nmn = ab/4 (3.1) wmn(ω) = |F (ω)|Φ mn(xF) ρseNmnZmn(ω) (3.2) Dp = Ee3 12(1− ν2) (3.3) Zmn(ω) = ωmn2(1 + jη)− ω2 (3.4)
où lesfréquencesnaturellesdu panneau ωmn (en rad/s) sont dé nies par :
ωmn = Dp ρse m2π2 a2 + n2π2 b2 (3.5) Puisque le panneau est vertical et que son origine est placée en son centroïde, on dé nit une fonction propre générale pour n'importe quel point qui satisfait x ∈ xs (aussi, xF ∈ xs) :
Φmn(xs) = Φm(xs)Φn(zs) = sin mπ a xa− a 2 sin nπ b za− b 2 (3.6) où xaet za sont les coordonnées horizontales et verticales, respectivement, dans le système
de coordonnéesde la surface As de la plaque ayant comme origine la position spatiale xc
de son centroïde. Le champ de déplacement vibratoire ws(xs, ω) est la somme du produit
desamplitudesmodaleswmn(ω) et desfonctionspropresΦmn(x) : ws(xs, ω) = m n wmn(ω)Φmn(xs) (3.7)
où on limite l'expansion modale, c'est-à-dire le nombre de modes calculés horizontalement (indice m) et verticalement (indice n), à 150 chacun, où tant que ωmn/2π = fmn ≤ 24 kHz2.
De plus, si m ou n est plusgrand que 150, pour lestaillesde panneaux modélisésdansce projet, il y a de forteschancesque le modèle vibratoire modal ne soit plusvalide : le modèle modal devient trèslourd numériquement et leshypothèsesde exion pure risquent de ne
2On a choisi 24 kHz, c'est-à-dire le maximum d'une plage fréquentielle utilisable pour le standard de
fréquence d'échantillonnage en reproduction audio de 48kHz. On découple ainsi le problème de limitation fréquentielle du modèle vibroacoustique et la fréquence d'échantillonnage utilisée pour les simulations et reproductions. Pour tous les cas présentés dans ce mémoire, on calcule les réponses de plaques avec
Nb = 2049 composantes fréquentielles uniformément réparties de 0 à fS/2 = 4096 Hz. La principale
limitation pour ne pas calculer la réponse de plaque dans tout le spectre audible est la limite des ressources informatiques disponibles.
plus être valables en hautes fréquences (lorsque les longueurs d'onde deviennent du même ordre de grandeur que l'épaisseur du panneau). Dans ce dernier cas, un modèle du domaine statistique (Statistical Energy Analysis, ou SEA) serait plus approprié [Renji et al., 2002]. Finalement, on obtient la vitesse vibratoire transversale us(xs, ω) surle panneau :
us(xs, ω) =
∂ws(xs, ω)
∂t = (jω)ws(xs, ω) (3.8)
Dans le cas où on voudrait généraliser la méthode à un panneau plan quelconque3, la
valeurde us(xs, ω) peut être extraite d'un autre type de modèle analytique ou numérique
(parexemple, la méthode paréléments nis).
3.1.2 Discrétisation en espace et en fréquences du modèle analy-
tique de panneau continu
La fonction de champ vibratoire us(xs, ω) est continue surtout le panneau. La stratégie
de représentation du modèle 3D est la discrétisation de sa surface en une multitude de sources ponctuelles, avec des valeurs xs discrètes. La grille est construite avec un maillage
d'éléments carrés (Δxs = Δzs), avec Ls noeuds horizontaux et Hs noeuds verticaux.
Les proportions des panneaux utilisés pour évaluer et développer l'outil proposé ont été sélectionnées a n que ce maillage soit possible. Les dimensions entre les points xs discrets
sont identi ées par Δxs et Δzs (en m), les espaces inter-points à l'horizontale et à la
verticale, respectivement.
A n de s'assurer qu'un contenu fréquentiel su sant peut être représenté par la grille spatiale lors du rayonnement acoustique, ces critères doivent être respectés :
max(Δxs, Δzs)≤ c0 2fsource,max (3.9) Δxs< a/(max(m) + 1) (3.10) Δzs < b/(max(n) + 1) (3.11)
où fsource,max (en Hz) est la fréquence jusqu'à laquelle les signaux sont calculés pour les
cas d'excitation large bande, indépendamment de l'expansion modale. Dans une réalisation pratique où des signaux numériques discrets échantillonnés à une fréquence fS(en Hz) sont
3Un panneau avec des raidisseurs, un panneau multicouches ou multimatériaux, un matériel non li-
employés pour lareproduction, fsource,max ≤ fS/2 est le critère pour éviter du repliement
fréquentiel.
Laméthode proposée est développée en fonction de lafréquence d'excitation de F (ω). Ainsi, pour réaliser un modèle large bande, il su t de calculer le modèle pour plusieurs fréquences, espacées d'une valeur Δf (en Hz) constante. Lorsque la transformation des signaux du domaine fréquentiel vers le domaine temporel pour calculer les signaux de commande des sources secondaires D(x0, t) est faite, une sommation implicite sur les
fréquences pour chaque point xs dans le domaine temporel est faite pour obtenir le signal
de commande large bande par source secondaire.
3.1.3 Excitation aérienne
À la section 2.4, la réalisation d'un champ dius acoustique large bande est expliquée, jusqu'à l'obtention de lapression bloquée Pb(xs, ω) sur la surface d'un panneau ba é. On
peut ainsi obtenir la force Fb(xs, ω) (en N) appliquée sur chaque point de la grille discrète
du panneau virtuel :
Fb(xs, ω) = Pb(xs, ω)ΔxsΔzs (3.12)
Ainsi, on peut calculer la réponse vibratoire du panneau uset le rayonnement acoustique P
dus à chaque point de force bloquée (équation (3.8)), au même titre qu'une force ponctuelle harmonique, et les sommer sur tout le panneau par fréquence pour obtenir la réponse large bande du panneau.