r z − ν = r R2 ν . (IV.31)
Finalement, la densit´e d’´energie diffract´ee s’´ecrit :
Wdif = I
cDω(ϕ,θ) × 1
r, (IV.32)
et est donc inversement proportionnelle `a la distance r entre l’arˆete et le point r´ecepteur. La d´ e-croissance de l’´energie en 1/r est en accord avec la d´ecroissance du champ de pression acoustique en 1/√r pr´edite par la TGD [Pierce, 1991].
3.2 R´esultats
3.2.1 Etude bidimensionnelle
L’´etude est men´ee dans un premier temps dans une configuration bidimensionnelle `a savoir α = β = π/2. On s’int´eresse donc `a la diffraction par un coin rigide d’angle ext´erieur φ = 2π − π/4 [Reboul et al., 2003]. Une onde plane dans la direction ϕ = 267,5◦ ´eclaire le cˆot´e gauche du coin. L’absorption atmosph´erique est n´eglig´ee (m = 0), l’amplitude de l’onde plane incidente est p0 = 1 Pa, et la fr´equence est f = 2500 Hz. Dans cet exemple, le seul point de diffraction est le sommet q du coin. L’intensit´e directe associ´ee au champ d’ondes planes s’´ecrit au point r sous la forme :
IV.3 Diffraction simple 95
o`u v est la direction d’incidence et ρ = |p0|2
2ρ0c. L’onde incidente se r´efl´echit sur la face gauche du coin selon la loi de Snell-Descartes : la m´ethode des sources images est utilis´ee pour ´evaluer l’intensit´e r´efl´echie. De cette fa¸con, celle-ci s’´ecrit sous la forme :
Irefl= Irefl.v0 = ρ, (IV.34)
o`u v0 est la direction de l’onde plane r´efl´echie, sym´etrique de la direction d’incidence par rapport `
a la normale au plan de r´eflexion. Enfin, le champ d’ondes planes est diffract´e au niveau du sommet sous la forme de rayons d’espace et de rayons de surface le long du coin d’apr`es le principe de Fermat g´en´eralis´e. Nous consid´ererons que les contributions des rayons de surface peuvent ˆetre n´eglig´ees. L’intensit´e diffract´ee en un point r dans la direction u est donn´ee par la relation :
Idif = σ(q,u)H(q,r). (IV.35)
σ est la puissance de la source fictive de diffraction introduite au point q et calcul´ee par la relation (IV.28).
Lors du calcul du champ acoustique en un point r, seules certaines contributions sont prises en compte selon la position du point, et il convient donc de d´efinir les zones d’illumination pour chaque contribution. Le champ direct n’existe que si |θ − ϕ| < π. Le champ est r´efl´echi par la face droite du coin (θ = 0) si θ < π − ϕ, et est r´efl´echi par la face gauche du coin (θ = φ) si θ > 2φ − π − ϕ. θ et ϕ sont compris entre 0 et φ. Dans le cas qui nous int´eresse, φ et ϕ sont sup´erieurs `a π. L’espace autour du coin peut donc ˆetre divis´e en trois zones (Fig. IV.10) :
– la zone I, d´efinie par θ > 2φ − π − ϕ = 182,5◦, o`u coexistent le champ direct, le champ r´efl´echi et le champ diffract´e,
– la zone II, d´efinie par θ < 2φ − π − ϕ = 182,5◦ et θ > ϕ − π = 87,5◦, o`u coexistent le champ direct et le champ diffract´e,
– la zone III d´efinie par θ < ϕ − π = 87,5◦ o`u seul le champ diffract´e existe.
Les fronti`eres d´elimitant les zones sont les fronti`eres ombre-lumi`ere : l’angle θ = 2φ − π − ϕ = 182,5◦ correspond `a la fronti`ere ombre-lumi`ere du champ r´efl´echi, et l’angle θ = ϕ − π = 87,5◦ correspond `a la fronti`ere ombre-lumi`ere du champ direct. La m´ethode du transfert radiatif est mise en œuvre pour pr´edire le champ acoustique autour du coin. Afin d’´etablir une comparaison, le mˆeme calcul est men´e `a l’aide de la TGD. Les figures IV.11(a) et IV.11(b) pr´esentent respectivement le niveau de bruit Lp autour du coin calcul´e `a l’aide de la TGD et `a l’aide de la m´ethode du transfert radiatif. La figure IV.12 pr´esente un trac´e lin´eaire de la densit´e d’´energie le long d’une ligne de contour autour du coin : ce trac´e est issu des deux pr´ec´edents calculs. La grande diff´erence entre les deux cartes de niveau de bruit est li´ee `a l’absence de franges d’interf´erences dans les zones I et II avec la m´ethode du transfert radiatif. En effet, l’hypoth`ese de d´ecorr´elation des ondes qui nous permet de sommer les contributions ´energ´etiques ne permet pas de reproduire ce ph´enom`ene. Le trac´e lin´eaire de la densit´e d’´energie nous montre que la m´ethode du transfert radiatif permet finalement de reproduire le comportement moyen du champ acoustique autour de l’objet diffractant. La TGD comme la m´ethode du transfert radiatif
q=0 q=f q=j-p j q q=2f-p-j Zone I Zone II Zone III v v’ u q r
Fig. IV.10 – Diffraction par un di`edre (2D). L’espace est divis´e en trois zones : les fronti`eres θ = 2φ − π − ϕ et θ = ϕ − π marquent respectivement les limites ombre-lumi`ere du champ r´efl´echi et du champ direct.
conduisent `a des r´esultats infinis au niveau des fronti`eres ombre-lumi`ere, ce qui se traduit par des bandes fonc´ees sur les cartes de niveau de bruit et par des divergences dans le trac´e lin´eaire de la densit´e d’´energie. En effet, nous avons vu pr´ec´edemment que le champ acoustique ne pouvait ˆ
etre d´ecrit en termes de rayons au niveau de ces zones, ce qui explique les d´eficiences des deux m´ethodes.
3.2.2 Etude tridimensionnelle
Une ´etude similaire a ´et´e r´ealis´ee dans un deuxi`eme temps dans une configuration tridimen-sionnelle. Le paragraphe 3.1 nous a permis de montrer que la solution obtenue avec la m´ethode du transfert radiatif est en accord avec celle issue de la TGD. On s’int´eresse donc `a la diffraction par un di`edre d’une onde plane incidente. L’angle ext´erieur au di`edre est toujours φ = 2π − π/4. Deux figures (Fig. IV.13(a) et (b)) sont pr´esent´ees pour illustrer d’une part le comportement du champ acoustique dans un plan perpendiculaire au di`edre, et d’autre part le comportement du champ acoustique en un point fixe en fonction de la fr´equence. Pour la premi`ere application, la direction d’incidence est ϕ = 217,5◦, β = 40◦ et la fr´equence est f = 1500 Hz. On s’int´ e-resse `a l’´evolution du niveau de bruit Lp dans un plan perpendiculaire `a l’arˆete du di`edre et `a une distance constante r = 1,5 m de l’arˆete. Pour ce cas de figure, seul un point de diffraction est `a prendre en compte et il s’agit du sommet du cˆone de Keller tel que d´efini par la TGD. Le r´esultat obtenu `a l’aide de la m´ethode du transfert radiatif est compar´e au r´esultat issu de la TGD. Les conclusions sont similaires `a celles ´etablies pour le cas bidimensionnel. Les deux approches conduisent `a des solutions non physiques au niveau des fronti`eres ombre-lumi`ere qui correspondent ici aux angles θ = 2φ − π − ϕ = 232,5◦ pour le champ r´efl´echi et θ = ϕ − π = 37,5◦ pour le champ direct, ce qui explique la divergence des deux courbes pour ces angles particuliers.
IV.4 Diffraction multiple 97
(a) (b)
Fig. IV.11 – Diffraction d’une onde plane par un di`edre d’angle au sommet π/4 (2D). Lp (dB - ref : 2.10−5Pa) autour du di`edre calcul´e par (a) la TGD et (b) la m´ethode du transfert radiatif. L’´etude est men´ee sur le tiers d’octave centr´e sur 2500 Hz.
q=0 q=f r s=0 0 5 10 15 20 25 30 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3x 10 −5
Distance normalisée le long du contour : s/λ Densité d’énergie
(W/m²)
Fig. IV.12 –Densit´e d’´energie acoustique le long d’un contour entourant le di`edre calcul´ee par la BEM (−−) et la m´ethode du transfert radiatif (−).
Pour la deuxi`eme application, le point r´ecepteur est fixe `a la position r = 1,5 m, θ = 27,5◦situ´ee dans la zone d’ombre du di`edre, et on s’int´eresse `a l’´evolution du niveau de bruit Lp en fonction de la fr´equence. La direction d’incidence est ϕ = 257,5◦, β = 40◦. Le r´esultat obtenu avec la m´ethode du transfert radiatif est identique `a celui fourni par la TGD et on retrouve par les deux approches la d´ecroissance en amplitude du champ diffract´e lorsque la fr´equence augmente.
4 Diffraction multiple
La diffraction est dite multiple lorsque les rayons sont diffract´es plusieurs fois. Ce ph´enom`ene se produit d`es lors que plusieurs points de diffraction sont pr´esents (Fig. IV.14). Prenons le cas de la diffraction par une barri`ere rectangulaire comme celle pr´esent´ee figure IV.16. Chaque
q r 0 50 100 150 200 250 300 75 80 85 90 95 100 105 110 Angle θ (deg) L p (dB − ref: 2.10−5 Pa)
Frontière champ direct Frontière champ réfléchi
(a) 0 500 1000 1500 85 90 95 100 105 110 115 Fréquence (Hz) Lp (dB − ref: 2.10−5 Pa) (b)
Fig. IV.13 –Diffraction d’une onde plane par un di`edre (3D). (a) Evolution du Lp(dB - ref : 2.10−5Pa) en fonction de l’angle θ calcul´e par la m´ethode du transfert radiatif (−) et par la TGD (− −) `a r = 1,5 m du point de diffraction sur l’arˆete du di`edre, (b) Evolution du Lp(dB - ref : 2.10−5Pa) en fonction de la fr´equence pr´edite par la m´ethode du transfert radiatif (−) et par la TGD (− −) au point r = 1,5 m, θ = 27,5◦ situ´e dans la zone d’ombre . L’´etude est men´ee sur le tiers d’octave centr´e sur 1500 Hz.
sommet de la barri`ere est un point de diffraction. Consid´erons une source ´emettant face `a cette barri`ere. Un rayon issu de cette source peut ˆetre diffract´e `a un sommet (diffraction simple), mais peut aussi se propager le long de la barri`ere pour ˆetre diffract´e au sommet suivant (diffraction double), ou encore peut parcourir plusieurs fois le chemin le long de la barri`ere avant d’ˆetre diffract´e (diffraction multiple). Finalement, de multiples trajets doivent ˆetre pris en compte pour tenir compte de toutes les contributions. La mise en œuvre de la TGD pour l’´etude de la diffraction multiple n’est pas ais´ee car elle conduit `a travailler avec des sommes infinies, que l’on peut ˆetre amen´e `a tronquer. D`es lors, le calcul perd en pr´ecision. L’objectif de cette partie est de montrer l’int´erˆet de la m´ethode du transfert radiatif pour l’´etude de la diffraction multiple. En effet, les sources introduites dans la m´ethode permettent de prendre en compte tous les ordres de diffraction simultan´ement [Reboul et al., 2004b].