Stabilit´ e des syst` emes LTI
4.2 La stabilit´ e interne
4.2.1 D´ efinitions
Cette notion est tr`es intimement li´ee `a celle d’´etat, de trajectoires d’´etat et de point d’´equilibre. On doit donc toujours parler en toute rigueur de la stabilit´e d’un point d’´equilibre ou de la stabilit´e des trajectoires et non de la stabilit´e d’un syst`eme.
D´efinition 4.2.1 (Etat d’´equilibre)
Un point xe de la trajectoire d’´etat d’un syst`eme dynamique est un ´etat d’´equilibre si x(t0) =xe ⇔ x(t) =xe t ≥ t0 (4.10) en l’absence de commande et de perturbations.
Pour un syst`eme dynamique de repr´esentation d’´etat ˙x(t) =f(t, x(t), u(t)), les points d’´equilibre sont les solutions de l’´equation alg´ebrique :
0 =f(t, x(t),0) ∀t ≥0 (4.11)
Pour un syst`eme autonome, on a alors :
0 =f(x(t),0) (4.12)
Dans le cas o`u f est une fonction non lin´eaire quelconque, il est clair que l’on peut avoir un nombre arbitraire de points d’´equilibre. Il est `a noter qu’un point d’´equilibre quelconque peut toujours ˆetre transf´er´e `a l’origine par le changement de variables d’´etat X =x−xe. Le cas des syst`emes LTI est particuli`erement remarquable.
Th´eor`eme 4.2.1
Un syst`eme continu LTI d’´equation dynamique d’´etat autonome (en r´egime libre) ˙x(t) = Ax(t) peut avoir,
- un point d’´equilibre unique qui est l’origine de l’espace d’´etatx= 0 siAest inversible - une infinit´e de points d’´equilibre si A n’est pas inversible
Intuitivement, la question de la stabilit´e d’un point d’´equilibre peut se poser en ces termes. Si `a un instant t0, l’´etat est perturb´e de l’´etat d’´equilibre xe, est-ce que la trajec-toire d’´etat retourne en xe ou diverge-t-elle ?
Il est n´ecessaire de formaliser math´ematiquement les r´eponses `a cette question afin qu’elles soient g´en´eralisables. Soit un syst`eme donn´e par son ´equation d’´etat ˙x(t) = f(x(t)), x0 =x(0).
D´efinition 4.2.2 (Stabilit´e-instabilit´e au sens de Lyapunov) L’´etat d’´equilibre xe est dit stable au sens de Lyapunov si
∀ǫ >0, ∃ α >0 tel que si ||x(0)−xe||< α alors ||x(t)−xe||< ǫ ∀ t≥0 (4.13) Dans le cas contraire, xe est dit instable.
La stabilit´e au sens de Lyapunov est ´egalement d´efinie comme la stabilit´e interne.
Elle signifie que la trajectoire d’´etat peut ˆetre gard´ee arbitrairement pr`es de xe, si l’on prend une condition initiale suffisamment proche de xe (voir figure 4.1).
x
x
t x(t,x )
1
2 x0
xe
ε +α
− α
− ε
0
Figure 4.1 – Stabilit´e au sens de Lyapunov
D´efinition 4.2.3 (Stabilit´e asymptotique)
Un point d’´equilibre xe est asymptotiquement stable s’il est stable et
∃ α >0 tel que ||x(0)−xe||< α⇒ lim
t→+∞x(t) =xe (4.14) La stabilit´e asymptotique signifie que l’´equilibre est stable et que l’on est capable de d´eterminer un voisinage du point d’´equilibre tel que n’importe quelle trajectoire issue d’un x0 appartenant `a un voisinage de xe tend vers xe quand t→+∞.
D´efinition 4.2.4 (Stabilit´e exponentielle)
Un point d’´equilibre xe est exponentiellement stable s’il existe α >0 et λ >0 tels que :
∀t >0 , ∃ Br(xe, r) , ∀ x0 ∈ Br , ||x(t)−xe|| ≤α||x(0)−xe||e−λt (4.15) o`u Br est une boule ferm´ee dans Rn d´efinie comme l’ensemble :
Br ={x ∈Rn /||x|| ≤r} (4.16) Cela signifie que le vecteur d’´etat, pour une condition initiale x0 ∈ Br converge vers xe plus rapidement qu’une fonction exponentielle. λ est appel´e le taux de convergence.
D’autre part, la stabilit´e exponentielle implique la stabilit´e asymptotique qui implique la stabilit´e.
D´efinition 4.2.5 (Stabilit´e globale)
Si la propri´et´e de stabilit´e asymptotique (exponentielle) est v´erifi´ee quelle que soitx(0), le point d’´equilibre est globalement asymptotiquement (exponentiellement) stable.
Ces concepts de stabilit´e d’un point d’´equilibre peuvent ˆetre illustr´es sur la figure 4.2. La position A correspond `a un point d’´equilibre instable, la position B `a un point d’´equilibre stable et la position C `a une position d’´equilibre asymptotiquement stable.
A
B
C
Figure 4.2 – Stabilit´e de l’´equilibre d’une bille Remarques 4.2.1
Mˆeme si la notion de stabilit´e au sens de Lyapunov a ´et´e pr´esent´ee dans le cadre de la repr´esentation d’´etat des syst`emes, c’est une propri´et´e qualitative intrins`eque du syst`eme que l’on pourra ´egalement ´etudier `a partir d’une repr´esentation du type entr´ee-sortie.
4.2.2 Crit` eres de stabilit´ e interne des mod` eles LTI
Soit le syst`eme autonome de mod`ele LTI d’´etat :
˙
x(t) =Ax(t) +Bu(t) (4.17)
La caract´erisation de la stabilit´e interne se fait `a partir de la matrice dynamiqueA et de ses valeurs propres.
Th´eor`eme 4.2.2
Pour le syst`eme (4.17), poss´edant r valeurs propres distinctes (r pˆoles) p1,· · · , pr, on suppose que xe = 0 est un point d’´equilibre.
- Si un des pˆoles du syst`eme est instable, Re(pj) > 0, pour j ∈ {1,· · · , r}, alors xe
est un point d’´equilibre instable.
- Si toutes les valeurs propres de A ont une partie r´eelle non positive, Re(pj) ≤ 0, pour tout j ∈ {1,· · ·, r}, alors,
1- si Re(pj)<0, pour tout j ∈ {1,· · · , r}, alorsxe est un point d’´equilibre asymp-totiquement stable.
2- si un pˆole est tel que Re(pj) = 0, pour j ∈ {1,· · · , r}, et la multiplicit´e est 1 alors xe est un point d’´equilibre stable marginalement.
3- si un pˆole est tel que Re(pj) = 0, pour j ∈ {1,· · · , r}, et la multiplicit´e est sup´erieur `a 1 alors,
(a) si les blocs de Jordan associ´es `apjsont scalaires alorsxeest un point d’´equilibre stable marginalement.
(b) si un des blocs de Jordan associ´e `a pj est non scalaire, alors xe est un point d’´equilibre instable.
Remarques 4.2.2
La stabilit´e interne de (4.17) peut ˆetre d´etermin´ee `a l’aide du crit`ere de Routh-Hurwitz que l’on applique au polynˆome caract´eristique πp(p) = det(p1−A).
Exemple 4.2.1
Soient les syst`emes autonomes dont le mod`ele d’´etat LTI est donn´e par la matrice dyna-mique A.
−0.6667 −0.6667 0.3333 1.3333 1.3333 −0.6667
>> A2=[-1.6667 0.6667 3;-1.6667 -2.3333 0;-0.6667 0.6667 2];
>> eig(A2) ans =
-1.9999
-1.0000 0.9999
>> A3=[-2.3333 1.3333 3;-1.3333 -2.6667 0;-1.3333 1.3333 2];
>> eig(A3) ans =
0.0000 -1.0000 -2.0001
>> A4=[0 0 0;0 0 0;1 0 -1];
>> eig(A4) ans =
-1 0 0
>> A5=[0.3333 1.3333 0.3333;-0.6667 -0.6667 0.3333;1.3333 1.3333 -0.6667];
>> [V,S]=eig(A5) V =
0.6667 0.2182 -0.6667 -0.3333 -0.4364 0.3333 0.6667 0.8729 -0.6667
S =
0 0 0
0 -1.0000 0
0 0 -0.0000
4.2.3 Stabilit´ e BIBO et stabilit´ e interne
Pour les mod`eles LTI, il est possible sous les hypoth`eses de r´ealisation d’´etat minimale d’´etablir un lien entre stabilit´e BIBO et stabilit´e asymptotique. Pour une r´ealisation d’´eta minimale, la stabilit´e BIBO est ´equivalente `a la stabilit´e asymptotique.
Th´eor`eme 4.2.3
Pour un mod`ele dynamique LTI commandable et observable d´ecrit par sa fonction de transfert ou sa r´ealisation d’´etat minimale,
G(p) :=
A B C D
les propositions suivantes sont ´equivalentes :
1- Le syst`eme est BIBO-stable.
2- 0 est un point d’´equilibre asymptotiquement stable pour le syst`eme autonome.
3- Tous les pˆoles de la fonction de transfert H(p) sont `a partie r´eelle strictement n´egative.
4- Toutes les valeurs propres de A sont `a partie r´eelle strictement n´egative.