D´etermination de la hauteur de crˆete

Lors de l’usinage d’une surface plane, on peut facilement trouver `a l’aide d’un calcul alg´ebrique, la relation qui existe entre la hauteur de crˆete et le pas transversal. Par contre, dans le cas d’une surface gauche, trouver cette mˆeme relation par des calculs alg´ebriques est impossible. Deux solutions sont alors envisageables : soit on effectue des approximations sur la g´eom´etrie de l’outil et/ou de la surface, on peut alors mener un calcul alg´ebrique ; soit on ne fait aucune approximation, il faut alors mettre en place un calcul num´erique.

Dans le cas de surfaces gauches, de nombreuses ´etudes consid`erent la courbure ρ de la surface localement constante dans un plan normal `a la direction d’usinage. Ainsi, en faisant

cette hypoth`ese, [WBI96] donne plusieurs expressions de la hauteur de crˆete, pour un outil `a bout sph´erique, suivant que la surface soit concave ou convexe.[VQ89] en fait de mˆeme pour un outil `a bout plat inclin´e d’un angle α dans la direction de l’usinage. Dans [WY02], le raisonnement est men´e avec un outil `a bout torique pour de l’usinage en 3 axes. L`a encore, il s’agit de calculs alg´ebriques bas´es sur des intersections de surfaces (figure 1.19).

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Figure 1.19 – Calcul de la hauteur de crˆete pour un outil torique en 3 axes

D’autres ´etudes ont ´et´e men´ees et ont montr´e la possibilit´e d’´evaluer la hauteur de crˆete par une approche alg´ebrique. Mais il ne faut pas n´egliger le fait que ces ´etudes s’appuient sur des hypoth`eses qui ne sont pas toujours valides : courbure constante, g´eom´etrie d’outil approxim´ee, ´etudes planes. De plus, dans la plupart des ´etudes, les directions d’usinage des deux trajectoires adjacentes sont consid´er´ees localement parall`eles lorsqu’on met en place le calcul de la hauteur de crˆete, ceci par un souci de simplification.

L’utilisation de ces approximations dans le cadre des m´ethodes alg´ebriques ont men´e certains auteurs `a s’int´eresser `a des m´ethodes num´eriques (m´ethode de Newton-Raphson par exemple) [Red99]. L`a-aussi, les calculs sont men´es `a partir d’intersections de surfaces : on choisit un outil, un positionnement, une surface nominale, deux trajectoires cons´ecutives et un pas transversal. On peut ainsi en d´eduire la hauteur de crˆete r´esultante entre les deux trajectoires en s’int´eressant aux intersections de l’outil dans deux positions adjacentes donn´ees (figure 1.18). Ces m´ethodes pr´esentent n´eanmoins un inconv´enient majeur : les calculs ne peuvent pas ˆetre invers´es : on peut calculer la hauteur de crˆete `a partir du pas transversal et des donn´ees sur l’outil et la surface, mais, `a l’inverse, pour une tol´erance donn´ee, et donc une hauteur de crˆete fix´ee, on ne pourra pas en d´eduire la valeur du pas transversal.

Une autre id´ee qui a ´et´e d´evelopp´ee dans la litt´erature est celle de la «surface enve-loppe». La surface enveloppe de l’outil est la surface g´en´er´ee par l’outil sur la pi`ece lors de l’usinage le long d’une trajectoire. La d´etermination de cette surface peut s’av´erer simple

dans certains cas, mais beaucoup plus complexe dans d’autres. Par exemple, pour un outil

`a bout sph´erique, il sera tr`es facile de d´eterminer la surface enveloppe puisqu’il s’agit de la demi surface tubulaire g´en´er´ee par une sph`ere dont le rayon est celui de l’outil et dont la g´en´eratrice est la trajectoire des points centre-outils CL. Par contre, trouver la surface enveloppe g´en´er´ee par un outil `a bout torique est un probl`eme beaucoup plus complexe.

Dans [RBIM01] et [MB02], une m´ethode de calcul est mise en place pour ´evaluer la surface enveloppe de l’outil lors d’un usinage en 5 axes avec un outil torique. Le raisonnement men´e est le suivant : le tore est tout d’abord discr´etis´e en utilisant un nombre fini de cercles tous coplanaires `a l’axe de rotation de l’outil (figure 1.20).

Figure 1.20 – Mod´elisation de l’outil torique [MB02]

Les intersections entre le tore et les diff´erents plans (cercles coplanaires) repr´esentent des plaquettes «virtuelles». Le nombre de plans qu’il faut mettre en place d´epend du compromis pr´ecision/temps de calculs : plus le nombre de plans augmente, plus la pr´ecision des r´esultats obtenus sera importante, mais les temps de calculs augmenteront d’autant. Pour chacune des plaquettes virtuelles, on va chercher le point g´en´erateur de la plaquette. Pour cela la d´efinition utilis´ee est la suivante : le point g´en´erateur de la plaquette virtuelle est celui qui a un d´eplacement (d´eplacement cr´e´e par la vitesse d’avance et par la vitesse de rotation de l’outil) parall`ele `a la vitesse d’avance de l’outil. Ainsi, pour chaque position de l’outil on va pouvoir identifier les diff´erents points qui usinent effectivement.

La suite de la m´ethode est une phase d’interpolation o`u l’on va, dans un premier temps, construire la courbe qui passe par l’ensemble des points g´en´erateurs pour une position donn´ee de l’outil, la courbe obtenue est la courbe enveloppe de l’outil pour la position donn´ee. Dans un second temps, en effectuant une interpolation entre l’ensemble des courbes enveloppes obtenues, on obtient la surface enveloppe de l’outil lorsqu’il parcourt la trajectoire d’usinage.

A partir de la surface enveloppe, la hauteur de crˆete peut ˆetre calcul´ee. Mais cette aspect des calculs n’est pas pr´esent´e dans l’article. Cette m´ethode est n´eanmoins int´eressante dans

la mesure o`u la qualit´e des r´esultats trouv´es et les temps de calcul n´ecessaires peuvent ˆetre influenc´es par le nombre de plaquettes virtuelles utilis´ees et peuvent donc ˆetre maˆıtris´es.