4.4 Choix de l’axe y 2 pour le positionnement am´elior´e
4.4.1 Estimation de l’orientation de l’axe y 2 permettant d’avoir le point M 2
4.4.1.1 Remarque sur l’´etude
Nous aurions pu chercher `a d´efinir le nouveau positionnement en imposant la position du point M2 en un lieu pr´ecis de la r`egle. Le probl`eme se traduit math´ematiquement de la mani`ere suivante :
L’axey2 = k(1−a)·N(1−a)·N00+a·N+a·N11k est une inconnue et fonction deaǫ[0,1]. Les 6 ´equations traduisant la tangence en M0 et M1 sont inchang´ees. L’´equationh0+h1 =hP est d`es le d´epart valid´ee par le choix du point M2. Nous nous retrouvons donc avec un syst`eme de 6 ´equations `a 6 inconnues u0,u1,δ0, δ1, γ et a.
Cette r´esolution, cod´ee sous Maple, est un peu plus complexe car les matrices de rotation ne sont pas connues. L’int´erˆet d’un tel algorithme est d’imposer le point de rotation M2 en un point particulier de la r`egle. Bien que le code d´evelopp´e fonctionne, nous avons pr´ef´er´e utiliser le code existant o`u seul l’axey2 peut ˆetre impos´e, ceci pour des raisons de robustesses et de fiabilit´e.
La r´eflexion que nous avons alors eu a ´et´e la suivante : sommes nous en mesure de choisir la position de M2 qui va minimiser l’erreur ? Par rapport `a cette r´eflexion, il nous a sembl´e que la r´eponse `a cette question ´etait de positionner M2 en P2. Ainsi, l’interˆet de l’algorithme permettant de choisir le positionnement exact du point M2 n’est plus aussi
´evident. A partir de ce constat nous avons pr´ef´er´e faire une ´etude sur l’orientation de l’axe y2 que nous indiquerions au positionnement am´elior´e qui est d´ej`a programm´e.
4.4.1.2 Calcul pr´eliminaire
Pour mener ce raisonnement, on d´efinit le rep`ere suivant : R (O0, X = Y ∧Z, Y, Z = kPP0P1
0P1k) (figure 4.14). Le choix du vecteur Y sera d´efini ult´erieurement. L’outil est mis
dans la position initiale suivante : l’axe de l’outil est confondu avec la r`egle P0P1, puis il est translat´e suivant l’axe Y du rayon R. L’´etude que nous allons mener se situe au niveau de la directrice C0(u), elle sera identique pour la directrice C1(u). A partir du positionnement initial, l’outil est en overcut avec les deux directrices. Nous consid´erons les rayons de courbure des directrices C0(u) et C1(u), not´es respectivement ρ0 et ρ1, localement constants.
Z O0
Y
X N0
P0P1
O′P0 OP0
∆0
R
outil en position initiale position outil apr´es rotation
ρ0
Φ0
α0
Figure 4.14 – Sch´ema du mouvement des extr´emit´es de l’outil
Analysons le point suivant : si suite au positionnement am´elior´e (rotation de l’outil autour de Y), le point de rotation M2 est situ´e au milieu de la r`egle, les d´eplacements des points centre-outil OP0 et OP1 respectivement dans les plans Π0 et Π1 seront tr`es proches. Ceci est vrai car les plans Π0 et Π1 sont angulairement proches et l’angle de rotation γ faible.
R´eciproquement si les points centre-outil se d´eplacent d’une mˆeme valeur dans les plans Π0
et Π1, l’outil tournera autour d’un point proche du milieu de la r`egle. A partir de ce constat nous allons ´etudier le d´eplacement d’un cercle de rayon R (correspondant `a une section de l’outil dans le plan Π0) afin de le positionner tangent `a la directrice. L’approximation r´ealis´ee (on ne consid`ere pas une ellipse) ne perturbe pas le r´esultat car celle-ci est faite pour les deux directrices.
Notons OP0 le centre du cercle en position initiale d´efini par α0=(N0,Y). On d´eplace le point OP0 de ∆0 suivant l’axe X jusqu’`a ce que le cercle soit tangent `a la directrice. La
position du centre du cercle est alors not´ee O′P0 et est rep´er´ee par l’angle Φ0.
On exprime les coordonn´ees des deux positions successives des centres OP0 etO′P0 : O0OP0
( x0 =ρ0·sin(α0)
y0 =ρ0 ·cos(α0) +R O0O′P0
(x′0 = (R+ρ0)·cos(Φ0)
y0′ = (R+ρ0)·sin(Φ0) (4.28) On a ´egalement les relations suivantes :
(x′0 =x0+ ∆0
y′0 =y0
(4.29) dont on d´eduit :
( sin(Φ0) = ρ0·cos(αR+ρ0)+R
0
∆0 =−ρ0·sin(α0) + (R+ρ0)·cos(Φ0) (4.30) 4.4.1.3 Application sur la surface dans le cas g´en´eral
La d´emarche men´ee lors des calculs pr´eliminaires est appliqu´ee aux niveau des deux directricesC0(u) etC1(u) afin d’´evaluer l’orientation de l’axe y2 qui conduit `a un pointM2
centr´e sur la r`egle (figure 4.15). Le raisonnement men´e est le suivant : lorsque l’outil tourne autour de l’axe y2 avec une amplitude γ, les deux points OP0 et OP1 appartenant `a l’axe outil se d´eplacent respectivement de ∆0 et ∆1. Le point OP0 se d´eplace en O′P0 et le point OP1 en O′P1. Les positions initiales des points OP0 etOP1, param´etr´ees respectivement par les angles α0 et α1, sont alors cherch´ees de telle sorte que les d´eplacements de points OP0
et OP1 soient identiques. On remarque que l’axe Y ´evoqu´e lors des calculs pr´eliminaires correspond en r´ealit´e `a l’axe y2 recherch´e.
Le d´eplacement ∆0 qui permet de passer du pointOP0 au pointO′P0 est donn´e par l’´equation 4.30. Le d´eplacement ∆1 du pointOP1 le long de l’axeX se calcule de la mˆeme mani`ere que
∆0. On exprime les coordonn´ees des deux positions successives des centresOP1 etO′P1 dans le rep`ere (O1, X, Y=y2, Z) :
O1OP1
( x1 =−ρ1·sin(α1)
y1 =ρ1 ·cos(α1) +R O1O′P1
(x′1 = (R+ρ1)·cos(Φ1)
y1′ = (R+ρ1)·sin(Φ1) (4.31) On a ´egalement les relations suivantes :
(x′1 =x1 −∆1
y′1 =y1 (4.32)
dont on d´eduit :
( sin(Φ1) = ρ1·cos(αR+ρ1)+R
1
∆1 =−ρ1 ·sin(α1)−(R+ρ1)·cos(Φ1) (4.33)
L’orientation de l’axe y2 est obtenue en r´esolvant le syst`eme suivant : ( ∆0 = ∆1
α0+α1 =α (4.34)
OP0 X
Y C0(u)
N0
α0
ρ0
OP1 X Y
C1(u) N1
α1 ρ1
Y=y2
OP0 =OP1
∆0
∆1
O′P1 O′P0
Φ0
Φ1
Figure 4.15 – Recherche de l’axey2 initial correspondant au positionnement am´elior´e centr´e
4.4.1.4 Application sur la surface dans le cas d’une directrice `a courbure nulle L’algorithme d´evelopp´e dans le paragraphe pr´ec´edent est valable tant que les directrices C0(u) et C1(u) sont des courbes. D`es lors qu’une des directrices devient une droite, son rayon de courbure est infini et les relations obtenues pr´ec´edemment ne peuvent plus ˆetre exploit´ees.
Consid´erons la directriceC0(u) avec un rayon de courbure infini. Nous recherchons le d´eplacement
∆0(figure 4.16) qui positionne le cercle tangent `a la droite. Dans cette nouvelle configuration, nous avons :
cos(α0) = R−ε
R et sin(α0) = ∆0
ε d’o`u :
∆0 = R·(1−cos(α0)) sin(α0)
Cette relation sera `a prendre en compte si la courbure est nulle.
y2
Figure 4.16 – Recherche de l’axe y2 initial dans le cas d’une directrice droite