De tr`es nombreux auteurs ont d´evelopp´e des mod`eles diversifi´es de transmissions par engrenages afin de calculer leur r´eponse dynamique. Plusieurs ´etudes bibliogra-phiques [Ozguven et Houser, 1988, Remond et al., 1993] font l’inventaire des travaux dans le domaine, qu’il convient de compl´eter par des travaux plus r´ecents. Ces mod`eles se diff´erencient notamment par le choix des composants de la transmission pris en compte et la finesse de mo-d´elisation des conditions de contact. La mise en place de ces mod`eles s’appuie sur de nombreux travaux concernant la mod´elisation de l’interface d’engr`enement, l’introduction des composants de la transmission (paliers de type roulements, carter), la prise en compte de l’amortissement.
1.1.1 Mod´elisation de l’interface d’engr`enement
La prise en compte des conditions d’engr`enement d´epend du mod`ele de raideur adopt´e tel que pr´esent´e au paragraphe I.1.2.2. Afin de simplifier l’expos´e, le mod`ele de transmission utilis´e pour la mod´elisation de l’interface d’engr`enement est un mod`ele `a 1 degr´e de libert´e.
Mod`ele lin´eaire `a coefficient constant
Lorsque la raideur d’engr`enement introduite est constante, ´egale `a la raideur moyenne tem-porelle d’engr`enement k, l’´equation qui gouverne la r´eponse non amortie x(t) de la transmission en l’absence de sources externes s’´ecrit :
m ¨x(t) + k x(t) = k xs(t). (II.1)
Les termes excitateurs sont introduits via l’erreur statique de transmission sous charge xs(t) qui constitue une excitation de type d´eplacement. Les caract´eristiques de cette excitation sont ´
evalu´ees `a partir d’un calcul statique pr´ealable ou ´eventuellement mesur´ees. Cette ´equation est g´en´eralisable `a un syst`eme ayant un grand nombre de degr´es de libert´e. Dans ce cas, la r´esolution de cette ´equation matricielle est basique et s’appuie sur l’analyse modale de la transmission. En revanche, ce mod`ele ne permet pas de prendre en compte l’excitation param´etrique li´ee aux fluctuations de la raideur d’engr`enement ni les ph´enom`enes non lin´eaires. Ainsi, ce mod`ele s’applique `a des engrenages charg´es, pr´esentant de faibles fluctuations de raideur d’engr`enement et soumis `a des niveaux d’excitation mod´er´es.
Mod`ele lin´eaire `a coefficient param´etrique
Ce mod`ele vise essentiellement `a introduire les fluctuations p´eriodiques de la raideur d’en-gr`enement k(t), source d’excitation param´etrique, tout en restant dans le domaine lin´eaire. De mani`ere g´en´erale, en l’absence de sources d’excitation externes, l’´equation qui gouverne la r´ e-ponse non amortie x(t) de la transmission s’´ecrit :
Cette ´equation est une ´equation de type Mathieu-Hill. Les param`etres k(t) et xs(t) sont calcul´es pr´ealablement pour la transmission fonctionnant en r´egime quasi-statique. La valeur moyenne et les fluctuations de la raideur d’engr`enement ainsi que l’erreur statique de transmission sous charge d´ependent alors du couple moyen transmis. Cette ´equation permet de reproduire les ph´ e-nom`enes param´etriques associ´es au fonctionnement des transmissions ´evoqu´es au paragraphe I.2 tels que les instabilit´es param´etriques, les r´esonances param´etriques, la r´eponse multi-fr´equentielle. A nouveau, cette ´equation est g´en´eralisable `a un syst`eme ayant un grand nombre de degr´es de libert´e : toutefois la r´esolution n’est pas standard et s’appuie sur des m´ethodes sp´ecifiques qui seront d´etaill´ees ult´erieurement. Ce mod`ele s’applique `a des engrenages charg´es et soumis `a des niveaux d’excitation mod´er´es, c’est-`a-dire en l’absence de pertes de contact entre les dents en prise, et si le syst`eme s’´ecarte peu de la position d’´equilibre statique.
Mod`ele non lin´eaire
Lorsque les niveaux d’excitation augmentent et/ou que les charges transmises sont faibles, des pertes de contact entre les dentures d’engrenages peuvent se produire. Aux fluctuations de la raideur d’engr`enement associ´ees au processus d’engr`enement viennent alors s’ajouter les fluctuations des efforts dynamiques sur les dentures : le cas limite correspond `a la perte de contact suivi d’une reprise de contact avec chocs. En l’absence de sources d’excitation externes, l’´equation non lin´eaire qui gouverne la r´eponse non amortie x(t) de la transmission s’´ecrit :
m ¨x(t) + Fd(x(t), ˙x(t),t) = F . (II.3)
Cette ´equation permet d’´etudier les ph´enom`enes de chocs induits par des pertes de contact entre dentures [Singh et al., 1989, Kahraman et Singh, 1990, Pfeiffer, 1991, Pfeiffer, 1996]. Dans ce cas, l’effort Fdest associ´e `a une raideur non lin´eaire entre les dents en prise qui devient nulle lorsqu’il y a perte de contact. En raison des variations des param`etres avec la r´eponse dynamique de la transmission, seule une m´ethode bas´ee sur une int´egration temporelle pour laquelle les param`etres sont actualis´es `a chaque pas de temps permet de r´esoudre cette ´equation. D`es lors, les mod`eles non lin´eaires ne sont pas adapt´es aux syst`emes ayant un grand nombre de degr´es de libert´e car ils conduisent `a des temps de calcul prohibitifs.
1.1.2 Mod´elisation des composants de la transmission
Deux classes de mod`eles peuvent ˆetre r´epertori´ees :
– les mod`eles simplifi´es `a faible nombre de degr´es de libert´e, g´en´eralement des mod`eles de torsion pure, dont la simplicit´e de mise en oeuvre constitue l’int´erˆet principal : ces mod`eles permettent d’effectuer des analyses qualitatives et d’introduire une mod´elisation raffin´ee des conditions de contact,
– les mod`eles `a plus grand nombre de degr´es de libert´e permettant d’int´egrer de mani`ere plus pr´ecise l’environnement de la transmission comme par exemple les propri´et´es ´ elasto-dynamiques du carter.
II.1 Etude bibliographique 33
Mod`eles de torsion pure
Les premiers travaux de mod´elisation se sont orient´es vers des mod`eles lin´eaires param´ e-triques de torsion pure pour lesquels le syst`eme est d´ecompos´e en inerties concentr´ees reli´ees par des raideurs de torsion repr´esentatives des contributions de l’ensemble des parties d´ efor-mables [Tuplin, 1950, Tuplin, 1953]. Ces mod`eles n´egligent les mouvements de flexion, en par-ticulier les couplages ”flexion - torsion”. Ils se limitent `a des ´etudes dans le plan d’action de l’engrenage. Le mod`ele le plus simple est un mod`ele de torsion pure `a 2 degr´es de libert´e o`u les deux roues sont repr´esent´ees par deux inerties en rotation reli´ees par une raideur en torsion. Un mod`ele un peu plus sophistiqu´e est un mod`ele `a 4 degr´es de libert´e pour lequel les inconnues sont les positions angulaires du moteur, du pignon, de la roue et de la charge (Fig. II.1). On note θj (j = 1,2,3,4) les rotations associ´ees au moteur, au pignon, `a la roue et `a la charge. En l’absence d’efforts excitateurs externes et de sources d’amortissement, les param`etres de ce mod`ele sont : – les inerties des roues de l’engrenage (I2 et I3), l’inertie du moteur (I1) et l’inertie de la
charge (I4),
– les raideurs en torsion des accouplements k1 et k2 (N.m/rad) respectivement entre le moteur et le pignon et entre la roue et la charge, la raideur d’engr`enement k(t) (N/m) qui couple la rotation du pignon θ2 `a la rotation de la roue θ3.
Moteur Arbre 2 Charge Arbre 1 Pignon Roue I1 I2 I3 I4 k1 k(t) k2
Fig. II.1 – Mod`ele de torsion pure : mod`ele `a 4 degr´es de libert´e pour lequel les inconnues sont les positions angulaires du moteur, du pignon, de la roue et de la charge. Les param`etres du mod`ele sont les inerties des roues, du moteur et de la charge, les raideurs en torsion des arbres et la raideur d’engr`enement.
On s’int´eresse `a la r´eponse dynamique forc´ee de cette transmission `a l’erreur statique de trans-mission. Celle-ci est prise en compte en introduisant une erreur angulaire θ3∗sur la roue de sortie de la transmission : cette erreur, compt´ee n´egativement, traduit un enl`evement de mati`ere sur la denture.
Les ´equations du mouvement non amorties de la transmission s’´ecrivent : I1θ¨1 + k1(θ1− θ2) = 0 I2θ¨2 + k1(θ2− θ1) + k(t) Rb1(Rb1θ2+ Rb2θ3− Rb2θ∗ 3) = 0 I3θ¨3 + k2(θ3− θ4) + k(t) Rb2(Rb1θ2+ Rb2θ3− Rb2θ∗ 3) = 0 I4θ¨2 + k1(θ2− θ1) = 0, (II.4)
o`u Rb1 et Rb2 d´esignent les rayons de base du pignon et de la roue. Ces ´equations peuvent se mettre sous la forme matricielle suivante :
[I] {¨θ(t)} + [K] {θ(t)} + k(t) [U ] {θ(t)} = k(t) e(t) {R} (II.5)
avec [I] = I1 0 0 0 0 I2 0 0 0 0 I3 0 0 0 0 I4 , [K] = k1 −k1 0 0 −k1 k1 0 0 0 0 k2 −k2 0 0 −k2 k2 , [U ] = {R}t{R}, {R} = 0 Rb1 Rb2 0 e(t) = Rb2θ∗3(t) ou encore :
[I] {¨θ(t)} + [K] {θ(t)} + g(t) [U ] {θ(t)} = k(t) e(t) {R} (II.6)
avec [K] = [K] + k(t) [U ] et g(t) = k(t) − k(t). Cette ´equation est une ´equation de type Mathieu-Hill analogue `a l’´equation (II.2).
Les mod`eles de torsion pure ne permettent bien ´evidemment de reproduire que les modes de torsion de la transmission, et ne permettent pas de prendre en compte les modes coupl´es de torsion/flexion. L’int´erˆet principal de ces mod`eles est leur relative simplicit´e de mise en oeuvre, et le faible nombre d’´equations sur lesquelles ils reposent permet d’effectuer des analyses qua-litatives pr´eliminaires et de tester des m´ethodes de r´esolution avant de recourir `a des mod`eles `
a plus grand nombre de degr´es de libert´e. Ils peuvent ´egalement ˆetre suffisants pour ´evaluer l’erreur dynamique de transmission exprim´ee sous la forme d’un ´ecart angulaire ainsi que les surcharges dynamiques s’exer¸cant sur les dentures. Enfin, ces mod`eles permettent de prendre en compte les non-lin´earit´es de l’engr`enement (raideurs et jeux), l’excitation param´etrique li´ee aux fluctuations de la raideur d’engr`enement, et la g´eom´etrie fine des dentures (profil, corrections, bomb´es). Bien sˆur, ces mod`eles ne permettent pas de pr´edire l’´etat vibratoire du carter.
Mod`eles de torsion-flexion-compression
Souvent bas´es sur une description par ´el´ements finis, ces mod`eles permettent de palier aux carences des mod`eles de torsion pure pr´esent´es pr´ec´edemment en prenant en compte l’ensemble des degr´es de libert´e de la transmission et donc les couplages entre les vibrations en flexion et en torsion des arbres et de leurs supports, et les d´eformations en traction-compression. Par ailleurs,
II.1 Etude bibliographique 35
ces mod`eles permettent d’introduire l’ensemble des ´el´ements de la transmission tels que les lignes d’arbres et les paliers et de reproduire plus finement les d´eformations ainsi que les interactions entre les roulements, les arbres et les roues dent´ees. On peut citer par exemple les mod`eles utilis´es par Neriya [Neriya et al., 1985, Neriya et al., 1988], Kahraman [Kahraman et al., 1989], Ozg¨ u-ven [Ozguu-ven et Kesan, 1992], Perret-Liaudet [Perret-Liaudet, 1992] et Rigaud [Rigaud, 1998]. En g´en´eral, les roues dent´ees sont mod´elis´ees par des solides ind´eformables et leur mouvement est d´ecrit par 6 degr´es de libert´e. La raideur d’engr`enement est introduite sous la forme d’une matrice 12 × 12 qui couple les degr´es de libert´e des roues dent´ees et qui int`egre les d´eformations des dents. Les lignes d’arbre sont mod´elis´ees par des ´el´ements poutre `a 2 noeuds et 6 degr´es de libert´e par noeud. Les roulements peuvent ˆetre introduits `a partir de leur repr´esentation dans les mod`eles de torsion pure sous la forme de matrices de couplage entre les lignes d’arbre et le carter de la transmission.
Pour ´eviter des temps de calcul prohibitifs, les contacts sont le plus souvent lin´earis´es et ces mod`eles ne permettent pas d’introduire les non-lin´earit´es de l’engr`enement. A nouveau, le carter n’est pas pris en compte de sorte que l’´etat vibratoire de celui-ci ne peut ˆetre pr´edit `a l’aide de ces mod`eles. Leur principal int´erˆet est le bon compromis entre la pr´ecision des r´esultats et les temps de calcul qu’ils permettent pour des transmissions `a carter tr`es rigide.
Mod`eles dynamiques globaux
Les mod`eles dynamiques ´elabor´es d’une transmission d´ecrits pr´ec´edemment prennent en compte l’´elasticit´e des arbres en torsion et en flexion, ainsi que celle des paliers, mais peu de ces mod`eles incluent les propri´et´es ´elastodynamiques des carters. Dans la plupart des cas, la raideur du carter est suppos´ee tr`es grande au regard de celles des autres ´el´ements de la transmission, et le carter est consid´er´e comme ´etant infiniment rigide [Velex, 1988]. Pourtant Perret-Liaudet [Perret-Liaudet, 1992] et Rigaud [Rigaud, 1998] ont montr´e qu’il existe des ph´enom`enes de couplage entre les r´eponses dynamiques observ´ees sur le carter et celles observ´ees `
a la denture.
Les premiers mod`eles incluant le carter sont apparus dans les ann´ees 1990 afin de pr´edire le rayonnement acoustique des transmissions ferm´ees (Storm [Storm, 1991], Takatsu [Takatsu et al., 1991], Maruyama [Maruyama et al., 1992], Perret-Liaudet [Perret-Liaudet, 1992], Inoue [Inoue et al., 1993], Kato [Kato et al., 1994], Ri-gaud [RiRi-gaud, 1998], Ducret [Ducret, 1997]). Ces mod`eles sont bas´es sur une discr´etisation de type ´el´ements finis du carter en ´el´ements plaques et/ou volumiques. Inoue [Inoue et al., 1993] discr´etise un carter parall´el´epip´edique rectangle `a l’aide d’´el´ements plaques et optimise l’´ epais-seur de chaque ´el´ement pour minimiser le transfert vibratoire entre un effort normal harmonique unitaire appliqu´e sur les noeuds correspondant aux roulements et la r´eponse vibratoire du carter nu. Les efforts normaux appliqu´es correspondent aux efforts axiaux transmis par les roulements au carter. Maruyama [Maruyama et al., 1992] s’int´eresse `a la r´eponse vibratoire et acoustique de carters nus de diff´erentes formes. Storm [Storm, 1991] assimile chaque face du carter `a une plaque homog`ene rectangulaire simplement appuy´ee et baffl´ee. Chaque plaque
est soumise `a des efforts normaux appliqu´es sur les noeuds correspondant aux roulements : ces efforts sont d´etermin´es `a partir de l’erreur statique de transmission et d’une mod´elisation dynamique de l’engrenage et des lignes d’arbres. Takatsu [Takatsu et al., 1991] s’int´eresse `a la r´eponse vibratoire du carter nu soumis aux efforts radiaux transmis par les roulements calcul´es pr´ealablement en supposant le carter rigide. Kato [Kato et al., 1994] proc`ede de la mˆeme fa¸con pour ´etudier la r´eponse vibratoire du carter aux moments transmis par les roulements.
Les hypoth`eses utilis´ees dans certains cas sont cependant discutables. Notons par exemple que la prise en compte des seuls efforts axiaux transmis par les roulements est r´eductrice car les efforts radiaux et les moments influent ´egalement sur la r´eponse vibratoire du carter. Par ailleurs, le carter est consid´er´e la plupart du temps comme ´etant d´ecoupl´e des lignes d’arbre ce qui conduit `a utiliser les modes propres du carter nu et `a supposer qu’il n’y a pas d’effet du carter sur la surcharge dynamique `a la denture. Or, les modes propres du carter nu sont diff´erents des modes propres du carter coupl´e aux lignes d’arbre et les propri´et´es ´elastiques et g´eom´etriques du carter peuvent modifier le transfert entre l’erreur de transmission et les efforts transmis par les roulements au carter. Un mod`ele plus rigoureux se doit donc d’int´egrer le couplage entre les lignes d’arbres et le carter.
1.1.3 Prise en compte de l’amortissement
La m´econnaissance profonde de l’amortissement (paragraphe I.2.5) conduit g´en´eralement `a introduire celui-ci sous la forme d’un taux d’amortissement visqueux ´equivalent qui se traduit par l’ajout d’une matrice d’amortissement [C] dans les ´equations r´egissant le comportement de la transmission. Cette matrice est inconnue, mais la r´esolution des ´equations par les m´ethodes bas´ees sur le principe de superposition modale permet de remplacer la matrice [C] par son ´ equi-valent dans l’espace modalt[V ][C][V ] = diag[2 miωiζi], o`u [V ] est la matrice des vecteurs propres de la transmission non amortie, mi la masse modale et ζi le facteur d’amortissement du mode i `
a la pulsation ωi. Les facteurs d’amortissement modaux peuvent ˆetre ´evalu´es exp´erimentalement par les m´ethodes d’identification modale classiques. Toutefois, l’utilisation de ces facteurs ne permet pas d’isoler les contributions respectives de chacune des sources d’amortissement.