R´ eponse fr´ equentielle des syst` emes LTI
6.2 Repr´ esentation graphique de la r´ eponse fr´ equentielle
6.2.2 Le lieu de Bode
D´efinition
Le lieu de Bode comprend deux trac´es distincts. Le premier repr´esente l’´evolution du module de la r´eponse fr´equentielle en d´ecibels (20Log10(|G(jω)|)) en fonction de la
pulsation ω en rad/s. Le deuxi`eme repr´esente la phase (φ(ω)) en degr´es en fonction de la pulsation ω en rad/s.
D´efinition 6.2.2 (Octave et d´ecade)
Du fait de l’utilisation de l’´echelle logarithmique pour l’axe des pulsations, les plages de pulsations sont usuellement exprim´ees en termes d’octave et de d´ecade. Une octave est une bande de pulsations comprises entre ω1 et 2ω1 alors qu’une d´ecade est une bande de pulsations entre ω1 et 10ω1 pourω1, pulsation quelconque.
Biographie 10 (Hendrik Bode)
Hendrik Bode est n´e en 1905 sur la route de Madison dans le Wisconsin. Il est all´e `a l’´ecole `a Urbana dans l’Illinois et obtient un diplˆome de l’universit´e d’´etat de l’Ohio en 1926. Il entre aux laboratoires de Bell Telephone comme math´ematicien.
Pendant ses premi`eres ann´ees aux laboratoires Bell, Bode d´eveloppe une th´eorie des r´eseaux ´electriques avec des fondations rigoureuses. Cela com-prend en particulier des extensions du travail de Nyquist sur les amplifi-cateurs `a contre-r´eaction pour l’am´elioration des communications longues distances. Alors qu’il travaille chez Bell, il obtient son Ph. D de l’univer-sit´e de Columbia en 1935. Il d´efinit ”le plan de Bode” afin de tracer les
repr´esentations fr´equentielles des filtres ´electriques. Ce travail s’est concr´etis´e par l’´edition de sa c´el`ebre monographieNetwork analysis and feedback amplifier designen 1945.
Pendant la seconde guerre mondiale, il travaille principalement sur les syst`emes de com-mande de tir anti-a´erien et il re¸coit le Certificat Pr´esidentiel du M´erite en 1948. Apr`es la guerre, il continue `a travailler en partie sur des applications militaires (guidage des missiles) mais ´egalement sur la th´eorie moderne de la communication. En 1952, il de-vient directeur des recherches en Math´ematiques pour les laboratoires Bell. En 1955, il est directeur des recherches en Sciences Physiques puis vice-pr´esident en 1958. Il part `a la retraite en 1967 et obtient un poste de professeur `a Harvard. Il devient membre de l’Acad´emie des Sciences. Il meurt le 21 Juin 1982.
Les courbes sont trac´ees sur du papier semi-logarithmique en utilisant l’´echelle loga-rithmique pour les pulsations et l’´echelle lin´eaire pour l’amplitude en d´ecibels et la phase en degr´es.
ωrad/s Φ deg.
ω Φ
1
1
ω1
ωrad/s
|G(j )| dBω
ω1
Echelles logarithmiques
|G(j )|
Figure 6.9 – Plan de Bode
L’inconv´enient majeur est que l’on ne peut repr´esenter les courbes de gain et de phase jusqu’`a la pulsation 0 du fait de l’utilisation de l’´echelle logarithmique pour les pulsations.
L’avantage principal d’une telle repr´esentation est qu’elle permet de convertir la mul-tiplication des amplitudes en addition par l’utilisation de l’´echelle en d´ecibels. En effet, toute fonction de transfert peut ˆetre factoris´ee comme :
G(p) =K
Q(1 +pTi)Q
(1 + 2 ξ/ωnj
p+ (pωnj)2) pNQ
(1 +pTk)Q
(1 + 2 (ξ/ωnl)p+ (pωnl)2) (6.20) Il suffit alors d’appliquer la propri´et´e d’additivit´e que partagent la fonction Log10 et la fonction argument.
Log10|G(jω)|=P
iLog10|Gi(jω)| φ(ω) =P
iφi(ω) (6.21) L’utilisateur dispose ainsi d’une m´ethode simple afin de tracer une repr´esentation approxim´ee de la r´eponse fr´equentielle en utilisant le trac´e de diagrammes asymptotiques des ´el´ements constituant la fonction de transfert et en les additionnant afin d’obtenir le trac´e asymptotique global. Ce trac´e asymptotique suffit en premi`ere approximation pour obtenir des informations sur le syt`eme. Il peut ˆetre ensuite affin´e et corrig´e simplement.
M´ethode de construction
La majorit´e des fonctions de transfert rencontr´ees est constitu´ee de fonctions de trans-fert faisant apparaˆıtre au d´enominateur des facteurs ´el´ementaires (6.20). Ces facteurs peuvent ˆetre class´es en quatre familles.
- Le gain K poss`ede un module constant ´egal `a K et une phase nulle.
- Le facteur d’int´egration d’ordreN 1
(jω)N a une phase constante valant−90×N deg.
Le module est d´efini par : 20Log10
K (jω)N
= 20Log10 K
ωN = 20Log10K−20NLog10ω (6.22)
La courbe de gain est donc une droite de pente −20×N dB/dec qui coupe l’axe 0 dB au point ωco= (K)1/N.
−15
−10
−5 0 5 10
Magnitude (dB)
100 101
−91
−90.5
−90
−89.5
−89
Phase (deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
− 20 dB / decade
ωco
Figure 6.10 – Trac´e dans le plan de Bode de 2/p
Le facteur d´eriv´ee K(jω)N se d´eduit ais´ement du pr´ec´edent en changeant le signe de la pente de la courbe de gain et le signe de la phase.
- Le facteur du premier ordre 1
1 +jωT est essentiellement caract´eris´e par sa pulsa-tion de cassure
ωc= 1
T (6.23)
Cette pulsation est particuli`erement importante puisqu’elle s´epare l’espace des pul-sations en deux domaines, domaine ”basses fr´equences” ω ≪ωc, domaine ”hautes fr´equences” ω ≫ ωc. On rappelle que le module et la phase d’une telle fonction de transfert sont donn´es par :
|G(jω)|= 1
√1 +ω2T2 |G(jω)|dB =−20Log10(√
1 +ω2T2) dB Φ(ω) = −tan−1(ωT)
(6.24)
L’´etude asymptotique peut ˆetre men´ee alors de la fa¸con suivante.
- Pour les basses fr´equences, ω ≪ ωc = 1/T, l’amplitude en dB peut ˆetre ap-proxim´ee par,
−20Log10(√
1 +ω2T2)∼ −20Log10(1) = 0 dB (6.25) La repr´esentation logarithmique admet donc une asymptote horizontale `a 0 dB.
- En hautes fr´equences, ω≫ωc = 1/T, on obtient,
−20Log10(√
1 +ω2T2)∼ −20Log10(ωT) dB (6.26) Dans cette plage de pulsations, la courbe est donc une droite de pente−20 dB/dec ou−6 dB/octave.
Dans le plan de Bode, le trac´e asymptotique d’un premier ordre est donc d´etermin´e par les deux droites ainsi d´efinies et qui se coupent en la pulsation de cassure ωc = 1/T. Ce trac´e asymptotique peut ensuite ˆetre rectifi´e par l’analyse d’erreur suivante : - L’erreur maximale intervient pour la pulsation de cassureωc = 1/T et vaut−3 dB.
- L’erreur pour une octave au del`a, ω = 2/T, et en de¸c`a, ω = 1/2T de ωc vaut
−0.97 dB.
Les courbes de phase dans le plan de Bode des facteurs du premier ordre sont toutes identiques et peuvent ˆetre d´eduites des points suivants :
ω rad/s Φ deg. - Le facteur quadratique 1
1 + 2 (ξ/ωn)jω+ (jω/ωn)2 est caract´eris´e par les deux pa-ram`etres (ωn, ξ).
Le premier param`etre d´efinit la pulsation de cassure
ωc=ωn (6.27)
Suivant la valeur de ξ, la courbe de gain pr´esentera ou ne pr´esentera pas depic de r´esonnance.
- Etude de l’amplitude :
|G(jω)| dB =−20Log10
Les asymptotes sont obtenues par une analyse identique `a celle qui a ´et´e faite pour les syst`emes du premier ordre.
- Basses fr´equences : ω≪ωn
−20Log10(1) = 0 dB (6.29)
La courbe de gain a donc une asymptote horizontale `a 0 dB en basses fr´equences.
- Hautes fr´equences :ω≫ ωn La courbe de gain a donc une asymptote de pente −40 dB/d´ecade en hautes fr´equences.
Les deux asymptotes ont une intersection commune en la pulsation de cassure ωc =ωn.
Pr`es de la pulsation de cassure, `ala pulsation de r´esonnanceωr, il peut exister un pic de r´esonnance,Mr, siξ <0.707. Son amplitude d´epend de l’amortissement ξ.
Figure 6.12 – Courbe de gain dans le plan de Bode d’un deuxi`eme ordre avec r´esonnance - Etude de la phase :
La phase est une fonction des deux param`etres pulsation propre et amortissement.
Toutefois, la phase vaut,
ω = 0 φ = 0 deg ω =ωn φ =−tan−1
2ξ 0
=−90 deg ω =∞ φ =−180 deg
(6.33)
−30
−20
−10 0 10 20
Magnitude (dB)
100 101
−180
−135
−90
−45 0
Phase (deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
ξ = 0.1 ξ = 0.2 ξ = 0.3 ξ = 0.7 ξ = 1 ξ = 0.5 ξ = 0.05
ξ = 0.05 ξ = 0.2 ξ = 0.3 ξ = 0.7 ξ = 1 ξ = 0.5 ξ = 0.1
Asymptotes
Figure 6.13 – Deuxi`eme ordre dans le plan de Bode pour ξ variant
D´efinition 6.2.3 (Pulsation de coupure)
La pulsation ωcα pour laquelle l’amplitude de la fonction de transfert sinuso¨ıdale est inf´erieure de α dB `a l’amplitude de la fonction de transfert sinuso¨ıdale `a la pulsation 0 est la pulsation de coupure `a α dB.
|G(jωcα)| dB =|G(j0)|dB−α dB (6.34)
D´efinition 6.2.4 (Bande passante)
La bande de pulsations correspondant `a 0≤ω≤ωcα est appel´ee la bande passante du syst`eme `a α dB.
Proc´edure 6.2.1
1- Ecrire la fonction de transfert sinuso¨ıdale comme une factorisation des termes
´el´ementaires.
2- Identifier les fr´equences de cassure caract´eristiques associ´ees `a ces facteurs de base.
3- Tracer les courbes asymptotiques.
4- Calculer le module et la phase de la fonction de transfert et tracer quelques points afin d’obtenir la courbe exacte.
Exemple 6.2.2
Reprenons la fonction de transfert pr´ec´edente.
G(p) = 4
p(p+ 2) G(jω) = 4 jω(jω+ 2) On rappelle que :
|G(jω)|= 20log10
4 ω√
4 +ω2
dB φ(ω) = −90− 180
π tan−1 ω 2 deg et
ωlim→0φ(ω) =−90 deg lim
ω→0|G(jω)|=∞
ωlim→∞φ(ω) =−180 deg lim
ω→∞|G(jω)|=−∞
La courbe de gain admet une asymptote oblique de pente −20 dB/dec aux basses fr´equences et de pente−40 dB/dec aux hautes fr´equences. Ces deux asymptotes se coupent en ωc = 2 rad/s. La courbe de phase pr´esente quant `a elle deux asymptotes horizontales en −90 deg et −180 deg.
Script MATLAB 18
>> G1=tf(4,1);
>> G2=tf(1,[1 0]);
>> G3=tf(1,[1 2]);
>> G=tf(4,[1 2 0]);
>> bode(G1,’b--’,G2,’g.’,G3,’r-.’,G,’k’)
>> grid
−80
−60
−40
−20 0 20 40
Magnitude (dB)
10−1 100 101 102
−180
−135
−90
−45 0
Phase (deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Gain k = 4
Intégration
Premier ordre G(p)
1 p + 1
Figure 6.14 – Lieu de transfert de 4
p(p+ 2) pour 0< ω <∞