Mod` eles math´ ematiques des syst` emes lin´ eaires continus
2.4 Le mod` ele interne - la repr´ esentation d’´ etat
2.4.2 Repr´ esentation d’´ etat des syst` emes dynamiques
La repr´esentation d’´etat est un mod`ele interne structur´e bati autour du concept d’´etat et s’appliquant aux syst`emes temps-variant et/ou non lin´eaires. On consid`ere donc le syst`eme dynamique multivariable de la figure (2.5) ayant pour entr´ees les composantes du vecteur u(t)∈Rm et pour sorties les composantes du vecteur y(t)∈Rr.
dimension m
X Vecteur d’état
dimension n U
dimension r Y Vecteur de sortie Vecteur d’entrée
Figure 2.5 – Syst`eme dynamique multivariable
En g´en´eral, l’´etat d’un syst`eme est caract´eris´e par diff´erentes variables dynamiques appel´ees variables d’´etat regroup´ees dans un unique vecteur appel´e vecteur d’´etat, x(t) = [x1(t),· · ·, xn(t)]′.
D´efinition 2.4.1 (Vecteur d’´etat)
x(t) est un vecteur d’´etat pour le syst`eme Σ si c’est un vecteur contenant le nombre minimal de variables internes v´erifiant la propri´et´e suivante :
Si, `a chaque instantt0,x(t0)est connu alorsy(t1)etx(t1)peuvent ˆetre d´etermin´es de mani`ere unique pour tout t1 ≥t0 si u(t) est connue sur l’intervalle [t0 , t1].
Le vecteur d’´etat x(t) appartient `a un espace vectoriel E, d´efini comme l’espace d’´etat. L’´evolution du syst`eme peut ˆetre repr´esent´ee au moyen destrajectoires d’´etat, lieu dans l’espace d’´etat E du point de coordonn´eesx(t) dans le rep`ere choisi.
x1
0 t
x1t1
xt1
xt
xt2 x2
xt0
Exemple 2.4.2 (Oscillateur `a relaxation de Van der Pol - 1928)
Le circuit ´electronique ci-dessous a ´et´e utilis´e pour mod´eliser les battements du coeur. Il a ´egalement ´et´e utilis´e dans les anciennes radios fonctionnant avec des tubes `a vide en lieu et place des transistors. Un tube `a vide fonctionne comme une r´esistance normale `a courant fort mais comme une r´esistance n´egative `a courant faible.
Diode C
L
R
V
Figure 2.6 – Circuit de l’oscillateur de Van der Pol L’´equation dynamique de l’oscillateur de Van der Pol s’´ecrit :
¨
v(t)−α(1−v2(t)) ˙v(t) +ω02v(t) = 0 (2.28) o`uω02 = (LC)−1contrˆole la tension inject´ee dans le syst`eme alors queαcontrˆole la mani`ere dont elle s’´ecoule dans le circuit.
Pour un choix du vecteur d’´etat v(t)
˙ v(t)
, les trajectoires d’´etat peuvent ˆetre repr´esent´ees dans l’espace d’´etat `a deux dimensions appel´e ici plan de phase. Ces trajectoires font clairement apparaˆıtre un cycle limite (oscillations) dont la forme et la fr´equence sont influenc´ees par les param`etres α et ω0 qui n’ont pour autant aucune action sur son am-plitude.
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4
−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
x
dx/dt
Plan de phase
Figure 2.7 – Trajectoires d’´etat de l’´equation de Van der Pol pour diff´erentes conditions initiales
Remarques 2.4.1
L’int´erˆet de la notion d’´etat et de la repr´esentation d’´etat qui en d´ecoule r´eside principa-lement dans le nombre minimal de variables ind´ependantes `a consid´erer pour connaˆıtre le comportement interne du syst`eme.
La d´efinition 2.4.1 signifie qu’il existe une fonction g telle que : g : R+×R+× E × U → E
(t0, t1, x(t0), u[t0,t1]) → x(t1) =g(t0, t1, x(t0), u[t0,t1])
avecx(t1) unique.U ⊂Rmest l’espace des fonctions d’entr´ee. De mˆeme, il existe ´egalement une fonction h d´efinie par :
h : R+× E × U → Y
(t1, x(t1), u(t1)) → y(t1) =h(t1, x(t1), u(t1)) avec y(t1) unique. Y ⊂Rr est l’espace des fonctions de sortie.
La fonction g est causale (l’´etat `a l’instantt0 ne d´epend pas des entr´ees d´efinies pour t > t0) et la fonction h n’a pas de m´emoire. Afin que les fonctions g et h d´efinissent le mod`ele d’un syst`eme dynamique, elles doivent v´erifier les propri´et´es suivantes.
Propri´et´es 2.4.1
1- Propri´et´e d’identit´e :
x(t0) =g(t0, t1, x(t0), u[t0,t1])
2- Propri´et´e de transition d’´etat : si u(t) = v(t) pour t∈ [t0, t1] alors g(t0, t1, x(t0), u[t0,t1]) = g(t0, t1, x(t0), v[t0,t1])
3- Propri´et´e de semi-groupe : pour t0 < t1 < t2 alors x(t2) = g(t0, t2, x(t0), u[t0,t2])
= g(t1, t2, x(t1), u[t1,t2])
= g(t1, t2, g(t0, t1, x(t0), u[t0,t1]), u[t1,t2])
(2.29)
Dans le cas des syst`emes dynamiques `a param`etres localis´es en temps continu, une repr´esentation d’´etat du syst`eme dynamique est donn´ee par une ´equation diff´erentielle ordinaire vectorielle du premier ordre et d’une ´equation vectorielle alg´ebrique.
D´efinition 2.4.2 (Repr´esentation d’´etat)
Tout syst`eme dynamique Σ peut ˆetre repr´esent´e par ses´equations d’´etatd´efinies comme un ensemble d’´equations diff´erentielles du premier ordre appel´ees´equations dynamiques et un ensemble d’´equations alg´ebriques appel´ees ´equations de sortie oude mesure :
˙x(t) = f(x(t),u(t),t) ´equation dynamique y(t) =h(x(t),u(t),t) ´equation de mesure
(2.30) o`u x(t) ∈Rn est le vecteur d’´etat, u(t)∈ Rm est le vecteur de commande, y(t) ∈Rr est le vecteur de sortie. La fonction f : Rn×Rm ×R→ Rn est une fonction de Lipschitz par rapport `a x, continue par rapport `au et continue par morceaux par rapport `a t afin que (2.30) ait une solution unique. Les ´equations d’´etat caract´erisent compl`etement le comportement dynamique du syst`eme.
Exemple 2.4.3 (Circuit ´electrique)
Soit le circuit ´electrique RLC de la figure 2.8. En ´ecrivant les lois de Kirchoff (noeuds et mailles), on obtient alors les deux ´equations diff´erentielles :
Cdvc
dt =u(t)−iL
LdiL
dt =−RiL+vc
(2.31)
U(t)
L
C R
iL
VC VR
Figure 2.8 – Syst`eme ´electrique
En choisissant comme variables d’´etat la tension aux bornes de la capacit´e et le courant dans l’inductance, soit [x1 x2]′ = [vC iL]′, on obtient l’´equation dynamique d’´etat du r´eseau ´electrique :
dx1
dt (t) =−1
Cx2(t) + 1 Cu(t) dx2
dt (t) = 1
Lx1(t)− R Lx2(t)
(2.32)
Si l’on suppose de plus que l’on mesure la tension aux bornes de la r´esistance, l’´equation de sortie s’´ecrit :
vR(t) =y(t) =Rx2(t) (2.33)
A partir de la donn´ee des conditions initiales du circuit, [x1(0) x2(0)], il est alors possible de connaˆıtre le comportement du r´eseau et de sa sortie pour t >0.
Si l’on suppose maintenant que la r´esistance est non lin´eaire, vR = R(iL(t)), il est encore possible de donner une repr´esentation d’´etat non lin´eaire.
dx1
dt (t) =−1
Cx2(t) + 1 Cu(t) dx2
dt (t) = 1
Lx1(t)− 1
LR(x2(t)) y(t) =R(x2(t))
(2.34)
Exemple 2.4.4 (Equation de Van der pol)
L’´equation diff´erentielle de l’oscillateur de Van der Pol est donn´ee par (2.28). En posant x1 =v etx2 = ˙v, on obtient l’´equation d’´etat non lin´eaire :
˙
x1(t) =x2(t)
˙
x2(t) =α(1−x21(t))x2(t) +ω20x1(t)
(2.35) Les trajectoires dans l’espace d’´etat sont repr´esent´ees `a la figure 2.7 pour diff´erentes conditions initiales
x1(0) x2(0)
. Remarques 2.4.2
La repr´esentation d’´etat n’est pas unique. Cela signifie que pour un mˆeme syst`eme phy-sique, le choix du vecteur d’´etat n’est pas unique puisqu’il d´epend de la base dans laquelle il est exprim´e.