Chapitre 3 : Présentation de la méthodologie
3.4. Le rattachement des distances interférométriques au système de coordonnées de
Pour effectuer une collecte de données avec le SLM en déplacement sur le banc de calibrage, il faut que le SLM soit installé sur une plateforme mobile. Un charriot mobile était déjà disponible au laboratoire. Un microscope est habituellement fixé à ce charriot pour effectuer des pointés sur des mires et des rubans d'arpentage en vue de leur étalonnage. Le microscope a été enlevé et une plateforme a été usinée sur mesure pour fixer le SLM à ce charriot. Le résultat de ce montage est présenté à la Figure 3.8.
Figure 3.8 : Le SLM fixé au charriot mobile sur le banc de calibrage
Le SLM utilisé lors de ce laboratoire est un MX2 généreusement prêté par le fabricant Trimble. Le modèle « Single Head » mis à disposition est celui disposant d'un seul scanner laser. Toute la procédure de calibrage est donc faite sur mesure pour le MX2 de modèle « Single Head ». Certaines adaptations au niveau de la programmation seraient nécessaires pour que les divers programmes développés pour le traitement des données soient compatibles avec d'autres SLM. Néanmoins, la procédure développée est générale et pourrait s'appliquer à tous les types de SLM sur le marché. Les différentes versions du MX2 sont montrées à la Figure 3.9.
Une caractéristique innovante de cette approche est que le déplacement du SLM sur le banc de calibrage est déterminé par des mesures de distances prises par un interféromètre. Trois composantes interviennent principalement dans les prises de mesures interférométriques, le tout tel que présenté à la Figure 3.10. La première composante est un laser de modèle XL-80 de Renishaw (Renishaw, 2016). Il s'agit d'une nouvelle acquisition par le Laboratoire de métrologie faite à l'automne 2016. Ce laser a d'ailleurs été utilisé lors de la cueillette du 22 décembre 2016. La deuxième composante est une optique linéaire fixée sur le banc de calibrage tandis que la troisième composante est une optique linéaire fixée au charriot mobile qui se déplace sur le banc de calibrage.
Figure 3.10 : Les trois composantes interférométriques
Lorsque cet interféromètre est utilisé avec le compensateur environnemental XC-10, le fabricant garantit une fidélité de 0,5 particule par million (ppm) sur les mesures de distance (Renishaw, 2016) . Cela signifie que pour une mesure de distance avoisinant les 10 mètres, la fidélité de la distance fournie par cet instrument est de l'ordre de 5 micromètres. Cependant, ce compensateur environnemental n'était pas disponible lors de la prise de mesures. Selon le fabricant, la fidélité d'une mesure de distance non compensée peut
Laser XL-80 de Renishaw Optique linéaire fixe Optique linéaire mobile
avoisiner les 20 ppm dans des conditions environnementales normales. Pour un déplacement maximal de 12 mètres sur le banc de calibrage, une erreur de 20 ppm signifie une erreur de l'ordre de 0,2 millimètre. Quoique non optimale, une erreur de quelques dixièmes de millimètre sur les mesures interférométriques est nettement suffisante étant donné que la contribution des autres erreurs de positionnement est plus importante. La justesse des mesures de cet interféromètre est garantie par un étalonnage périodique de l'instrument.
Un interféromètre permet d’effectuer des mesures de distance relative entre deux objets. Pour obtenir la mesure d’un déplacement absolu, il faut définir une valeur zéro. Pour assurer un rattachement physique à la valeur zéro définie, l’origine du système de coordonnées matérialisée par la pièce usinée a été utilisée. Lorsque le charriot mobile est adossé à cette pièce métallique, la mesure de distance affichée par l’interféromètre est nulle. Cependant, la valeur de la coordonnée Y recherchée ne correspond pas à la distance entre le bord du charriot mobile et la pièce usinée, mais à la position de l’IMU sur le banc de calibrage. Tel que montré à la Figure 3.11, lorsque la distance mesurée par l’interféromètre est nulle, la coordonnée Y représentant la position de l’IMU sur le banc de calibrage correspond au déplacement initial.
Figure 3.11 : Position de l'IMU sur le banc de calibrage Coordonnée Y de l’IMU = distance + déplacement initial Charriot adossé à la pièce (distance = 0) Coordonnée Z de l’IMU = constante
Ce déplacement initial est constant partout sur le banc de calibrage et toute mesure de distance effectuée par l’interféromètre peut être transformée en coordonnées à partir des équations suivantes.
= / (3.17)
n = UN]+ 0 (3.18)
q = 1 (3.19)
où , n , q ∶ coordonnées du centre de l'IMU;
/, 0, 1∶ constantes initiales; et
UN] ∶ distance mesurée par l'interféromètre.
Il est difficile, voire impossible, de localiser directement le centre de l’IMU étant donné que celui-ci est installé dans un boîtier fermé. De plus, même si l’IMU était accessible, il faudrait être en mesure de connaître précisément l’endroit où est situé son centre de manière à le mesurer. Bref, en raison de ces difficultés, seul le plan de conception du fabricant (Figure 3.12) permet de déterminer la position du centre de l’IMU.
Figure 3.12 : Plan de conception du fabricant (Trimble, 2013a)
Sur ce plan, il est possible de constater que le centre de gravité de l’IMU (IMU C.O.G) est positionné par rapport aux quatre trous de fixation de la plateforme du MX2. Dans un système de coordonnées arbitraire, il est possible d’exprimer les coordonnées des quatre trous de fixation et du centre de gravité de l’IMU, le tout tel que présenté dans le Tableau 3.15.
Tableau 3.15 : Coordonnées des trous de fixation et du centre de gravité de l’IMU
Élément Maj ]aM aQ nMaj ]aM aQ qMaj ]aM aQ
(mm) (mm) (mm) Trou A 152 0 0 Trou B -152 0 0 Trou C -152 330 0 Trou D 152 330 0 IMU C.O.G. 0 143 52 Trou C Trou D Trou B Trou A Centre de l'IMU
Une des raisons pour laquelle les trous de fixation ont été utilisés est le fait que ceux-ci sont accessibles et clairement définis, contrairement au centre du laser et au centre de phase de l’antenne GPS. De plus, étant donné que quatre trous sont présents, si une erreur se glisse dans la prise de mesure, il est facile de la détecter. Habituellement, ces trous de fixation servent à assembler le MX2 sur une plateforme elle-même ancrée au toit d’un véhicule. Dans la situation présente, le MX2 est fixé au charriot mobile par quatre vis insérées dans leur trou respectif.
Figure 3.13 : Vue du dessus du MX2
La localisation des trous de fixation n’est pas effectuée directement, mais bien indirectement. Puisque le MX2 lui-même nuit à la prise de mesures, les quatre trous ne sont pas localisés sur le MX2, mais sur la plateforme du charriot servant à le supporter. Des trous ont été percés précisément à partir des mesures théoriques montrées sur le plan d’installation du fabricant. Puisque le dessous du MX2 s’appuie directement sur la plateforme, le dessus de la surface métallique de la plateforme du charriot a la même élévation que la partie inférieure de la plateforme du MX2.
Trou C Trou D Trou A Trou B X Y IMU
Figure 3.14 : Trous faits sur mesure sur la plateforme fixée au charriot mobile
Puisque les trous sont sensiblement à la même hauteur que les stations totales, il est ardu de bien voir leur centre au travers de la lunette. Des vis ont donc été insérées dans ces trous pour servir de cibles pour la localisation de la partie centrale, le tout tel que montré à la Figure 3.15. Des pointés à partir de chaque station totale ont donc été effectués au centre de chaque vis, directement à la surface de la plateforme métallique. Un pointé supplémentaire a également été effectué sur la pièce mobile à laquelle le charriot est adossé. En connaissant la différence de coordonnées entre les quatre trous et la pièce mobile, il est possible de déterminer les constantes initiales recherchées.
De manière à minimiser les risques d'erreur et à s'assurer que les constantes initiales recherchées demeurent réellement constantes sur toute la longueur de la section d’environ 12 mètres utilisée sur le banc de calibrage, les mesurages ont été effectués à plus d'un endroit. Ces endroits correspondent aux mêmes sites où ont été prises les mesures d'orientation numéro 1, 2, et 3, tels qu'illustrés à la Figure 3.7. Ces endroits ont été privilégiés puisqu'ils sont assez bien répartis sur cette section du banc de calibrage, mais aussi puisqu'ils sont situés plus près des stations totales, ce qui favorise la qualité des pointés. C'est pour cette raison qu'un mesurage n'a tout simplement pas été effectué à la position de l'origine vraie du système ni au site numéro 4. De toute façon, puisque la pièce mobile est une copie conforme de la pièce fixe, les résultats sont compatibles avec une différence sous la barre du millimètre.
Figure 3.15 : Éléments mesurés aux trois sites sur le banc de calibrage
Pour chaque site, on dispose des coordonnées des quatre trous et de la pointe adossée au charriot. De manière à bien illustrer tous les calculs qui permettent de déterminer les valeurs des constantes initiales, les observations mesurées au site numéro 2 sont présentées. Les coordonnées mesurées sont exprimées dans le système de coordonnées global après la transformation.
Tableau 3.16: Coordonnées mesurées des quatre trous au site numéro 2
Site Trou X (m) Y (m) Z (m) 2 A 0,1576 2,4447 0,1277 B -0,1465 2,4440 0,1295 C -0,1499 2,7743 0,1294 D 0,1535 2,7753 0,1285
Puisque l'on dispose des coordonnées théoriques des quatre trous exprimées dans un système de coordonnées arbitraire et des coordonnées mesurées de ces quatre mêmes trous exprimées dans le système de coordonnées de référence global, il est possible d'appliquer une transformation à quatre paramètres aux coordonnées des trous théoriques pour les amener sur les trous mesurés. Cette transformation est aussi appliquée aux coordonnées théoriques du centre de gravité de l'IMU. Le paramètre de rotation et les trois paramètres de translation de cette transformation ont été déterminés par moindres
Trou A
Trou B Trou C
Trou D
Centre de la pointe abaissé à l'altitude du banc de calibrage (hauteur de la pointe = 1,75 pouce)
carrés à chacun des trois sites. Une fois la transformation appliquée, on obtient les coordonnées théoriques du centre de l'IMU exprimées dans le système de coordonnées de référence global, le tout tel que présenté dans le Tableau 3.17.
Tableau 3.17 : Coordonnées du centre de l'IMU dans le système de coordonnées global
Site X (m) Y (m) Z (m)
2 0,0041 2,5875 0,1807
3 0,0042 5,6487 0,1813
4 0,0044 8,7062 0,1814
Étant donné que les sites de mesure sont disposés à différents endroits sur le banc de calibrage, il faut connaître les coordonnées mesurées de la pointe adossée au charriot à chacun des sites pour calculer les constantes initiales (voir Tableau 3.18).
Tableau 3.18 : Coordonnées de la pointe dans le système de coordonnées global
Site X (m) Y (m) Z (m)
2 -0,0002 2,3978 -0,0009
3 -0,0003 5,4590 -0,0004
4 -0,0001 8,5163 -0,0002
Les coordonnées X et Z de la pointe correspondent aux écarts d'alignement et de hauteur du banc de calibrage. Ces valeurs sont équivalentes à celles inscrites dans le Tableau 3.14, car les mêmes pointés ont été utilisés pour déterminer l'orientation et la hauteur du banc de calibrage, ce qui limite le nombre de mesures nécessaires. La valeur Y, quant à elle, est directement liée à la mesure de déplacement le long du banc de calibrage par rapport à l'origine. À chacun des sites, on doit soustraire les coordonnées de la pointe aux coordonnées du centre de gravité de l'IMU pour déterminer les constantes initiales. La valeur finale utilisée correspond à la moyenne des trois sites.
Tableau 3.19 : Valeur des constantes initiales à chaque site
Site / (y) 0 (y) 1 (y)
2 0,0043 0,1897 0,1816
3 0,0045 0,1898 0,1818
4 0,0045 0,1899 0,1816
Moyenne 0,0044 0,1898 0,1817
Écart-type 0,0001 0,0001 0,0001
En plus d'être utilisés pour déterminer les constantes initiales, les trous de fixation peuvent aussi servir à déterminer la différence d'alignement entre le MX2 et le banc de calibrage. Dans un monde idéal, il n'existerait aucune erreur d'orientation entre l'axe du MX2 et l'axe du banc de calibrage correspondant à l'axe Y du système de coordonnées de référence. Cependant, en pratique, il est fort possible que l'alignement des trous de fixation de chaque côté du banc de calibrage ne soit pas parallèle à l'orientation de celui-ci. On peut exprimer cette erreur d'alignement par l'Équation 3.20.
•DDJID H′\KGx9JyJ9 = \D \9 (n?aZ` − ?aZ` ƒ
?aZ` − n?aZ` ƒ) (3.20)
Les coordonnées utilisées pour le calcul de l'alignement sont les coordonnées théoriques des trous de fixation exprimées dans le système de coordonnées global. De cette façon, l'erreur d'alignement mesuré à partir des trous B et C situés à l'ouest et à partir des trous A et D situés à l'est du banc de calibrage est identique puisque l'orientation des trous est parallèle selon le plan du fabricant. Puisque la direction du banc de calibrage dans le système de coordonnées global est de 0°, toute direction mesurée dans ce système correspond à une orientation par rapport au nord conventionnel du système global. Cette erreur d'alignement renseigne sur la direction horizontale du SLM et il correspond à la valeur du lacet, une des trois composantes habituellement mesurées par l'IMU.
Tableau 3.20 : Lacet mesuré à chacun des trois sites
Site Lacet (° ' '') Lacet (°)
2 -0°25'02'' -0,4173
3 -0°24'21'' -0,4057
4 -0°26'02'' -0,4339
Moyenne -0°25'08'' -0,4190
Écart-type 0°00'51'' 0,0141
On peut constater que les valeurs pour le lacet diffèrent de quelques centièmes de degrés pour chaque site. Selon le fabricant, il y a une distance de 33 centimètres entre les trous B et C. Pour une si courte ligne de base, une erreur de 0,1 millimètre sur la position d'un des trous entraîne une erreur légèrement inférieure à 2 centièmes de degrés sur l'orientation calculée. Étant donné que l'écart-type des constantes initiales respecte cet ordre de grandeur, il est normal de s'attendre à ce que l'écart-type du lacet soit autour de 0,02 degré. Bref, même en utilisant une méthodologie qui permet de déterminer la position d'éléments avec une incertitude inférieure au millimètre, la valeur du lacet mesurée pour un système aussi compact que le MX2 ne pourra être guère mieux que quelques centièmes de degrés. Cette erreur est cependant tolérable dans le budget d'erreur prévu puisque l'estimation de l'angle de visée du lacet est toujours plus difficile que celui du roulis et du tangage. Néanmoins, la procédure établie cherche à déterminer les angles de visée du roulis et du tangage avec une erreur maximale de l’ordre de 1 centième de degrés. L'erreur associée à l'angle de visée du lacet ne pourra quant à elle jamais être meilleure que 1,5 centième de degrés.
Puisque des valeurs pour les constantes initiales et le lacet ont été déterminées à deux dates différentes, il est intéressant de comparer les résultats obtenus à partir de ces deux cueillettes de données distinctes.
Tableau 3.21 : Comparaison entre les deux collectes de données
Date / (y) 0 (y) 1 (y) Lacet (°)
6 mai 2016 0,0045 0,1897 0,1822 -0,3988
22 décembre 2016 0,0044 0,1898 0,1817 -0,4190
On constate que les résultats sont semblables pour les deux cueillettes de données. Dans les deux cas, la procédure utilisée était la même, mais puisque le montage a entièrement été démonté et refait entre les deux séances d'observation, les solutions finales ne sont pas dépendantes. Les valeurs des constantes initiales sont identiques à quelques dixièmes de millimètres près, ce qui correspond à des écarts tolérables et raisonnables. Le faible écart de 2 centièmes de degrés sur le lacet est impressionnant étant donné qu'un très léger déplacement du charriot peut causer une erreur d'alignement importante.
Bref, la procédure utilisée mène à des résultats compatibles entre eux. Pour ce qui est des constantes initiales, les mêmes valeurs pourraient toujours être utilisées pour chaque calibration d'un même SLM, ce qui permettrait d'économiser quelques heures sur la cueillette et le traitement des données menant à la réalisation du système de coordonnées de référence et à leur détermination. Dans le cas du lacet dont la valeur est très sensible à tout déplacement du charriot, il serait préférable de répéter la procédure plusieurs fois en enlevant complètement le charriot du banc de calibrage entre chaque séance de mesurage. De cette façon, il serait possible de vérifier si les résultats se répètent et prendre une décision à savoir si une valeur moyenne pour le lacet serait suffisante. Étant donné que les trous de fixation et le centre de gravité de l’IMU sont situés au même endroit pour les trois modèles de MX2, la valeur des constantes initiales et du lacet est la même dans les trois cas. Cependant, pour d’autres types de SLM, la valeur des constantes initiales et du lacet serait à déterminer avant leur calibrage.
Les valeurs des constantes initiales et du lacet déterminées précédemment sont valables lorsque le MX2 est fixé au charriot avec une direction pointant vers le nord conventionnel. Lors de la collecte de données du 22 décembre, des observations ont été recueillies par le MX2 en direction nord (aller) et en direction sud (retour). Des valeurs pour les constantes initiales et pour le lacet ont donc dû être déterminées dans les deux directions. Ces valeurs moyennes déterminées en direction inverse (retour) sont montrées dans le Tableau 3.22.
Tableau 3.22 : Constantes initiales et lacet en direction inverse
Date / (y) 0 (y) 1 (y) Lacet (°)
La valeur pour la constante 1 est identique dans les deux directions étant donné que l'orientation du MX2 ne contribue pas à la modification de l'élévation de l'IMU. La constante / est elle aussi très semblable étant donné que le centre de l'IMU est toujours situé à l'est du banc de calibrage. La principale différence se situe au niveau de la constante 0. Cette différence de 4,4 centimètres est montrée sur le plan du fabricant (Figure 3.12) et s'explique par le fait que la position de l'IMU sur la ligne centrale n'est pas située exactement au milieu des trous de fixation (0,187 contre 0,143 mètre). Il est primordial de déterminer les constantes initiales dans les deux directions puisque l'erreur sur la position du centre de l'IMU se propage directement dans les paramètres de calibrage. Pour ce qui est du lacet, on peut calculer sa valeur en direction inverse seulement par l'ajout ou le retrait de 180 degrés.