3.2.1.1 G´en´eralit´es
Une surface compos´ee par une famille de lignes droites est appel´ee«surface r´egl´ee»[QD87], [PPR99]. Elle est engendr´ee par le d´eplacement d’une droite, appel´ee«r`egle»ou«g´en´eratrice», s’appuyant sur deux courbes C0(u) et C1(u) appel´ees «directrices».
Les surfaces r´egl´ees sont souvent utilis´ees pour le dessin de surfaces fonctionnelles en ing´enierie m´ecanique. Elles r´epondent au probl`eme suivant : ´etant donn´e deux courbesC0(u) etC1(u) dans l’espace d´efinies sur le mˆeme intervalle de param´etrage u∈[0,1], trouver une surface S qui contienne les deux courbes comme courbes fronti`eres «oppos´ees», ce qui se traduit math´ematiquement par :
S(u,0) =C0(u) , S(u,1) =C1(u)
On retiendra le mod`ele suivant pour exprimer une surface r´egl´ee :
S(u, v) = (1−v)·C0(u) +v·C1(u) (u, v)∈[0,1]2
Les surfaces r´egl´ees pr´esentent la propri´et´e suivante : chaque ligne isoparam´etrique (pa-ram`etre u constant), appel´ee r`egle, est un segment de ligne droite (figure 3.2). Une autre propri´et´e importante des surfaces r´egl´ees est qu’il y a peu de restriction sur les courbes di-rectrices, il suffit qu’elles soient d´efinies sur le mˆeme intervalle de param`etre. L’intervalle [0,1] est retenu, mais tout autre intervalle peut convenir : un simple changement de variable permet de passer de l’un `a l’autre. Par exemple, une des courbes en entr´ee peut ˆetre une courbe polynomiale cubique, l’autre une courbe de B´ezier ou une B-spline.
u v
S(u, v)
C0(u) =S(u,0) C1(u) =S(u,1)
•
•
P0
P1
N0
N1
isoparam´etrique (u=cste)
Figure 3.2 – D´efinition d’une surface r´egl´ee
Cette d´efinition de surface est tr`es utilis´ee dans la mod´elisation de pi`eces issues de l’in-dustrie a´eronautique, navale ou automobile et en particulier pour les aubes de turbine qui sont des pi`eces `a tr`es forte valeur ajout´ee. On distingue deux types de surfaces r´egl´ees : les surfaces d´eveloppables et les surfaces non d´eveloppables.
3.2.1.2 Surfaces r´egl´ees d´eveloppables
Par d´efinition, une surface est d´eveloppable si sa courbure gaussienne K est nulle et sa courbure moyenne H non nulle, en tout point. En appliquant cette d´efinition aux ´equations caract´eristiques pr´ec´edentes, nous pouvons ´ecrire :
«En consid´erantNla normale `a la surface en un point quelconque et Suv la d´eriv´ee seconde deS(u, v) par rapport aux param`etres uetv, on peut dire que S(u, v) est une surface r´egl´ee d´eveloppable si et seulement si N·Suv= 0 est v´erifi´ee en tout point de la surface».
Dans ce cas, la vrille est nulle en toute position de r`egle sur la surface : α= 0.
3.2.1.3 Surfaces r´egl´ees non d´eveloppables
Nous nous int´eressons uniquement `a ces surfaces par la suite. Elles peuvent ˆetre ca-ract´eris´ees par l’une des propri´et´es d´efinies ci-dessous :
– les surfaces r´egl´ees non d´eveloppables ont une vrille non nulle : α6= 0, – tous les points situ´es sur une r`egle donn´ee n’ont pas le mˆeme plan tangent, – la courbure gaussienne des surfaces r´egl´ees est n´egative.
3.2.2 Probl´ ematique : Usinage des surfaces r´ egl´ ees non d´ eveloppables
Le positionnement de l’outil (cylindrique ou conique) pour l’usinage en roulant d’une surface r´egl´ee non d´eveloppable engendre une interf´erence in´evitable : l’existence de la vrille implique qu’il est impossible d’usiner parfaitement la pi`ece avec un outil de diam`etre non nul.
Il est alors int´eressant de rechercher le positionnement provoquant l’interf´erence minimale, pour utiliser les outils de plus grandes sections qui permettent de respecter la tol´erance de forme de la surface et qui offrent une rigidit´e maximale et un d´ebit maximal de mati`ere.
L’usinage en roulant de pi`eces pr´esentant ce type de surfaces, n´ecessite l’utilisation de machines-outils `a commande num´erique cinq axes, pour pouvoir orienter l’outil et respecter chaque positionnement.
Dans la litt´erature, les interf´erences engendr´ees par l’usinage en roulant de surfaces r´egl´ees non d´eveloppables ont ´et´e calcul´ees de deux mani`eres diff´erentes : une m´ethode dite
«g´eom´etrique»et une autre dite «cin´ematique». La m´ethode g´eom´etrique est d´efinie de la mani`ere suivante : pour une configuration outil-pi`ece donn´ee, l’interf´erence maximale g´en´er´ee par l’outil peut ˆetre calcul´ee g´eom´etriquement en consid´erant la position de l’outil relative-ment `a la surface. Cependant, lors d’un processus d’usinage, l’outil est en mouverelative-ment, il faut alors consid´erer les points g´en´erateurs de l’outil pour pouvoir d´eterminer l’interf´erence maxi-male engendr´ee sur la surface. On parle alors d’erreur cin´ematique. Ces deux m´ethodes de cal-cul conduisent `a des r´esultats diff´erents et caract´erisent les diff´erentes approches d´evelopp´ees dans les ´etudes de positionnement de l’outil visant `a minimiser l’interf´erence engendr´ee.
On distingue deux types d’interf´erences engendr´ees par l’outil (figure 3.3) : – l’outil a enlev´e trop de mati`ere : erreur d’overcut
undercut overcut
Figure 3.3 – Undercut et overcut
– l’outil a laiss´e trop de mati`ere : erreur d’undercut
Nous appelons erreur la distance ε entre un point de la surface th´eorique S(u, v) et un point de la surface usin´ee Si(u, v) suivant la normale n(u, v) au point de S(u, v) :
S(u, v) +ε·n(u, v) =Si(u, v)
Cette d´efinition de l’erreur correspond `a la d´efinition du tol´erancement par une sp´ecification de forme d’une surface quelconque. Une surface usin´ee sera alors consid´er´ee dans la tol´erance si la somme des erreurs maximales d’undercut et d’overcut (en valeur absolue) est inf´erieure
`a la tol´erance de forme impos´ee.
Il est alors int´eressant de chercher le positionnement susceptible de provoquer l’interf´erence minimale. Voici maintenant les principaux mod`eles de positionnement de l’outil appliqu´es `a l’usinage en roulant de surfaces r´egl´ees non d´eveloppables.