Les origines de l’ erreur statique de transmission sous charge

Les d´efauts de g´eom´etrie

Les d´efauts de g´eom´etrie constituent l’une des principales origines physiques de l’erreur sta-tique de transmission sous charge. Ces d´efauts induisent un ´ecart entre les flancs th´eoriques et les flans r´eels des dentures qui conduit `a une erreur de position par rapport `a un engrenage par-fait. La norme AFNOR NF-E-23-006 [NF-E-23-006, 1967] relative `a la pr´ecision des engrenages parall`eles `a denture en d´eveloppante fournit la d´efinition exacte de chaque d´efaut ainsi que les tol´erances d’usinage et de montage des engrenages selon leur taille et leur classe de pr´ecision. Ces tol´erances vont g´en´eralement de quelques microm`etres `a quelques dizaines de microm`etres pour des applications telles que v´ehicules routiers. Les principaux d´efauts sont :

– les d´efauts de profil et de distorsion : ces d´efauts r´esultent du taillage des dentures et se caract´erisent, dans le premier cas par des ´ecarts de forme entre le profil r´eel des dents et

I.1 Sources d’excitation 11

Rb 1

R_{b 2}

Cercle de base roue 1

Cercle de base roue 2

a

q₁

q +₂ e(t)/Rb 2

Cercle primitif roue 1

Cercle primitif roue 2

a b h ^{Cercle primitif} Cercle de tête Cercle de pied p s a pn an b pt at

Dans le plan perpendiculaire à l’hélice

Dans le plan de rotation de la roue

Cercle primitif : Lieu des points o`u les roues roulent sans glissement

Cercle de base : Cercle permettant d’obtenir le profil en d´eveloppante de cercle des dents Rb1: Rayon de base de la roue 1 (roue menante) R_b2 : Rayon de base de la roue 2 (roue men´ee) a : entraxe entre les roues

α : angle de pression - d´efinit l’inclinaison de la ligne d’engr`enement (ligne d’action)

θ₁, θ₂ : positions angulaires th´eoriques θ₁, θ₂+ e(t)/R_b2 : positions angulaires r´eelles e(t) : erreur de transmission

Cercle de tˆete : section du cylindre constituant l’enveloppe du sommet des dents

Cercle de pied : section du cylindre constituant l’enveloppe du fond des dents

p : pas primitif - distance entre deux dents cons´ecutives le long du cercle primitif

s : ´epaisseur de la dent h : hauteur de la dent b : largeur de la dent

Engrenages `a denture h´elico¨ıdale : β : angle d’h´elice

Sens de l’h´elice : si la roue 1 a une h´elice `a droite, la roue 2 a une h´elice `a gauche

pn : pas r´eel

pt : pas apparent - pt= pn/ cos β αn : angle de pression r´eel αt : angle de pression apparent tan α_n= tan α_tcos β

Fig. I.4 –Caract´eristiques g´eom´etriques des engrenages et d´efinition de l’erreur de transmission.

le profil th´eorique, et dans le second cas par des ´ecarts de forme entre l’h´elice r´eelle et l’h´elice th´eorique,

– les erreurs de division : ces erreurs, r´esultent du taillage des dentures et se traduisent par un pas non rigoureusement constant d’une dent `a l’autre,

– les d´efauts d’excentricit´e : ces d´efauts r´esultent de la fabrication de la roue ou de l’assem-blage de la roue sur l’arbre, et se caract´erisent par le fait que le centre de rotation de la roue ne co¨ıncide pas avec le centre du cercle de base,

– les d´efauts de parall´elisme : ces d´efauts, qui englobent l’inclinaison et la d´eviation, r´esultent du montage des roues, des arbres et des paliers, ils entraˆınent une modification de l’aire de contact entre les dents, donc une modification de la r´epartition de la charge,

– les corrections de denture : ce ne sont pas `a proprement parl´e des d´efauts mais des modi-fications intentionnelles de la g´eom´etrie des dents visant `a permettre une prise en charge progressive de chaque dent, `a compenser la d´eformation des dents en prise afin d’´eviter tout impact lors de l’entr´ee d’une nouvelle dent dans la zone de contact, et enfin `a mini-miser les fluctuations de l’erreur statique de transmission sous charge pour la transmission d’un couple nominal donn´e.

Les fluctuations de la raideur d’engr`enement

Lors de la transmission d’un couple moteur, il s’exerce sur la denture des efforts normaux au profil (en n´egligeant les frottements), et l’engrenage (denture et corps de roue) se d´eforme. On distingue les d´eformations ´elastiques associ´ees `a la flexion des dents et des corps de roue, et les d´eformations locales associ´ees aux contacts hertziens entre les dents. Ces d´eformations se caract´erisent par un rapprochement entre les dents le long de la ligne d’engr`enement (ligne d’action), lieu des points de contact th´eoriques. Ce rapprochement n’est pas constant au cours de l’engr`enement, il d´epend non seulement de la charge transmise mais aussi de la position angulaire des deux roues (Fig. I.5). Il participe `a l’erreur de transmission sous charge. Pour chaque position angulaire, on peut relier ce rapprochement `a l’effort ou au couple transmis par l’interm´ediaire d’une raideur de liaison d´efinie le long de la ligne d’action et appel´ee raideur d’engr`enement. La raideur d’engr`enement ´evolue au cours de l’engr`enement et fluctue autour d’une valeur moyenne.

Caract`ere non lin´eaire et param´etrique de la raideur d’engr`enement :

La raideur d’engr`enement permet de relier le rapprochement entre les dents en prise `a la charge transmise. Elle est conditionn´ee par :

– l’´evolution du nombre de couples de dents en prise au cours de l’engr`enement, typique-ment de 1 `a 2 pour un couple d’engrenages droits, et 2 `a 3 pour un couple d’engrenages h´elico¨ıdaux,

– l’´evolution du point d’application des efforts sur chaque dent : une dent se d´eforme d’autant plus que le point d’application est proche de la tˆete.

Ces ´evolutions conf`erent un caract`ere param´etrique `a la raideur d’engr`enement.

Mod´elisation classique de la raideur d’engr`enement : – Mod`ele lin´eaire `a param`etre constant

I.1 Sources d’excitation 13

F₁ F₁

Début d’engrènement:

déplacement important_graideur faible

F₂

Milieu d’engrènement:

déplacement faible_graideur importante

F2

Fig. I.5 – Variation de la rigidit´e de la dent d’engrenage au cours de l’engr`enement [Delhoume et al., 1993].

de la charge transmise. Ce mod`ele ne tient pas compte du caract`ere non lin´eaire ni param´etrique de la raideur d’engr`enement. Il s’appuie sur l’hypoth`ese que les variations de la raideur d’engr`enement sont n´egligeables ce qui revient `a supposer que l’aire de contact demeure constante. Typiquement, la raideur d’un couple de dents en prise pour un engrenage en acier `a denture droite normale est ´egale `a 14.10⁹N/m par unit´e de largeur de denture [Welbourn, 1979].

– Mod`ele lin´eaire et param´etrique

La premi`ere am´elioration que l’on peut apporter au mod`ele pr´ec´edent consiste `a prendre en compte le nombre de dents en prise. Prenons le cas d’un engrenage droit o`u il y a alternativement un puis deux couples de dents en prise. Lorsque le contact n’est assur´e que par une paire de dents, la raideur d’engr`enement est ´egale `a la raideur d’un couple de dents en prise tel qu’introduite dans le mod`ele lin´eaire `a param`etre constant. Dans le cas o`u le contact est assur´e par deux couples de dents, la raideur d’engr`enement est alors ´equivalente `a celle de deux raideurs en parall`ele. Ainsi, la raideur d’engr`enement varie dans ce cas du simple au double. En pratique, les param`etres de conception ou les corrections de denture peuvent modifier sensiblement l’allure de cette variation. La seconde am´elioration consiste `a prendre en compte l’influence de la charge transmise. Pour une position angulaire θ₁ donn´ee, la raideur d’engr`enement est alors ´evalu´ee comme la pente de la relation non lin´eaire effort transmis - rapprochement autour de la position

d’´equilibre statique (Fig. I.6). Il s’agit donc d’une raideur lin´earis´ee qui rend compte du couplage ´elastique entre les dents qui engr`enent.

F

e F

s

e_s

Fig. I.6 – Mod`ele lin´earis´e de la raideur d’engr`enement : pour une position θ donn´ee, la raideur est ´

evalu´ee comme la pente de la relation non lin´eaire effort transmis F - rapprochement e autour de la position d’´equilibre statique es.

Dans tous les cas, en r´egime de fonctionnement stationnaire, la fluctuation de la raideur est p´eriodique et induit ainsi une excitation param´etrique `a la fr´equence d’engr`enement, produit du nombre de dents d’une des deux roues par sa fr´equence de rotation, et ses premiers harmoniques. Ainsi, ce mod`ele rend compte du caract`ere p´eriodique de la raideur mais pas de son caract`ere non lin´eaire.

– Mod`ele non lin´eaire et param´etrique

Le mod`ele le plus complet reproduit le caract`ere non lin´eaire et p´eriodique de la raideur qui tient compte de la relation non lin´eaire entre le rapprochement entre les dents en prise et la charge transmise, ainsi que du nombre de dents en prise.