Le lieu de Nyquist

Le lieu de Nyquist est une courbe polaire param´etr´ee par la pulsationω.

D´efinition

Le lieu de Nyquist correspond au trac´e du lieu de transfert dans le plan complexe dont les coordonn´ees cart´esiennes sont (R(ω), I(ω)). On obtient donc une courbe param´etr´ee en la pulsationω et que l’on doit graduer en cons´equence. Elle est donc toujours orient´ee dans le sens des ω croissants.

Φ( )ωi

ωk

ω_i

ωk

ω

ω₀ ωk

|G(j )|ωk k

−Φ( )

Im(G(j ))

Re(G(j )) Re

Im

Figure 6.2 – Plan de Nyquist Biographie 9 (Harold Nyquist)

Harold Nyquist est n´e en 1889 `a Nilsby en Su`ede. Il immigre aux Etats Unis en 1907 afin de poursuivre sa formation scientifique et obtient son Master de l’universit´e du Dakota du Nord ainsi que son Doctorat de Yaleen 1917.

Il entre `a AT&T pour d´evelopper un syst`eme de t´el´egraphe et des m´ethodes permettant la maitrise des messages dans les t´el´egraphes

`a bande ´etroite. Il publie un article sur la fr´equence de Nyquist en 1928. La mˆeme ann´ee, il propose une analyse math´ematique du bruit thermique observ´e dans les circuits par Johnson. En 1932, il donne la premi`ere analyse de stabilit´e pour les amplificateurs `a contre-r´eaction et d´eveloppe le diagramme de Nyquist qui conduit au crit`ere graphique de Nyquist pour la stabilit´e. Entre 1921 et 1935, ses recherches se

foca-lisent sur la t´el´evision et les m´ethodes de transmission associ´ees. Apr`es 1935, il s’engage sur des recherches g´en´erales en communication. Il est retrait´e des laboratoires Bell en 1954 et travaille alors comme consultant pour diff´erentes entreprises et pour le gouvernement am´ericains. Il meurt en 1976.

Remarques 6.2.1

Le gain du syst`eme `a une pulsation donn´ee est mesur´e par la longueur du rayon vec-teur correspondant alors que la phase est l’angle mesur´e positivement dans le sens trigo-nom´etrique entre l’axe ox et le rayon vecteur.

Quelques caract´eristiques des courbes

les courbes dans le plan de Nyquist poss`edent des caract´eristiques en hautes et basses fr´equences facilitant leur trac´e.

- Hautes fr´equences : le lieu de transfert d´epend essentiellement dudegr´e relatif(la diff´erence de degr´e entre le d´enominateur et le num´erateur) n−m. En effet, pour ω → ∞ :

G(jω)∼ bm(jω)^m an(jω)ⁿ = bm

an

1 (jω)^n−m

d’o`u :

φ(ω)∼(m−n)π 2

n−m = 3

ω 8 I

n−m = 2 0 Re

n−m = 1

Figure 6.3 – Comportement en hautes fr´equences

- Basses fr´equences : la transmittance est ´equivalente au quotient des termes de plus bas degr´e d’o`u l’importance de la pr´esence ´eventuelle d’int´egrations. Sans int´egrations,

G(jω)∼ b0

a0

Si la fonction de transfert contient N int´egrations alors :

G(jω)∼ b0

a0(jω)^N

Cela conduit donc `a ´ecrire aux basses fr´equences :

φ(ω)∼ −Nπ 2

0

Figure 6.4 – Comportement en basses fr´equences Repr´esentations fr´equentielles usuelles

Il est `a noter que les formes compliqu´ees de courbes dans le plan de Nyquist ont pour origine les dynamiques du num´erateur. La figure 6.5 donne un certain nombre de trac´es typiques.

Figure 6.5 – Repr´esentations de Nyquist de syst`emes usuels

Caract´eristiques d’un premier ordre dans le plan de Nyquist Un premier ordre de fonction de transfert sinuso¨ıdale‘ :

G(jω) = 1 1 +jωT est caract´eris´e par :

X = Re(G(jω)) = 1 1 +ω²T² Y = Im(G(jω)) = −ωT

1 +ω²T²

(6.12)

et par son module et sa phase :

|G(jω)|= 1

√1 +ω²T² Φ(ω) = −tan⁻¹(ωT)

(6.13)

L’´etude de (6.12) permet de montrer que la courbe est un demi-cercle de centre (0.5,0) et de rayon 0.5.

(X−1/2)²+Y² =

1−ω²T² 1 +ω²T²

2

+

−ωT 1 +ω²T²

2

= 1/4 (6.14)

ω T 1 + ω

^{2 2}

T

1 + ω

^{2 2}

T

0 Re

ω = 1/Τ

1 0.5

1

|G(j/T)|

−Φ( j/T) Im

Figure 6.6 – Premier ordre dans le plan de Nyquist

Caract´eristiques d’un deuxi`eme ordre dans le plan de Nyquist Un syst`eme du second ordre a une fonction de transfert sinuso¨ıdale param´etr´ee `a l’aide de deux pa-ram`etres, (ωn, ξ), la pulsation propre non amortie et l’amortissement.

G(jω) = 1

L’amplitude est d´efinie par :

|G(jω)|= 1

La partie r´eelle est d´efinie par :

R(ω) =

alors que la partie imaginaire est :

I(ω) =

Pour ω ∈ R⁺, la partie imaginaire est toujours n´egative alors que la partie r´eelle change de signe et devient n´egative pour ω_c = ω_n. Cette pulsation est la pulsation de cassure associ´ee au second ordre.

La courbe appartient donc au demi-plan inf´erieur d´efini par l’axe ox. Aux hautes fr´equences, l’analyse asymptotique montre que la phase tend vers −π. Pour diff´erentes valeurs de l’amortissemen ξ et pour ωn = 1, les trac´es dans le plan de Nyquist sont repr´esent´es `a la figure (6.7). Il est `a remarquer que MATLAB donne le diagramme de Nyquist complet avec le sym´etrique par rapport `a l’axe ox pour les pulsations n´egatives.

−6 −4 −2 0 2 4 6

−15

−10

−5 0 5 10 15

Nyquist Diagram

Real Axis

Imaginary Axis

ξ = 0.05 ξ = 0.07 ξ = 0.1

ξ = 0.7 ξ = 0.2 ξ = 0.4

Figure 6.7 – Deuxi`eme ordre dans le plan de Nyquist pour ξ variant et ωn= 1 L’avantage d’une telle repr´esentation est qu’elle d´ecrit de mani`ere graphique les ca-ract´eristiques fr´equentielles du syst`eme sur l’ensemble du domaine de variation des pul-sations d’entr´ee.

L’inconv´enient est qu’elle n’est pas adapt´ee `a la repr´esentation de lieux de transfert form´es par des produits de lieux ´el´ementaires connus G(jω) = G1(jω)G2(jω). En effet, G(jω) est alors caract´eris´ee par :

|G(jω)|=|G1(jω)||G2(jω)| φ(ω) = φ1(ω) +φ2(ω) Ceci est illustr´e par l’exemple suivant.

Exemple 6.2.1

Soit la fonction de transfert

G(p) = 4 p(p+ 2) La fonction de transfert sinuso¨ıdale est :

G(jω) = 4 jω(jω+ 2) On obtient donc :

R(ω) = Re [G(jω)] = −4

ω²+ 4 I(ω) = Im [G(jω)] = −8 ω(ω²+ 4)

|G(jω)|= 4 ω√

4 +ω² φ(ω) =−π

2 −tan⁻¹ ω 2

Pour ω > 0, la partie r´eelle et la partie imaginaire sont toujours n´egatives. Cela implique que la courbe est toute enti`ere contenue dans le quatri`eme cadran du plan

complexe. On calcule les limites int´eressantes permettant d’indiquer le comportement de la courbe en basses et hautes fr´equences :

ωlim→0R(ω) =−1 lim

ω→0I(ω) =−∞ lim

ω→0φ(ω) = −π 2

ωlim→∞R(ω) = 0 lim

ω→∞I(ω) = 0 lim

ω→∞φ(ω) =−π La courbe admet une asymptote verticale en−1 aux basses fr´equences.

Script MATLAB 17

>> G=tf(4,[1 2 0]);

>> nyquist(G);

−1 −0.9 −0.8 −0.7 −0.6 −0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0

−20

−15

−10

−5 0 5 10 15 20

Nyquist Diagram

Real Axis

Imaginary Axis

ω

ω 0+

ω 0−

ω − 8

+ 8

Figure 6.8 – Lieu de transfert de 4

p(p+ 2) pour −∞< ω <∞

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