Tests statistiques sur le facteur de variance

Le facteur de variance a posteriori se calcule à partir des résiduelles des observations après la compensation, de la fidélité a priori des observations et de la redondance du système d'équations, le tout tel que présenté à la l'Équation 5.27. Le vecteur des résiduelles g est lié aux observations.

g = K× − K (7.1)

où g ∶ vecteur des résiduelles;

K× ∶ vecteur des observations compensées; et K ∶ vecteur des observations brutes.

0,132 ± 0.007 degré 0,099 ± 0,009 degré 0.08 0.1 0.12 0.14 Collecte du 16 mai 2016 Collecte du 22 décembre 2016 0,0482 ± 0,0003 mètre 0,0521 ± 0,0003 mètre 0.047 0.049 0.051 0.053 Collecte du 16 mai 2016 Collecte du 22 décembre 2016

Ceci implique que plus les observations doivent être modifiées pour ajuster le modèle mathématique de détermination par moindres carrés, plus les résiduelles sont grandes. Une modification importante des observations peut signifier que le modèle mathématique est inadéquat et que certains éléments ne sont pas ou sont mal modélisés. Il est aussi possible qu'une modification importante des observations soit justifiée lorsque les observations sont très peu précises. C'est pour cette raison qu'une matrice de pondération des observations est utilisée dans le calcul du facteur de variance a posteriori.

Ì =_Å1

PP=

‘,;

∑_PP (7.2)

où Ì ∶ matrice de poids des observations;

ÅPP∶ matrice des cofacteurs des observations;

‘,;∶ facteur de variance a priori; et

∑_PP∶ matrice de variance et de covariance des observations.

La matrice Ì peut permettre de justifier la grandeur des résiduelles. Si la valeur d'une résiduelle est élevée, mais que la faible fidélité de cette observation est connue, la valeur de l'écart-type de cette observation est aussi élevée. Étant donné que la pondération de l'élément par la matrice Ì est inversement proportionnelle à la fidélité de l'observation, la contribution de cette résiduelle sur le facteur de variance a posteriori est donc peu importante. En revanche, si la fidélité d'une observation est surestimée, la pondération par la matrice Ì devient plus importante. Bref, lorsque les résiduelles sont assez importantes, en raison d'une mauvaise modélisation ou d'une qualité réelle des observations plus faible que la qualité anticipée, la surestimation de la fidélité des observations peut faire exploser le terme g?∙ Ì ∙ g, surtout lorsque le nombre d'observations est important. Heureusement, un grand nombre d'observations peut aussi influencer la redondance du modèle mathématique.

Le terme 9_,− I_, de l'Équation 5.27 est associé à la redondance, ci-après dénommée Ø. Dans le cadre de la collecte en direction avant du 22 décembre 2016, le nombre total d'équations du modèle mathématique, qui correspond au nombre total de points LiDAR utilisés, était de 5682 contre 7 paramètres à estimer. La redondance du système d'équations était donc de 5675. Puisque la présente procédure de calibrage implique 18 sphères qui sont touchées en moyenne par 6 lignes de scan comportant une quarantaine

de points, la redondance du système d'équations selon la présente procédure est toujours un nombre très élevé. Le facteur de variance a priori défini lors des 2 collectes de données est 1.

Tableau 7.1 : Comparaison du facteur de variance entre les 2 collectes de données Date de la collecte Direction Redondance (Ø) Facteur de variance a priori (‘_,;) Facteur de variance a posteriori (F_,;) 16 mai 2016 Avant 5130 1 2,86 22 décembre 2016 Avant 5675 1 2,45 Arrière 5470 1 2,81

Il existe un moyen de valider statistiquement les résultats d'une solution déterminée par moindres carrés avec le facteur de variance a posteriori, soit par un test du khi deux (Ù;). Le ratio des facteurs de variance suit une distribution khi deux réduite (Ù̅;).

F,;

‘,; ∼ Ù̅ ;₌Ù;

Ø (7.3)

Cette distribution dépend du degré de liberté qui correspond à la valeur de la redondance exprimée par le terme Ø. Comme la redondance est très grande pour les deux collectes de données, il est impossible d'effectuer un réel test du khi deux puisqu'aucune table de statistique ne couvre ce degré de liberté. Néanmoins, en vertu du théorème central limite, l'espérance et la variance de la distribution réduite khi deux peuvent s'exprimer selon les Équations 7.4 et 7.5 (Cocard, 2012).

•(Ù̅;_{) = 1 (7.4)}

Ü(Ù̅;_{) =}2

Ø (7.5)

Ces équations signifient que plus le degré de liberté augmente, plus la distribution Ù̅; tend vers une distribution normale avec une valeur centrale égale à 1 et une variance de 0, soit 5(1,0). Bref, la distribution Ù̅; tend vers la constante 1.

lim

Ý→ÞÙ̅Ý;= 1 (7.6)

Cette propriété de la distribution Ù̅; permet de confirmer qu'autant pour la collecte du 16 mai 2016 et du 22 décembre 2016, les solutions de calibrage sont statistiquement inacceptables et doivent être rejetées. Il était de possible d'anticiper cette conclusion étant donné la grande variabilité des résultats entre les solutions.

Entre la collecte 16 mai et du 22 décembre, certains éléments peuvent contribuer à la différence entre les solutions de calibrage. Un de ces éléments est la localisation des sphères dans le laboratoire. Il a été remarqué en analysant les données LiDAR mobiles de la collecte du 16 mai que les sphères situées très près du banc de calibrage (à moins de 2 mètres de distance) étaient plus bruitées que les autres. Il semblait que les mesures de portée laser soient moins précises à une très courte distance. Pour cette raison, lors de la deuxième collecte, les sphères ont été positionnées à une plus grande distance du banc de calibrage, tout en respectant une distribution tout autant variée dans le laboratoire. Un autre élément est en lien avec le traitement des données. Le traitement des données de la deuxième collecte a été plus rapide et plus efficace étant donné que certains algorithmes ont été perfectionnés entre les deux collectes.

Il est plus étonnant que les résultats diffèrent entre la collecte en direction avant et la collecte en direction arrière du 22 décembre. Les mêmes sphères ont été localisées dans les deux directions avec un nombre de points très semblable. Pourtant, les écarts entre les paramètres de calibrage déterminés sont importants, d'autant plus que certains sont de signes opposés. Pour cette raison, l'équation de projection d'un point LiDAR et le modèle mathématique de calibrage ont été décortiqués rigoureusement de manière à trouver des failles. Les coordonnées calculées d'un point LiDAR à partir des observations et des fonctions Matlab développées dans le cadre de cette maîtrise ont été comparées avec les coordonnées calculées par le logiciel Trident pour différents angles de visées et les résultats étaient toujours identiques. Ces mêmes équations ont été linéarisées avec les outils de dérivation partielle dont fait partie la fonction jacobian intégrée dans le logiciel Matlab. Étant donné qu'on peut conclure qu'il n'existe pas d'erreur au niveau des calculs et de la programmation, on peut faire l'hypothèse que l'erreur découle de la qualité des observations qui serait plus bruitée qu'on ne l'estime. Une autre hypothèse est que certains paramètres ne seraient pas modélisés et causeraient des erreurs qui se

propageraient directement dans la solution. Ces points sont traités dans les prochaines sections qui traitent de l'impact de la qualité des différents types d'observations.