Principe de la contre-r´ eaction

Un syst`eme de commande automatique `a contre-r´eaction compare la valeur r´eelle de la sortie du syst`eme avec l’entr´ee de r´ef´erence (la valeur souhait´ee), d´etermine l’´ecart entre les deux et produit un signal de commande dont le but est de r´eduire cet ´ecart `a 0 ou de le rendre tr`es faible. En r´esum´e, le principe fondamental consiste `a observer les effets des actions que l’on produit et de les corriger en fonction des r´esultats observ´es. Cette structure est illustr´ee figure 7.1. Adopter une telle structure de commande induit bien entendu un certain nombre d’avantages mais aussi quelques inconv´enients que nous allons d´etailler `a travers un exemple simple emprunt´e `a [4].

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Biographie 12 (Harold S. Black)

Harold Stephen Black est n´e le 14 Avril 1898 `a Leominster dans le Massachussetts. Il est diplˆom´e de l’Institut Polytechnique de Worcester en 1921 puis re¸coit du mˆeme institut un doctorat honorifique. Apr`es ses ann´ees d’´etudes, il rejoint les laboratoires de West Street de la Western Electric `a New York, ancˆetres des laboratoires Bell Telephone. Il travaille alors sur la r´eduction de la distorsion dans les amplificateurs de puissance pour les communications t´el´ephoniques longues distances.

En 1927, sur le trajet matinal de l’Hudson River sur le ferry Lackawanny pour aller `a son travail, Black a l’id´ee d’utiliser une contre-r´eaction n´egative afin de r´eduire la distorsion en contre-partie d’une perte d’amplification.

Il s’agit donc de renvoyer une proportion du signal de communication sur l’entr´ee de l’amplificateur afin d’am´eliorer la qualit´e du signal en sortie. Ne

disposant d’aucun autre support que son journal matinal (le New York Times) il couche son id´ee sur une des pages du journal (cf. photo du chapitre 1). Il d´epose un brevet (21 D´ecembre 1937 - No. 2 102 671) qui ne sera enregistr´e que neuf ann´ees plus tard du fait de l’incr´edulit´e du bureau des brevets. Cette id´ee est appliqu´ee initialement afin d’am´eliorer les communications t´el´ephoniques longues distances avant d’ˆetre fondatrice de la th´eorie moderne des asservissements et de l’Automatique. Harold Black fait partie du Hall of Fame des inventeurs depuis 1981 et a re¸cu 10 m´edailles, neuf prix ainsi que de nombreux autres titres honorifiques. Il publie modulation theory en 1953. Il meurt en 1983.

Processus

Sortie

Détecteur d’erreur

Perturbation

Signal d’erreur référence

Entrée de +

Capteur Action.

Signal de commande

−

Système de commande

Loi de commande

Figure 7.1 – Sch´ema de principe d’un asservissement

Il s’agit d’un syst`eme de commande automatique de vitesse de croisi`ere d’un v´ehicule.

Le sch´ema de principe est alors le suivant.

On suppose que l’´equation du mouvement associ´ee au d´eplacement du v´ehicule est une ´equation diff´erentielle du premier ordre,

˙ vn(t) =

√ρc m

u(t)−v²_n(t)

(7.1) o`u vn = v/vmax est la vitesse normalis´ee du v´ehicule ´evoluant entre 0 et 1, u(t) est la variable de commande d’ouverture du papillon d’admission des gaz variant ´egalement entre 0 et 1, m est la masse du v´ehicule et ρ etc sont des constantes.

e

Figure 7.2 – Commande de la vitesse de croisi`ere d’un v´ehicule La loi de commande associ´ee `a la fonction de correction est choisie comme,

˙

u(t) =k(v_nr(t)−v_n(t)) (7.2) o`u la constante k est `a choisir par le concepteur du syst`eme de commande. Ce type de loi de commande est qualifi´ee d’int´egrale puisque,

u(t) =u(0) +k Z t

0

(v_nr(s)−v_n(s))ds (7.3)

Il est alors possible de proposer une repr´esentation d’´etat non lin´eaire de cette mod´elisation en choisissant le vecteur d’´etat : x(t) = [vn(t) u(t)] et l’entr´ee comme e(t) =vnr(t).

Ce syst`eme d’´equations diff´erentielles est simul´e `a l’aide de SIMULINK suivant le sch´ema suivant :

Figure 7.3 – Sch´ema SIMULINK de l’exemple voiture

Nous consid´erons la r´eponse indicielle de ce syst`eme en boucle ferm´ee pour

√ρc

m =

0.1s⁻¹ et pour diff´erentes valeurs dek ∈ {0.02, 0.05, 0.08,0.1}. On suppose que la voiture

`a l’instant initial est `a une vitesse de croisi`erevnr0= 0.5 et que l’on souhaite passer `a une vitesse de croisi`ere de 0.6. Le signal de r´ef´erence est donc un ´echelon passant de 0.5 `a 0.6

`a l’instant 10 s.

Quelle que soit la valeur du gain de l’action int´egrale k, la vitesse de croisi`ere du v´ehicule atteint la valeur finale souhait´ee de 0.6. Le syst`eme en boucle ferm´ee et corrig´e par cette action int´egrale est donc pr´ecis.

On peut remarquer sur la figure 7.4, que pour les valeursk = 0.1 etk= 0.08, la r´eponse du syst`eme pr´esente un d´epassement entrainant un temps d’´etablissement relativement lent alors que pour k = 0.02, la r´eponse est tr`es lente. La valeur satisfaisante du gain de l’action int´egrale r´ealisant un compromis acceptable entre la rapidit´e de la r´eponse et le d´epassement semble donc ˆetre k= 0.05.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0.5 0.52 0.54 0.56 0.58 0.6 0.62

temps (s)

v

k=0.1 k=0.08

k=0.05

k=0.02

Figure 7.4 – R´eponse indicielle pourk variant

On souhaite maintenant ´etudier la robustesse de ce sch´ema de commande vis-`a-vis de variations du param`etre

√ρc

m et en particulier de la masse. On refait donc les simulations pour k = 0.05 et

√ρc

m = 0.08,

√ρc

m = 0.06 correspondant `a des accroissements respectifs de masse de 20% et 40%.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0.5

0.52 0.54 0.56 0.58 0.6 0.62

temps (s)

v

Figure 7.5 – R´eponse indicielle pour des variations de masse

On peut donc conclure `a une certaine insensibilit´e du syst`eme de commande de la vitesse de croisi`ere vis-`a-vis des variations de masse du v´ehicule.

Si l’on consid`ere des conditions r´ealistes, il est ´egalement n´ecessaire de prendre en compte la possibilit´e de perturbations affectant le v´ehicule telles que des raffales de vent ou un rev`etement de la route imparfait. Cela peut ˆetre mod´elis´e en introduisant un terme de perturbation dans l’´equation dynamique,

˙

x1(t) = −

√ρc

m x²₁(t) +

√ρc

m x2(t) +p(t) (7.5)

Cette perturbation est mod´elis´ee comme un ´echelon de position n´egatif intervenant en t = 20 s.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7

sans perturbation

avec perturbation

v

temps (s)

Figure 7.6 – R´eponse indicielle avec et sans perturbation

Du fait de l’occurrence de la perturbation, le v´ehicule ralentit dans un premier temps pour ensuite de nouveau acc´elerer afin d’atteindre la vitesse de croisi`ere d´esir´ee.

A partir de cet exemple, on peut mettre en ´evidence les propri´et´es fondamentales de la structure de commande `a contre-r´eaction.

- Am´elioration de la pr´ecision en boucle ferm´ee

- Robustesse du syst`eme boucl´e vis-`a-vis de variations param´etriques - Am´elioration du rejet de perturbation en boucle ferm´ee

Cette structure de commande souffre toutefois de d´efauts qui rendent son utilisation parfois d´elicate.

- Le probl`eme de stabilit´e est plus crucial en boucle ferm´ee qu’en boucle ouverte. En effet, un syst`eme stable en boucle ouverte peut devenir instable en boucle ferm´ee si l’action correctrice est choisie de mani`ere inad´equate.

- Cette structure pose ´egalement des probl`emes de saturation des signaux de com-mande qui sont tr`es largement amplifi´es par une action correctrice ¡¡`a grand gain¿¿.

- La structure de commande `a contre-r´eaction implique le plus souvent de disposer d’un capteur mesurant la sortie. Les bruits et les erreurs de mesure associ´es `a cette op´eration peuvent entrainer des pertes de pr´ecision.