Le principe de Fermat g´ en´ eralis´ e

4 problèmes canoniques à résoudre 1

3 2

4

Fig. IV.2 – Le principe de localit´e permet de r´eduire un probl`eme complexe de diffraction en une combinaison de probl`emes plus simples dits canoniques.

1.1.3 Le principe de Fermat g´en´eralis´e

La TGD s’appuie sur un d´eveloppement du principe de Fermat qu’il est donc int´eressant de rappeler ici. Ce principe permet de g´en´eraliser `a tout milieu le fait qu’un rayon lumineux et donc, par analogie, un rayon acoustique se propage en ligne droite dans un milieu homog`ene. Il

permet ´egalement de retrouver les relations de la r´efraction ainsi que les lois de Snell-Descartes pour la r´eflexion. Ainsi, le principe de Fermat permet de justifier l’existence des rayons utilis´es en acoustique g´eom´etrique, `a savoir l’existence d’un rayon direct entre un point source et un point r´ecepteur, l’existence d’un rayon r´efl´echi ou l’existence d’un rayon r´efract´e `a l’interface entre deux milieux d’indices diff´erents. Le d´eveloppement propos´e par Keller sous le nom de principe de Fermat g´en´eralis´e permet de justifier l’existence de nouveaux rayons acoustiques que le principe de Fermat ne permet pas d’expliquer. Le principe de Fermat g´en´eralis´e peut ˆetre formalis´e de la fa¸con suivante. Consid´erons un chemin T reliant deux points M0 et MN +1 et constitu´e de N + 1 segments [M_iM_i+1] (Fig. IV.3). Les points M_isont des points de discontinuit´e du chemin T o`u la courbure du chemin change. On note t⁺_i la tangente au tron¸con [MiMi+1] au point M_i, et t⁻_i la tangente au tron¸con [M_i−1M_i] au point M_i.

M i M i+1 t i -t i +

Fig. IV.3 – Le principe de Fermat g´en´eralis´e : on consid`ere un chemin constitu´e de N segments [M_iM_i+1], t⁻_i et t_i⁺ d´esignent respectivement la tangente au tron¸con [M_i−1M_i] au point M_i et la tangente au tron¸con [MiMi+1] au point Mi.

Le chemin acoustique L est d´efini comme l’int´egrale :

L(T ) = Z

T

n(s)ds, (IV.6)

o`u s d´esigne l’abscisse curviligne le long du chemin acoustique, ds est un intervalle infinit´esimal de longueur, et n est l’indice du milieu. Pour la suite de l’´etude, on s’int´eressera `a un milieu homog`ene pour lequel l’indice n est constant, ´egal `a 1. Le principe de Fermat g´en´eralis´e s’´enonce : ” T est un rayon si et seulement si T est de longueur stationnaire parmi les chemins C¹ par morceaux respectant les connexions sur la surface”. Le respect des connexions signifie que les points Mi et de la mˆeme fa¸con les segments [MiMi+1] sont contraints de rester fix´es o`u ils sont, `a savoir sur la surface d’un objet, sur une arˆete ou sur une pointe. Cet ´enonc´e se traduit de mani`ere ´

equivalente sous forme variationnelle par δ(L(T )) = 0 o`u δ d´esigne la variation infinit´esimale du chemin acoustique L lorsque chacun de ses points subit une variation infinit´esimale δM respectant les connexions. En ´ecrivant le chemin acoustique L sous la forme :

L(T ) = Z T ds = N X i=0 Z Mi+1 Mi ds = N X i=0 Z Mi+1 Mi t · dM, (IV.7)

la variation δ(L(T )) s’´ecrit donc :

δL(T ) = N X i=0 Z Mi+1 Mi t · d(δM). (IV.8)

IV.1 Th´eorie G´eom´etrique de la Diffraction 85

En int´egrant par parties l’´equation (IV.8), le principe de Fermat g´en´eralis´e conduit donc `a la relation suivante : δL(T ) = N X i=0 [t · δM]^Mi+1 Mi − Z Mi+1 Mi dt · δM = 0 = N X i=1 (t⁻_i − t+ i ) · δM_i− Z Mi+1 Mi dt · δM = 0, (IV.9)

avec t⁺₀ · δM₀ = 0 et t⁻_N+1· δM_N+1= 0 puisque les points de d´epart et d’arriv´ee sont pr´ eala-blement fix´es (δM₀= 0 et δM_N+1= 0). L’´equation (IV.9) est valable quel que soit la variation δM compatible avec les connexions, on aboutit donc aux deux types de conditions suivantes :

Z Mi+1 Mi

dt · δM = 0 (IV.10)

(t⁻_i − t+

i ) · δM_i = 0. (IV.11)

Les conditions (IV.10) et (IV.11) permettent de d´eterminer tous les rayons, qu’ils soient justi-fi´es par l’acoustique g´eom´etrique ou qu’ils soient diffract´es. Le paragraphe suivant propose de d´etailler l’ensemble des rayons gouvern´es par ces conditions.

Les rayons de l’acoustique g´eom´etrique

Le rayon en espace libre :

La condition (IV.10) est valable quelle que soit la variation δM respectant les connexions. Par cons´equent dt = 0 et on retrouve que les rayons se propagent en ligne droite en l’absence d’interaction.

Le rayon r´efl´echi :

Dans le cas de la r´eflexion sur une surface r´eguli`ere, les rayons incident et r´efl´echi sont des droites. t<sup>−</sup><sub>i</sub> est le vecteur unitaire sur le rayon incident, et t<sup>+</sup><sub>i</sub> est le vecteur unitaire sur le rayon r´efl´echi. Le point de r´eflexion M est contraint de rester sur la surface de r´eflexion donc δM est un vecteur quelconque du plan tangent au point de r´eflexion. La condition (IV.11) impose donc `

a t⁻_i − t⁺_i d’ˆetre orthogonal `a la surface de r´eflexion, en d’autres termes, t<sup>−</sup><sub>i</sub> − t<sup>+</sup><sub>i</sub> = c n o`u c est un scalaire, et n est le vecteur normal ext´erieur `a la surface de r´eflexion au point M . Ainsi, en notant θ l’angle d’incidence, t⁺_i = t⁻_i + 2 cos θ n. On retrouve ainsi la loi de la r´eflexion de Snell-Descartes :

– le rayon r´efl´echi est dans le plan d’incidence d´efini par le vecteur normal ext´erieur `a la surface de r´eflexion et le rayon incident,

– l’angle incident est ´egal `a l’angle de r´eflexion.

Les rayons diffract´es

Le rayon diffract´e par une arˆete :

n t_i -t_i -t_i⁺ q P

Fig. IV.4 –Loi de r´eflexion de Snell-Descartes : le rayon r´efl´echi est dans le plan d’incidence d´efini par le vecteur normal ext´erieur `a la surface de r´eflexion et le rayon incident, et l’angle incident est ´egal `a l’angle de r´eflexion.

est le vecteur unitaire sur le rayon incident, et t⁺_i est le vecteur unitaire sur le rayon diffract´e. Le respect des connexions impose `a δM d’ˆetre suivant la tangente s `a l’arˆete diffractante. La condition (IV.11) s’´ecrit donc (t⁻_i − t⁺_i ) · s = 0. En notant β l’angle d’incidence par rapport `

a l’arˆete, et α l’angle de diffraction par rapport `a l’arˆete, cette condition s’´ecrit ´egalement β = α. Ainsi, les rayons diffract´es se situent sur un cˆone dont l’axe principal est la tangente `

a l’arˆete de diffraction et dont le demi angle au sommet est β. Ce cˆone est appel´e cˆone de Keller.

s t_i

-t_i⁺

b

a

Fig. IV.5 –Loi de diffraction de Keller : les rayons diffract´es se situent sur un cˆone dont l’axe principal est la tangente `a l’arˆete de diffraction et dont le demi angle au sommet est β, angle d’incidence.

IV.1 Th´eorie G´eom´etrique de la Diffraction 87

Le rayon diffract´e par une pointe :

Dans le cas de la diffraction par une pointe, δM = 0 donc la condition (IV.11) est valable quelle que soit la direction du rayon diffract´e. Ainsi la pointe diffracte dans toutes les directions.

t

i

-Fig. IV.6 – Diffraction par une pointe : les rayons diffract´es sont ´emis dans toutes les directions.

Le rayon rampant :

Propagation d’un rayon rampant :

Dans le cas d’un rayon rampant, δM est contraint de rester dans le plan tangent `a la surface. Ainsi, δM · n = 0 o`u n est le vecteur normal ext´erieur `a la surface et par cons´equent dt = c n, c ´

etant un scalaire. La normale ext´erieure `a la surface co¨ıncide donc avec la normale au rayon de surface. Les rayons rampants suivent les g´eod´esiques de la surface qui sont en quelque sorte les droites de cette surface (par exemple des h´elices sur un cylindre ou des cercles sur une sph`ere). Attachement d’un rayon rampant :

Un rayon rampant est initi´e par un rayon interceptant une surface r´eguli`ere dont un exemple est la diffraction par un cylindre. t<sup>−</sup><sub>i</sub> est le vecteur unitaire sur le rayon incident, et t<sup>+</sup><sub>i</sub> est le vecteur unitaire sur le rayon rampant. La condition (IV.11) impose comme dans le cas de la r´eflexion que t<sup>−</sup><sub>i</sub> − t<sup>+</sup><sub>i</sub> = c n, or le rayon ´etant rampant t<sup>+</sup><sub>i</sub> · n = 0 et finalement, t<sup>−</sup><sub>i</sub> · n = 0. Ainsi, un rayon rampant est g´en´er´e sous incidence rasante aux fronti`eres ombre-lumi`ere et la tangente `a ce rayon est suivant le rayon incident.

D´etachement d’un rayon rampant :

Notons ´egalement qu’un rayon rampant g´en`ere en permanence des rayons d’espace ´emis suivant la tangente au rayon. Un rayon rampant perd de l’´energie et s’att´enue tr`es rapidement.

Par ailleurs :

– un rayon incident sur une arˆete constitu´ee de surfaces courbes g´en`ere des rayons rampants dans la direction du cˆone de Keller

– r´eciproquement, un rayon rampant diffract´e par une arˆete g´en`ere des rayons d’espace dans la direction du cˆone de Keller d´efini par la tangente `a l’arˆete diffractante et la tangente au rayon rampant incident

du cˆone tangent `a la pointe

– r´eciproquement, un rayon rampant diffract´e par une pointe g´en`ere des rayons d’espace dans toutes les directions.

t

-t

i +

n

Fig. IV.7 – Rayons rampants ´emis par un cylindre.

Ainsi, la diffraction fait intervenir diff´erents types de rayons : les rayons r´efl´echis, les rayons diffract´es, les rayons rampants, ainsi que toute combinaison de ces trois types de rayons. Le probl`eme des rayons rampants n´ecessite une ´etude sp´ecifique mod´elisant les ph´enom`enes d’at-tachement et de d´etachement de ces rayons. Dans cette ´etude, nous nous limiterons donc aux rayons diffract´es ’classiques’ `a savoir la diffraction par une arˆete ou par une pointe.