Les limites de la SEA, et en particulier l’impossibilit´e de d´ecrire l’´evolution spatiale de l’´energie au sein des sous-syst`emes ont conduit au cours de ces trente derni`eres ann´ees au d´ e-veloppement de nouvelles approches ´energ´etiques. Ces m´ethodes se placent dans la continuit´e de la m´ethode SEA, qui d´ecrit la propagation et la r´epartition de l’´energie `a la mani`ere de flux de chaleur, en se basant sur des analogies thermiques. Deux m´ethodes bas´ees sur l’´equation de
III.1 M´ethodes de pr´ediction en acoustique des salles 57
diffusion de la chaleur sont propos´ees : la m´ethode de diffusion de l’´energie et la m´ethode du potentiel d’intensit´e.
1.4.1 M´ethode de diffusion de l’´energie
Initialement n´ee des travaux de Rybak et Belov [Belov et Rybak, 1975, Belov et al., 1977] dans les ann´ees 1970, la m´ethode de diffusion de l’´energie a ´et´e d´evelopp´ee par Nefske et Sung [Nefske et Sung, 1987, Nefske et Sung, 1989], Bernhard et al. [Wohlever et Bernhard, 1992, Bouthier et Bernhard, 1995, Cho et Bernhard, 1998], Zhao et Vlahopoulos [Zhao et Vlahopoulos, 2000, Zhao et Vlahopoulos, 2004]. Elle repose sur le bilan local de puissance en r´egime stationnaire :
div I + Πdiss= Πinj (III.4)
o`u Πdiss et Πinj sont respectivement les densit´es de puissance dissip´ee et inject´ee. Le mod`ele de dissipation relie la densit´e de puissance dissip´ee Πdiss `a la densit´e d’´energie W au sein du syst`eme par l’interm´ediaire du coefficient d’amortissement η et de la pulsation ω :
Πdiss= η ω W. (III.5)
L’hypoth`ese fondamentale de la m´ethode de diffusion est que l’intensit´e locale I est reli´ee au gradient de densit´e d’´energie par une loi analogue `a la loi de Fourier :
I = −D grad W, (III.6)
o`u D est un coefficient de diffusion qui d´epend des caract´eristiques du milieu de propagation et des ondes. En injectant cette relation ainsi que le mod`ele de dissipation (Eq. (III.5)) dans le bilan local de puissance (Eq. (III.4)), on aboutit `a une ´equation sur la densit´e d’´energie W :
−D∆W + η ω W = Πinj (III.7)
C’est l’´equation de diffusion de l’´energie analogue `a l’´equation de conduction de la chaleur en pr´esence d’un terme convectif. Il reste `a ´etablir les conditions aux limites pour W , la plus simple ´etant que le flux de puissance sortant est nul sur une fronti`ere non dissipative.
L’int´erˆet de cette ´equation est qu’elle peut ˆetre r´esolue `a l’aide des solveurs thermiques existants. Toutefois, Langley [Langley, 1995] montre pour le cas d’une plaque infinie exci-t´ee ponctuellement que l’´equation de diffusion pr´edit une ´evolution de la densit´e d’´energie en 1/√r `a l’infini alors que la solution analytique exacte pr´evoit une ´evolution en 1/r. La m´ethode de diffusion est ainsi mise en d´efaut pour certaines applications. Par ailleurs, la d´etermination du coefficient de diffusion est l’une des difficult´es de mise en œuvre de la m´ethode.
Picaut [Picaut, 1998] s’int´eresse `a l’application de l’´equation de diffusion en acoustique ur-baine et pour des couloirs tels qu’une dimension est grande devant les deux autres. En r´egime transitoire, l’´equation de diffusion propos´ee est la suivante :
∂W
o`u D = λc/3 est li´e au libre parcours moyen λ, et σ est un coefficient global d’absorption. Sous l’hypoth`ese de champ diffus, ∆W = 0 et on retrouve la d´ecroissance exponentielle de l’´energie pr´edite par la th´eorie de Sabine .
1.4.2 M´ethode du potentiel d’intensit´e (Intensity Potential Approach)
La m´ethode du potentiel d’intensit´e (IPA - Intensity Potential Ap-proach) [Thivant et Guyader, 2000a, Thivant et Guyader, 2000b, Thivant, 2003] a ´et´e d´ e-velopp´ee par Thivant et Guyader pour pr´edire le champ acoustique au sein de cavit´es acoustiques ouvertes. Cette m´ethode repose sur l’´equation de diffusion ´ecrite sur le potentiel d’intensit´e acoustique. D’apr`es le th´eor`eme de Helmholtz, tout champ de vecteur peut s’´ecrire comme la somme du gradient d’un potentiel scalaire φ et du rotationnel d’un potentiel vecteur C. Ainsi, l’intensit´e acoustique active peut s’´ecrire sous la forme :
I = Iφ+ IC (III.9)
o`u Iφ= −grad φ est la partie irrotationnelle de l’intensit´e, et IC= −rot C la partie rotationnelle de l’intensit´e. Une premi`ere hypoth`ese consiste alors `a n´egliger la dissipation atmosph´erique notamment devant la dissipation au sein des absorbants acoustiques, hypoth`ese valable pour la plupart des applications industrielles. D`es lors, en r´egime stationnaire, le bilan de puissance local se r´eduit `a :
div I = Πinj (III.10)
et donc, en introduisant la d´ecomposition de l’intensit´e acoustique en ses composantes rotation-nelle et irrotationrotation-nelle (III.9) :
div Iφ+ div IC= Πinj (III.11)
En tenant compte du fait que d’une part div grad φ = ∆φ et d’autre part div rot C = 0, le bilan de puissance local (III.10) conduit `a l’´equation de Laplace pour le potentiel d’intensit´e :
−∆φ = Πinj (III.12)
Cette ´equation est identique `a l’´equation de conduction thermique. Contrairement `a la m´ethode de diffusion de l’´energie, cette m´ethode de n´ecessite pas de d´eterminer le coefficient de diffu-sion D. Comme pr´ec´edemment, la similitude avec les probl`emes thermiques permet de recourir aux logiciels ´el´ements finis thermiques pour r´esoudre le probl`eme acoustique (III.12). Jusqu’`a pr´esent, aucune hypoth`ese n’est faite sur la structure du champ acoustique de sorte que la r´ e-solution de l’´equation (III.12) permet de d´eterminer de mani`ere exacte le potentiel d’intensit´e acoustique φ ainsi que l’intensit´e irrotationnelle Iφ. L’IPA propose alors de n´egliger la compo-sante rotationnelle de l’intensit´e active : cette composante participe aux variations locales de l’´energie alors que les transferts d’´energie entre deux points de l’espace peuvent ˆetre d´ecrits par le seul potentiel φ. Par ailleurs, les lignes de flux associ´ees au champ de rotationnel IC sont des lignes ferm´ees de sorte que l’´energie est pi´eg´ee entre ces lignes de flux et ne peut ˆetre transmise en champ lointain. L’intensit´e rotationnelle apparaˆıt lorsque les ondes interf`erent, et s’annule
III.2 M´ethode du transfert radiatif 59
en champ lointain. La seule connaissance de la composante irrotationnelle de l’intensit´e active semble alors suffisante pour ´evaluer le champ acoustique sous ces conditions.
La m´ethode a ´et´e test´ee dans le cas d’une cavit´e partiellement ouverte en l’absence de mat´eriau absorbant : les r´esultats obtenus ont mis en ´evidence les limites de la m´ethode en champ proche. En n´egligeant la partie rotationnelle de l’intensit´e active, cette m´ethode ne permet pas de visua-liser la directivit´e du champ acoustique et une des principales difficult´es d’impl´ementation est li´ee `a la difficult´e d’´evaluer les conditions de fronti`ere en termes de puissance des sources. C’est une m´ethode int´eressante pour optimiser les structures lors de l’introduction d’absorbants no-tamment en raison des faibles temps de calcul qu’elle n´ecessite : elle s’applique particuli`erement `
a l’´etude des transferts d’´energie acoustique.
2 M´ethode du transfert radiatif
La m´ethode du transfert radiatif est n´ee de l’´etude critique de la m´ethode de diffusion de l’´energie vibratoire (paragraphe 1.4.1) [Le Bot, 1998a, Le Bot, 1998b, Le Bot, 2005]. Il s’agit d’une m´ethode de pr´ediction du comportement vibratoire et acoustique de structures dans le domaine des moyennes et hautes fr´equences. Tout comme la m´ethode de diffusion, la m´ethode du transfert radiatif repose sur des quantit´es ´energ´etiques qu’elle consid`ere de mani`ere locale et non globale comme en SEA. Les grandeurs mises en jeu dans la formulation de la m´ethode sont la densit´e d’´energie acoustique W et le vecteur intensit´e acoustique I qui repr´esente le flux d’´energie au sein d’un syst`eme. Ces champs se pr´esentent comme des variables quadratiques qui s’expriment `a partir de moyennes quadratiques de grandeurs cin´ematiques. S’il faut noter une perte d’information li´ee `a la disparition du terme de phase, ces variables quadratiques pr´esentent l’avantage d’ˆetre additives, fait particuli`erement int´eressant dans le domaine des hautes fr´equences en vertu de l’hypoth`ese de d´ecorr´elation des ondes.
Plusieurs approches ´energ´etiques simplifi´ees ont ´et´e d´evelopp´ees au cours des derni`eres ann´ees. Ces approches diff`erent par la d´ecomposition du champ en ondes planes ou en rayons ou par le mod`ele de r´eflexion utilis´e, sp´eculaire ou diffus. La m´ethode du transfert radiatif s’inscrit parmi ces approches ´energ´etiques simplifi´ees. Elle consid`ere un champ de rayons et s’appuie sur un mod`ele de r´eflexion diffus : elle se pr´esente donc comme une m´ethode de rayons, point qui sera d´etaill´e plus loin dans la th`ese, et elle s’apparente ainsi `a la m´ethode de radiosit´e d´evelopp´ee par Kuttruff [Kuttruff, 1991, Kuttruff, 1997], Miles [Miles, 1984] et Kang [Kang, 2002]. Des d´eveloppements ont ´et´e propos´es pour ´etendre l’application de la m´ethode `a la r´eflexion sp´eculaire [Le Bot, 2002b] et `a la transmission [Le Bot, 2002a, Cotoni et al., 2002] (Annexe A).