Terminologies

a l’´etude des transferts d’´energie acoustique.

2 M´ethode du transfert radiatif

La m´ethode du transfert radiatif est n´ee de l’´etude critique de la m´ethode de diffusion de l’´energie vibratoire (paragraphe 1.4.1) [Le Bot, 1998a, Le Bot, 1998b, Le Bot, 2005]. Il s’agit d’une m´ethode de pr´ediction du comportement vibratoire et acoustique de structures dans le domaine des moyennes et hautes fr´equences. Tout comme la m´ethode de diffusion, la m´ethode du transfert radiatif repose sur des quantit´es ´energ´etiques qu’elle consid`ere de mani`ere locale et non globale comme en SEA. Les grandeurs mises en jeu dans la formulation de la m´ethode sont la densit´e d’´energie acoustique W et le vecteur intensit´e acoustique I qui repr´esente le flux d’´energie au sein d’un syst`eme. Ces champs se pr´esentent comme des variables quadratiques qui s’expriment `a partir de moyennes quadratiques de grandeurs cin´ematiques. S’il faut noter une perte d’information li´ee `a la disparition du terme de phase, ces variables quadratiques pr´esentent l’avantage d’ˆetre additives, fait particuli`erement int´eressant dans le domaine des hautes fr´equences en vertu de l’hypoth`ese de d´ecorr´elation des ondes.

Plusieurs approches ´energ´etiques simplifi´ees ont ´et´e d´evelopp´ees au cours des derni`eres ann´ees. Ces approches diff`erent par la d´ecomposition du champ en ondes planes ou en rayons ou par le mod`ele de r´eflexion utilis´e, sp´eculaire ou diffus. La m´ethode du transfert radiatif s’inscrit parmi ces approches ´energ´etiques simplifi´ees. Elle consid`ere un champ de rayons et s’appuie sur un mod`ele de r´eflexion diffus : elle se pr´esente donc comme une m´ethode de rayons, point qui sera d´etaill´e plus loin dans la th`ese, et elle s’apparente ainsi `a la m´ethode de radiosit´e d´evelopp´ee par Kuttruff [Kuttruff, 1991, Kuttruff, 1997], Miles [Miles, 1984] et Kang [Kang, 2002]. Des d´eveloppements ont ´et´e propos´es pour ´etendre l’application de la m´ethode `a la r´eflexion sp´eculaire [Le Bot, 2002b] et `a la transmission [Le Bot, 2002a, Cotoni et al., 2002] (Annexe A).

2.1 Terminologies

La m´ethode du transfert radiatif s’appuie sur une analogie avec les m´ethodes d´evelopp´ees pour la simulation des ´echanges radiatifs en thermique [Eyglunent, 1997]. Ce premier paragraphe

revient donc sur quelques notions de rayonnement thermique et sur leur analogue acoustique tel qu’employ´e dans la m´ethode du transfert radiatif.

2.1.1 Luminance et Intensit´e sp´ecifique

La luminance (ou brillance) L en thermique est le flux d’´energie ´emis (ou re¸cu) en un point p par unit´e d’angle solide du autour de la direction u et par unit´e de surface perpendiculaire `a la direction de propagation (unit´e de surface dΓ projet´ee) (Fig. III.2) :

L(p,u) = ^d

2P

dΓ u · n du^{. (III.13)}

L(p,u) est la luminance de la surface Γ au point p dans la direction u. Elle s’exprime en ”watts par m`etre carr´e de surface normale et par st´eradian”.

G dG _p q n u du

Fig. III.2 – Caract´eristiques g´eom´etriques d’un flux de puissance rapport´e `a l’angle solide du autour de la direction u et `a la surface dΓ cos θ perpendiculaire `a la direction u.

On parlera de luminance incidente L_inc concernant le flux incident sur Γ, de luminance ´emise Lemit concernant le flux ´emis par Γ, et de luminance r´efl´echie L_ref concernant le flux r´efl´echi par Γ. L’analogue acoustique de la luminance est l’intensit´e sp´ecifique I(p,u) (W.m⁻².sr⁻¹)¹ :

I(p,u) = ^d

2P dΓ u · n du ⁼

d²P

dΓ cos θ du ^(III.14)

dΓ cos θ est la projection de l’´el´ement de surface dΓ selon la normale `a la direction de propagation u.

1Certains expriment parfois l’intensit´e sp´ecifique en W.m⁻².sr⁻¹.Hz⁻¹en travaillant par bande de fr´equence.

Cette notion n’est pas utile dans le cas de l’acoustique qui nous int´eresse et o`u il n’existe pas d’´echange d’´energie

III.2 M´ethode du transfert radiatif 61

2.1.2 Emittance ´energ´etique et flux de puissance

L’´emittance ´energ´etique (ou radiance) M est d´efinie en thermique comme la densit´e de flux ´

emis par l’´el´ement de surface dΓ dans toutes les directions :

M = ^dP

dΓ^{. (III.15)}

M s’exprime en W.m⁻². Le flux dP se d´eduit de l’int´egration de d²P sur le demi-espace au dessus de dΓ et l’´emittance M s’´ecrit alors :

M (p,u) = Z

0 ^{L(p,u) u · n du =}

Z

0 ^{L(p,u) cos θ du (III.16)}

o`u0 est l’ensemble des directions u dans l’h´emisph`ere sup´erieur au point p. On parlera davantage d’´emittance pour la densit´e de flux ´emise par Γ et d’´eclairement pour la densit´e de flux incident. L’analogue acoustique de l’´emittance est la densit´e de flux d’´energie acoustique associ´ee au vecteur densit´e de flux ou vecteur intensit´e acoustique I. Ce vecteur est l’analogue du vecteur de Poynting en ´electromagn´etisme. Ainsi, le flux d’´energie acoustique s’´ecrit comme :

dP = I · n dΓ. (III.17)

L’intensit´e acoustique totale au point p est obtenue en int´egrant l’intensit´e sp´ecifique sur l’en-semble des directions d’´emission :

I(p) = Z

0 ^{I(p,u) u du, (III.18)}

et on retrouve la mˆeme relation entre la densit´e de flux d’´energie et l’intensit´e sp´ecifique qu’entre l’´emittance et la luminance `a savoir :

I(p) · n = Z

0 ^{I(p,u) u · n du, (III.19)}

2.1.3 Facteurs d’angle

Consid´erons deux surfaces Γ_p et Γ_q (Fig. III.3). Le facteur d’angle entre les deux surfaces, ´

egalement appel´e facteur de vue ou facteur de forme, repr´esente la proportion d’´energie ´emise par une surface et re¸cue par l’autre. C’est une quantit´e purement g´eom´etrique qui ne d´epend que des formes et des positions respectives des deux surfaces. Analytiquement le facteur d’angle Fqp sous lequel Γq ’voit’ Γp s’´ecrit :

FqpΓq = Z Γp Z Γq K(p,q) dΓpdΓq (III.20) avec : K(p,q) = ^{cos θp cos θq} π |q − p|2 . (III.21)

G

G

dG

dG

p

q

q

q

n

n

Fig. III.3 –Le facteur d’angle entre les surfaces dΓp et dΓq est une quantit´e purement g´eom´etrique qui d´epend des formes et des positions respectives des deux surfaces.

Si les deux surfaces sont ´el´ementaires (not´ees `a pr´esent dΓ<sub>p</sub> et dΓ<sub>q</sub>), le facteur de forme se r´eduit `

a :

dF_qp = K(p,q) dΓ_p = ^{cos θp cos θqdΓp}

π |q − p|2 (III.22)

Il v´erifie la r`egle de r´eciprocit´e :

dFqpdΓq = dFpqdΓp (III.23)

et la r`egle de compl´ementarit´e qui garantit la conservation de l’´energie `a condition que la surface Γp soit ferm´ee :

Z

Γp

dFqp = 1 (III.24)

2.1.4 Relations entre les caract´eristiques radiatives

R´eflectivit´e

Le flux incident, qui arrive sur une surface ´el´ementaire dΓ, est en partie absorb´e, en partie r´efl´echi, et en partie transmis. Si le flux incident, de luminance L_inc, se propage suivant la direction v dans l’angle solide dv, ce flux par unit´e de surface incidente s’´ecrit au point p : L_inc(p,v) cos θ_idv. Une fraction de ce flux dL_ref est r´efl´echie dans la direction u dans l’angle solide du. La r´eflectivit´e bidirectionnelle est d´efinie comme le rapport :

R(v,u) = ^dLref(p,u)

L_inc(p,v) cos θ_idv^{. (III.25)}

Ce facteur est homog`ene `a l’inverse d’un angle solide. La r´eflectivit´e directionnelle h´emisph´erique se d´eduit de la r´eflectivit´e bidirectionnelle par la relation :

R(u) = R

0 ^dLref(p,u) cos θ_rdu

III.2 M´ethode du transfert radiatif 63

Cette r´eflectivit´e repr´esente le rapport entre le flux d’´energie r´efl´echi dans toutes les directions de l’espace et le flux incident. Des ´equations (III.25) et (III.26), on d´eduit :

R(u) = Z

0 ^{R(v,u) cos θrdu. (III.27)}

Emissivit´e

Pour caract´eriser l’´emission d’un corps r´eel, on fait appel `a une grandeur physique appel´ee ´

emissivit´e. L’´emissivit´e directionnelle  d’un corps est le rapport de la luminance de ce corps L `

a la luminance L⁰ du corps noir `a la mˆeme temp´erature :

(p,u) = ^L(p,u)

L0(p,u) ^(III.28)

Relation d’´equilibre thermique

Lorsqu’on s’int´eresse `a l’´equilibre d’un syst`eme en thermique, tout corps doit ˆetre consid´er´e d’un double point de vue :

– comme ´emetteur, car il ´emet un rayonnement li´e `a sa temp´erature,

– comme r´ecepteur, car il re¸coit des rayonnements ´emis ou r´efl´echis par les corps qui l’en-tourent : une fraction du rayonnement re¸cu est r´efl´echie sans p´en´etrer, une fraction est absorb´ee et transform´ee en ´energie interne, et une fraction est transmise (traverse le corps). Pour un corps opaque, il n’y a pas de transmission. Dans ces conditions, la luminance quittant un ´el´ement de surface dΓ au point p dans la direction u est donc la somme de la luminance ´emise en p dans la direction u provenant de l’´emission de dΓ, et de la r´eflexion par dΓ de l’ensemble des luminances incidentes dans la direction v autour de l’angle solide dv :

L(p,u) = Lemit(p,u) + Z

0 ^{R(v,u) Linc(p,v) cos θidv. (III.29)}

o`u :

Lemit(p,u) = (p,u)L⁰(p,u) est la luminance ´emise li´ee `a l’´emission propre : elle d´epend de l’´emissivit´e  de la surface,

R(v,u) est la r´eflectivit´e bidirectionnelle caract´erisant les propri´et´es de r´eflexion de la surface au point p,

L_inc(p,v) est la luminance incidente en p depuis la direction v, θ_i est l’angle entre la direction d’incidence v et la normale `a la surface n tel que cos θi= v · n.

L’´emission propre de la surface est nulle en acoustique ce qui revient `a consid´erer que les corps sont de temp´erature nulle (0 K) et le premier terme du second membre de l’´equation (III.29) est donc nul. L’´equivalent de la luminance L(p,u) est l’intensit´e sp´ecifique Iemit ´emise dans la direction u, et l’´equivalent de la luminance L_inc(p,v) est l’intensit´e sp´ecifique incidente I_inc dans la direction v. Le bilan de puissance acoustique (III.29) au point p s’´ecrit donc :

I_emit(p,u) = Z

o`u l’int´egration est men´ee sur l’ensemble des directions d’incidence.