Au même titre que dans la littérature, les termes regroupés sous Q dans l'éq. (C.17) dépendent de la position x à travers rp. Un choix arbitraire doit être fait, de façon à
revenir auconcept de ligne de référence. Tel que décrit auchapitre 4, celle-ci n'est pas parallèle au RSS, et le même choix arbitraire utilisé dans la littérature n'est pas possible.
Traditionnellement [Verheijen, 2010], ce terme dans l'éq. (C.17) : rSPrp
rSP− ζrp (C.21)
est remplacé par ce terme
rSP(yref − y0)
(yref − y0) +−ζ(y0− ys) (C.22)
où yref est la coordonnée en y de la ligne de référence, parallèle à l'axe x, pour un cas où le
RSS linéaire est aussi parallèle à l'axe x. Géométriquement, deux choix sont étudiés pour enlever la dépendance en rp de Q, énoncés aux éqs. (C.23) et (C.24), et illustrés pour une
source primaire extérieure à la gure C.1. La diérence entre les éqs. (C.23) et (C.24) est la somme des distances utilisées au dénominateur.
−ζαrSP γ (C.23) ) * * * + −ζαrSP α + rSP zs= 0 zSP= 0 (C.24)
Figure C.1 Deux possibilités géométriques pour enlever la dépendance en rp
de Q. Les lignes minces noires indiquent les fronts d'onde pour chaque source secondaire, et sont illustrés au temps instantané où leur amplitude est corrigée par Q pour que S = P . rSP est projeté sur le plan horizontal de reproduction.
Gauche : éq. (C.23). Droite : éq. (C.24).
Le choix illustré à la gure C.1 (droite) et à l'éq. (C.24) est celui retenu. On remarque que pour le choix illustré à la gure C.1 (gauche) et à l'éq. (C.23), qui peut paraître de prime
abord le plus intuitif des deuxchoix, les fronts d'onde ne s'alignent pas réellement en un front d'onde global sur la ligne de référence au moment où S = P . De plus, si on place une source primaire telle que la ligne de référence devient parallèle au RSS, on retrouve le choixarbitraire posé originalement dans [Verheijen, 2010, Éq. 2.27] :
) * * * + −ζαrSP α + rSP zs= 0 zSP= 0 = Δz0r z0+ Δz0 (C.25)
où le terme de droite est exprimé avec la nomenclature de Verheijen. On obtient donc avec ce choixarbitraire un facteur Q utilisable lorsque la ligne de référence n'est pas parallèle au RSS : Q = ζ2πj k ) * * * + −ζαrSP α + rSP zs= 0 zSP= 0 (C.26)
Selon [Verheijen, 2010, App. A], un déphasage indépendant de la fréquence de −90o =−j
est amenée par la méthode de retournement temporel, lorsque l'opérateur pour sources primaires focalisées est développé. Ce déphasage est perdu après que les ondes traversent le point focal. A n de mieuxharmoniser la reproduction simultanée de sources extérieures et focalisées, ce déphasage est contré par un facteur ajouté manuellement à Q de √−ζ. Ainsi, pour des sources extérieures (ζ = −1), √−ζ = 1, et pour des sources focalisées (ζ = 1), √−ζ = j : le déphasage est donc compensé. On obtient nalement l'expression de Q proposée dans ce mémoire, annoncée sans le développement complet à l'éq. (4.18) :
Qd= −ζ ζ2πj k −ζαrSP α + r0|zs=0 (C.27)
Pour le cas où l'hypothèse kr0 1 serait utilisée, ce qui n'est pas le cas dans ce mé-
moire, les facteurs développés avec l'APS restent intacts et le développement mathéma- tique est tout aussi valable. Seule l'expression de ∂G(x0, xs, ω)/∂n0à l'intérieur de u0(x0, ω)
(éq. (4.7)) changerait.
Dans le présent mémoire, les résultats montrés comportent une diérence par rapport auxéquations du développement détaillé présentées dans cette annexe. Pour les équa- tions (C.15), (C.17), (C.19) et (C.17), le terme cos(φ)z0=z
SP n'a pas été évalué à z0 = zSP.
On a utilisé pour les simulations
cos(φ)z0= 0 zs= 0 = (−ζr0)· n0 r0||n0|| zs=0 (C.28) plutôt que cos(φ) z0=zSP = (−ζrSP)· n0 rSP||n0|| (C.29)
On rappelle que cos(φ)z 0=zSP = ∂r0 ∂n0 z0=zSP (C.30) tel que stipulé à l'éq. (3.20). On s'attend1 donc à ce que φ soit un angle 3D entre r
SP et n0.
Pourtant, on illustre φ comme étant un angle 2D sur le plan de reproduction à la gure 4.2 et on utilise l'éq. (C.28). La correction d'amplitude pour D dessourcesprimaireshorsplan est déjà opérée avec Qc : on revient donc, aprèsl'application de Qc, "ramener" lessources
primaireshorsplan sur le plan de reproduction. On doit donc utiliser φ projeté dansle plan de reproduction, évalué en zs = 0 et z0 = 0. Cette approximation est cohérente
avec le remplacement de rp (norme d'un vecteur 3D) par α (rp projeté sur le plan de
reproduction) lorsqu'on fait le choix géométrique arbitraire pour enlever la dépendance en x de D à l'éq. C.24.
A n de véri er cesapproximations, dessimulationsidentiquesà cellesprésentéesau cha- pitre 4 ont été eectuéesen prenant plutôt l'angle φ en 3D. De façon unanime, l'utilisation de l'angle φ en 3D augmentait l'erreur es, venant con rmer la validité de cesapproxima-
tions.
1C'est ce qu'on constate à l'éq. (3.20), lorsqu'on calcule ce même paramètre avant d'avoir introduit le
CRITÈRE DE VISIBILITÉ DES SOURCES PRI-
MAIRES DÛ À LA CONFIGURATION DE LA
SALLE WFS DU GAUS
Lors de la dé nition de l'emplacement des haut-parleurs dans la salle WFS du GAUS, deux con gurations carrées étaient possibles a n de garder un espace inter-haut-parleur Δx0 constant :
1. Placer un haut-parleur à chaque coin et placer ses deux haut-parleurs voisins à une distance Δx0;
2. Placer deux haut-parleurs à une distance Δx02/2 de chaque coin pour que la
distance en diagonale entre ceux-ci soit égale à Δx0.
La deuxième option a été sélectionnée pour une raison pratique, puisque la structure possède un poteau à chacun de ses coins, a n de permettre une élévation variable du RSS carré. Ce choix apporte une condition de visibilité supplémentaire lors du positionnement des sources primaires, tel qu'illustré à la gure D.1. Si des sources primaires extérieures se retrouvent dans une zone grise, extérieure au RSS, de la gure D.1, le RSS ne pourra reproduire la totalité de la directivité de ces sources. Si des sources primaires focalisées se retrouvent dans une zone grise, aucun haut-parleur ne sera actif, selon le critère de sélection des sources secondaires dé ni pour ces travaux (chapitre 4).
Figure D.1Condition supplémentaire de visibilité des sources primaires, due à la con guration de la salle WFS du GAUS. Les bandes problématiques (en gris) ne sont montrées que pour un coin et s'allongent à l'in ni à l'extérieur de la gure. La taille des espaces sans haut-parleur aux quatre coins est exagérée pour mieux illustrer les lignes de visibilité.
Il y a peu de chances qu'une source primaire focalisée se retrouve dans la zone grise, puisqu'il est généralement conseillé de ne pas en placer si proche des haut-parleurs. Pour une source primaire étendue extérieure, il y a bien des chances qu'une partie des sources primaires élémentaires se trouve dans une de ces 8 bandes. Plus la source primaire est éloignée du RSS, moins restrictif sera ce critère. À partir d'environ 1 m de distance, la zone aveugle dans l'espace de reproduction se trouve assez proche des haut-parleurs pour devenir négligeable. L'utilisateur doit donc si possible prendre en compte ce critère jusqu'à tant qu'une solution soit trouvée, par exemple en réarrangeant l'emplacement des haut- parleurs aux 4 coins du RSS.
CALIBRATION DU SYSTÈME WFS ET ÉGA-
LISATION DE LA SALLE WFS DU GAUS
Cette annexe présente quelques commentaires quant à la calibration et l'égalisation du système WFS pour obtenir une reproduction physique, ainsi que sur les défauts ajoutés à la reproduction par les réponses non idéales des sources secondaires et la salle WFS.
E.1 Calibration de la réponse combinée du système et
de la salle WFS
Tel que mentionné au chapitre 4, les signaux de commande des sources secondaires sont calculés a n d'arriver à une reproduction physique, soit une reproduction ayant les mêmes niveaux de pression que le champ cible dans l'espace de reproduction.Ainsi, on doit déter- miner un gain κ [Pa/U] qui contrôle la pression reproduite voulue en fonction des unités numériques de commande.Même si les subwoofers ne sont pas actifs pour les résultats pré- sentés dans ce mémoire, tous les cas calculés incluaient leurs signaux pour la réalisation de démonstrations.Ainsi, on montre aussi leur calibration dans cette annexe.
Pour calculer κ, on a placé un micro à 1 m des haut-parleurs 8, 12 et 19 du côté 1 du RSS. On a ensuite mesuré la réponse en fréquence entre la commande envoyée et la pression mesurée.Cette pression contient la réponse non plate des haut-parleurs, ainsi que la réponse de la salle.La gure E.1 montre cette réponse mesurée.La même chose a été faite pour les subwoofer 1 et 2, placés entre les côtés 4 et 1, et les côtés 1 et 2 du RSS, respectivement.La gure E.2 montre cette réponse mesurée.
On remarque que la réponse des haut-parleurs n'est plate qu'à partir de 160 Hz alors que la fréquence de coupure maximale disponible pour le subwoofer est de 120 Hz.Les simulations et mesures présentées aux chapitres 4 et 5 ont un crossover à 120 Hz.Avec le système actuel, il y a donc un creux dans le spectre fréquentiel des reproductions entre 120 et 160 Hz.
Il a été déjà discuté à la section 4.10 qu'un traitement passif ou une égalisation active de la salle pourraient être employés pour améliorer la reproduction et aplatir la coloration fréquentielle due au système WFS.Cependant, cette charge de travail ne cadrait pas dans les objectifs du projet.Ainsi, une égalisation simple a été réalisée.Les gures E.3 et E.4 montrent les gains par bandes de tiers d'octave mesurés, pour les haut-parleurs 8, 12 et 19 et les subwoofers 1 et 2.Une moyenne sur toutes les bandes est calculée sur la réponse moyenne des trois haut-parleurs et des deux subwoofers ( gure E.5). Pour les haut-parleurs, il s'agit du gain κHP = 1.154.Pour les subwoofers, le gain est de 11.656.La
réponse des subwoofers est mise à l'échelle pour que la réponse des subwoofers à 120 Hz 125
Figure E.1 Réponse en fréquence S/D mesurée du haut-parleur 12.
Figure E.2 Réponse en fréquence S/D mesurée du subwoofer 2. Les instabilités en haut de 120 Hz sont dues au crossover qui coupe toutes fréquences au-delà de 120 Hz et la méthode de mesure.
aie le même gain que les haut-parleurs à 160 Hz (facteur d'échelle de 0.0927). Ceci donne un gain κSUB= 1.080. On observe dans la gure E.4 un gain non négligeable, centré sur les
bandes de 50 et 63 Hz. Ce gain correspond au premier mode de la salle selon sa hauteur, soit 52 Hz : c'est celui qui est le moins traité, le plancher et le plafond n'ayant pas de rideaux acoustiques comme les murs. Ceci prouve que la coloration de la salle, par rapport à l'hypothèse de reproduction en champ libre, n'est pas négligeable.
Figure E.3 Gains par bandes de tiers d'octave mesurés pour les haut-parleurs 8, 12 et 19.
Figure E.4 Gains par bandes de tiers d'octave mesurés pour les subwoofers 1 et 2.
Tout ce développement ne tient pas compte de la directivité réelle des haut-parleurs et des subwoofers, qui n'est pas parfaitement omnidirectionnelle. Il existe aussi des méthodes
Figure E.5 Gains moyens par bandes de tiers d'octave mesurés, κHP et κSUB.
pour compenser le patron de directivité des sources secondaires de reproduction [Ahrens, 2012, Sec. 3.3.3]. Dans ce mémoire, une réponse omnidirectionnelle est assumée, ainsi que l'hypothèse de source secondaire ba ée. Ainsi, la réponse en amplitude d'un tel haut- parleur est de 1/2π (voir éqs. (2.2) et(2.4)).
Finalement, pour reproduire physiquement un champ sonore S de même niveau qu'un champ sonore cible P , avec les signaux de commande D (calculés au chapitre 4, éqs. (4.23) et (4.24)) et le système WFS du GAUS, on doit envoyer au système WFS lacommande Dreel(x0) à chaque source secondaire située en x0.
Dreal(x0) =
κ
2πW (xs, x0)QcQdD(xSP)Δx0 (E.1) où Δx0 est la distance inter-source secondaire.