Synth`ese sur l’ensemble des positionnement abord´es

La plupart des positionnements ont ´et´e d´evelopp´es pour un outil cylindrique, n´eanmoins, on peut en adapter certains au positionnement d’un outil conique [Mon01]. On peut effectuer une comparaison des diff´erents positionnements `a partir de l’erreur maximale engendr´ee.

Par d´efinition, l’erreur maximale de positionnement est la somme des erreurs maximales d’undecut et d’overcut. Les r´esultats ne peuvent ˆetre donn´es que de mani`ere quantitative

´etant donn´ee que certains positionnements ne peuvent ˆetre connus que de mani`ere num´erique.

Y Z

X Z Y

Figure 3.13 – Repr´esentation de la surface `a usiner

La comparaison des positionnements se fera `a partir de la surface suivante (figure 3.13) :

S(u, v) =









20·(2v−1)·cos (1−2u)^π₄ 37.5·(2u−1)

20·(2v−1)·sin (1−2u)^π₄









avec (u,v)∈[0,1]² (3.1)

Pour une meilleure comparaison, la r`egle `a partir de laquelle s’effectue la mise en posi-tion de l’outil est repr´esent´ee en trait gras pour chaque posiposi-tionnement test´e (figure 3.14).

Un premier test visuel indique tr`es clairement que le positionnement am´elior´e (figure 3.15) engendre la zone d’overcut la plus r´eduite. Par contre on ne peut pas encore dire grand chose de la zone d’undercut avec un simple test visuel. D’autre part, le positionnement am´elior´e

Positionnement logiciel

Positionnement standard

Positionnement Stute

Positionnement Liu

M0

M1

M2

Zone d’undercut Zone d’overcut

Figure 3.15 – Localisation des erreurs pour le positionnement am´elior´e

pr´eserve les directrices C0(u) et C1(u) de la surface r´egl´ee. Cette caract´eristique est tr`es importante, notamment dans l’optique de la discr´etisation d’une surface gauche en surfaces r´egl´ees.

Une comparaison est men´ee entre les diff´erents positionnements g´eom´etriques et le posi-tionnement « am´elior´e». Il s’av`ere que ce dernier est le plus performant : il engendre des erreurs maximales de positionnement au moins deux fois moins importantes que tous les autres positionnements. En outre, il s’ex´ecute en un temps tr`es court et peut ˆetre int´egr´e dans un logiciel de FAO. Le positionnement « logiciel » est quant `a lui, le moins perfor-mant car il cr´ee des erreurs tr`es importantes. Il est `a noter que cette ´etude ne prend pas en compte les positionnements les plus r´ecents bas´es sur des notions de cin´ematique.

En effet, il n’est pas int´eressant de comparer le positionnement [Chi04] avec les autres dans la mesure o`u il n’est pas encore abouti ; le positionnement [LDA03] quant `a lui ne peut ˆetre compar´e dans le mesure o`u une partie du raisonnement n’est pas fourni (le position-nement initial de l’outil servant de support au raisonposition-nement n’est pas fourni). Quant au positionnement «T.P.O», on peut l’apparenter au niveau du raisonnement au positionne-ment am´elior´e, `a la diff´erence pr`es que le point de rotation de l’axe est fix´e en P0=S(u,0) et que l’axe de rotation d´epend du point P1 = S(u^′,1) choisi. Aucun raisonnement n’est men´e sur le choix du point et de l’axe de rotation, on verra ult´erieurement lors de l’´etude du positionnement am´elior´e que le choix deP0 =S(u,0) comme point de rotation n’est pas optimal du point de vue de l’erreur engendr´ee.

En cons´equence, on peut classer les diff´erents positionnements g´eom´etriques test´es d’un

point de vue erreur d’interf´erence de la mani`ere suivante :

«logiciel»< «Liu»< «Stute»< «standard»< «T.P.O»< «am´elior´e» Le crit`ere retenu pour classer les positionements est uniquement celui de l’erreur engendr´ee.

En ´elargissant le champ d’application de ces positionements aux surfaces gauches discr´etis´ees en surfaces r´egl´ees, on peut remarquer que le positionement am´elior´e reste le plus int´eressant dans la mesure o`u, contrairement aux autres, il assure la tangence avec les directrices de la surface r´egl´ee. Cette propri´et´e est essentielle dans le cadre de l’usinage de surfaces gauches discr´etis´ees en surfaces r´egl´ees.

Usinage en roulant

Notations

S(u, v) : surface r´egl´ee, P0P1 : r`egle consid´er´ee,

up : param`etre u de la surface correspondant `a la r`egleP0P1, P2 : milieu de la r`egle consid´er´ee (v = 0.5),

C0(u), C1(u) : directrices de la surface,

N0, N1 : normales unitaires aux extr´emit´es de la r`egle respectivement en P0

et P1,

T0,T1 : tangentes unitaires aux courbes C0(u), C1(u) en P0 et P1,

α= (N0,N1) : angle entre les normales aux extr´emit´es de la r`egle appel´e «vrille», N(u, v) : normale unitaire `a la surface,

R : rayon outil,

4.1 Introduction

Ce chapitre va se concentrer sur l’usinage en roulant des surfaces r´egl´ees non d´eveloppables

`a l’aide d’un outil cylindrique ou conique. Ce travail trouve des applications directes dans le domaine de l’usinage des aubes de turbines produites sur des Machines Outil `a Commande Num´erique `a cinq axes.

Lors de l’usinage des pi`eces, il faut limiter les interf´erences entre l’outil et la surface `a usi-ner. Ceci est d’autant plus facile que les dimensions de l’outil sont petites. Mais, en diminuant

le rayon outil, on risque d’ˆetre confront´e `a des probl`emes de flexion non n´egligeables, fonc-tions de la longueur d’outil en prise et des efforts provoqu´es par la coupe. L’int´erˆet n’´etant pas de diminuer la longueur de l’outil en prise et les efforts de coupe pour garder un certain niveau de productivit´e, il faut choisir un outil ayant un rayon suffisant vis `a vis du probl`eme de flexion. Ainsi, nous arrivons `a un paradoxe : en diminuant le rayon de l’outil on limite les probl`emes d’interf´erence source d’erreurs d’usinage, mais on augmente simultan´ement l’amplitude du mouvement de flexion de l’outil qui est lui-aussi source d’erreur.

Cette probl´ematique a ´et´e ´etudi´ee par de nombreux chercheurs comme on a pu le voir dans le chapitre pr´ec´edent. Le «positionnement am´elior´e» d´evelopp´e au Laboratoire de G´enie M´ecanique de Toulouse [MFR⁺02], est, parmi les positionnements g´eom´etriques les plus performants. Dans ce chapitre, nous nous sommes pos´es les questions suivantes : est-il possible d’am´eliorer ce positionnement et est-il possible de quantifier son efficacit´e d’un point de vue cin´ematique ?

L’´etude du positionnement am´elior´e est effectu´ee `a partir de consid´erations g´eom´etriques en supposant que les points de tangence entre l’outil et la surface th´eorique aux extr´emit´es de la r`egle sont ceux qui g´en´ereront la surface usin´ee. Or la trace laiss´ee par l’outil dans la mati`ere est donn´ee par les points de l’outil qui ont une vitesse d’avance perpendiculaire `a la normale `a la surface de l’outil, ces points forment la «courbe enveloppe» et appartiennent

`a la surface enveloppe. La courbe enveloppe ne peut ˆetre d´efinie qu’`a partir du moment o`u la trajectoire de l’outil est connue, ´etant donn´e que sans trajectoire le mouvement de l’outil ne peut ˆetre d´efini et la vitesse des points de l’outil ne peut pas ˆetre calcul´ee. On ne peut donc pas faire l’´etude du posage de la surface enveloppe sur la surface th´eorique de la pi`ece car elle n’est d´efinie qu’apr`es le calcul de la trajectoire de l’outil. C’est pour cette raison que nombre des positionnements pr´esent´es dans le chapitre pr´ec´edent sont issus d’´etudes g´eom´etriques entre l’outil et la surface.

Dans ce chapitre, apr`es avoir bri`evement rappel´e les principales ´etapes du positionnement am´elior´e, nous allons en ´etudier diff´erents aspects. Cette ´etude est principalement men´ee pour un outil cylindrique :

– dans un premier temps, nous ´etudions l’aspect cin´ematique du positionnement am´elior´e : apr`es avoir calcul´e la surface enveloppe, nous regardons la position des points ca-ract´eristiques M0, M1 et M2 par rapport `a celle-ci et calculons l’erreur th´eorique engendr´ee. L’usinage d’une pi`ece test vient ensuite conclure cette ´etude,

– dans un second temps nous allons analyser les param`etres du positionnement am´elior´e dans le but de diminuer l’erreur engendr´ee : l’axe N2, d´efini `a partir de N0 et N1, est l’axe de rotation de l’outil utilis´e lors du positionnement am´elior´e et a ´et´e impos´e

sans connaˆıtre l’influence qu’il pouvait avoir sur l’erreur. Nous nous int´eresserons donc au choix de cet axe et nous quantifierons son influence. Dans la mesure o`u l’axe de rotation de l’outil est d´esormais variable, nous n’utiliserons plus la notation pr´ec´edente N2, nous l’appellerons d´esormais y2 ,

– dans un troisi`eme temps nous nous int´eressons au choix du rayon optimal de l’outil en analysant la relation entre l’erreur d’usinage et le rayon de l’outil.

– `a partir des relations obtenues dans l’´etude pr´ec´edente, nous mettons en place des outils de pr´edictions de l’erreur qui permettent ensuite de choisir un positionnement pour un outil conique.

– dans un dernier temps, en reprenant l’id´ee d´evelopp´ee par [GXL05], nous appliquerons le positionnement am´elior´e `a la surface offset et regarderons si ce nouveau positionne-ment am`ene des performances int´eressantes.