R´ eponse fr´ equentielle des syst` emes LTI
6.1 D´ efinition et propri´ et´ es
La r´eponse fr´equentielle d’un syst`eme LTI est un outil particuli`erement important pour l’analyse et la synth`ese des syst`emes de commande. Historiquement, les premi`eres m´ethodes de conception de syst`emes de commande `a contre-r´eaction ont ´et´e fond´ees sur l’utilisation des r´eponses fr´equentielles et des outils associ´es. De nombreux outils math´ematiques analytiques et graphiques ont ainsi ´et´e d´efinis et d´evelopp´es dans ce cadre.
Cela explique en partie la persistance de ces m´ethodes dans les bureaux d’´etudes et parmi les ing´enieurs. Une autre raison repose sur les possibilit´es exp´erimentales nombreuses et peu complexes n´ecessaires pour reconstituer la r´eponse fr´equentielle d’un syst`eme donn´e
`a partir de donn´ees exp´erimentales entr´ees-sorties (g´en´erateurs de signaux sinuso¨ıdaux et
´equipements de mesure ad´equats).
Toutefois, les avantages pr´esent´es ici ne doivent pas faire oublier que ces m´ethodes ont ´et´e principalement d´efinies pour les syst`emes monovariables. Mˆeme si comme nous le verrons dans ce chapitre, la plupart des outils peuvent ˆetre ´etendus au cas multivariable, leur utilisation dans des proc´edures de synth`ese syst´ematiques est plus d´elicate. De plus, ces m´ethodes n´ecessitent une culture fr´equentielle suffisament pouss´ee pour pallier la faible corr´elation entre les caract´eristiques temporelles des r´eponses transitoires et les caract´eristiques des r´eponses r´eponses fr´equentielles.
6.1.1 Les syst` emes monovariables
Dans cette section, les syst`emes monovariables LTI sont indiff´eremment mod´elis´es par leur fonction de tranfert G(p) ou une r´ealisation minimale d’´etat (A, B, C, D).
D´efinition 6.1.1 (R´eponse fr´equentielle)
La r´eponse fr´equentielle d’un syst`eme LTI est d´efinie comme l’ensemble des r´eponses en r´egime permanent du syst`eme `a des entr´ees sinuso¨ıdales param´etr´ees par la pulsation.
Nous pr´esentons maintenant le r´esultat fondamental de l’analyse fr´equentielle des syst`emes LTI.
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Th´eor`eme 6.1.1
La r´eponse fr´equentielle d’un syst`eme LTI stable `a une sinuso¨ıde u(t) =Xsin(ωt) d’am-plitude donn´eeX et de pulsation donn´eeω est une sinuso¨ıdey(t) =Y sin(ωt+φ)de mˆeme pulsation ω et dont l’amplitude Y et le d´ephasage φ d´ependent de la pulsation ω.
Ceci peut ˆetre ais´ement montr´e en consid´erant un syst`eme LTI stable d´efini par sa fonction de transfert :
G(p) = N(p)
D(p) = N(p)
(p+p1)(· · ·)(p+pn) (6.1) On suppose ici que tous les pˆoles de cette fonction de transfert sont distincts. La transform´ee de Laplace de l’entr´ee sinusoidale u(t) =Xsin(ωt) est :
U(p) = ωX
p2+ω2 (6.2)
d’o`u,
y(t) =L−1[Y(p)] =L−1[G(p)E(p)] = ae−jωt+aejωt+b1e−p1t+· · ·+bne−pnt (6.3) Pour un syst`eme stable, −p1, · · · , −pn sont stables donc `a partie r´eelle n´egative.
Cela implique que les termes correspondants tendent vers 0 en r´egime permanent (quand t→ ∞). La r´eponse en r´egime permanent est donc donn´ee par,
y3(t) =ae−jωt+aejωt (6.4)
o`u,
a=
G(p) Xω
p2+ω2(p+jω)
|p=−jω
=−XG(−jω) 2j a=
G(p) Xω
p2+ω2(p−jω)
|p=jω
= XG(jω) 2j
(6.5)
De plus,
G(jω) = |G(jω)|ejφ et G(−jω) = |G(jω)|e−jφ (6.6) d’o`u,
a=−X|G(jω)|e−jφ
2j et a= X|G(jω)|ejφ
2j (6.7)
On obtient ainsi,
y3(t) =X|G(jω)|ej(ωt+φ)−e−j(ωt+φ)
2j =X|G(jω)|sin(ωt+φ) =Y sin(ωt+φ) (6.8) 2 Notation 1
On d´efinit les notations classiques associ´ees `a un signal sinuso¨ıdal u(t) =Usin(ωt+α) = I[U(ω)ejωt] :
U(ω) =Uejα
Le signal sinuso¨ıdal complexe U(ω)ejωt va permettre ainsi d’´ecrire la r´eponse sinuso¨ıdale d’un syst`eme lin´eaire sous forme complexe.
Y(ω)ejωt=G(jω)U(ω)ejωt
Puisque le terme ejωt apparaˆıt des deux cot´es de l’egalit´e, celle-ci peut se r´e´ecrire en utilisant la notation U(ω) (phasor notation en anglais).
Y(ω) =G(jω)U(ω)
Ainsi, chaque fois que la notation U(ω) est utilis´ee, il faut comprendre le signal complexe U(ω)ejωt sous-jacent.
D´efinition 6.1.2 (Fonction de transfert sinuso¨ıdale)
On d´efinitla fonction de transfert sinuso¨ıdaled’un mod`ele LTIG(p) comme la trans-form´ee de Fourier de la r´eponse impulsionnelleg(t) ou comme le rapport de la transform´ee de Fourier de la sortie sur la transform´ee de Fourier de l’entr´ee.
G(jω) = F[g(t)] = Y(ω)
U(ω) (6.9)
La fonction de transfert sinuso¨ıdale est caract´eris´ee par : - son gain,
|G(jω)|= |Y(jω)|
|U(jω)| (6.10)
- sa phase,
Φ(ω) = Argument
Y(jω) U(jω)
= Argument (G(jω)) (6.11) Remarques 6.1.1
La fonction de transfert sinuso¨ıdale est obtenue en identifiant p=jω dans la fonction de transfert G(p).
D´efinition 6.1.3 (R´eponse fr´equentielle)
La r´eponse fr´equentielle d’un syst`eme LTI est constitu´ee par l’ensemble des fonctions de transfert sinuso¨ıdales quand la pulsation varie de 0 `a l’infini.
Pour ω fix´ee, G(jω) est un nombre complexe caract´eris´e par son amplitude (le gain du syst`eme) et son argument (la phase du syst`eme) qui seront donc des fonctions de la pulsation de la sinuso¨ıde d’entr´ee. Quand ω varie, l’ensemble des gains et des arguments constitue la r´eponse fr´equentielle qui peut alors ˆetre repr´esent´ee graphiquement dans diff´erents types de plans.
6.1.2 Extension au cas des syst` emes multivariables
Soit le mod`ele entr´ee-sortie multivariable y(p) = G(p)u(p) o`u G(p) ∈ Cr×m. G(p) est une fonction de la variable de Laplace p et repr´esente donc un syst`eme dynamique.
La notion de r´eponse fr´equentielle d´evelopp´ee pour les mod`eles monovariables peut ˆetre g´en´eralis´ee aux mod`eles multivariables en consid´erant les ´el´ements gij(p) de la matrice
G(p) qui ne sont rien d’autres que les transferts monovariables de la ji`eme entr´ee vers la
En appliquant le principe de superposition si l’on applique simultan´ement sur chaque entr´ee des signaux sinuso¨ıdaux de mˆeme fr´equence ω alors :
Yi(ω) = Xm
j=1
gij(jω)Uj(ω) En utilisant une notation matricielle :
Y(ω) = G(jω)U(ω) o`u G(jω) est la matrice de r´eponse fr´equentielle.
La notion de gain pour les syst`emes monovariables est relativement simple `a ´etablir puisqu’elle est d´efinie comme le rapport des modules de la sortie et de l’entr´ee. Le gain est une fonction de la pulsation ω ind´ependante de l’amplitude d’entr´ee.
Dans le cas multivariable, la situation est plus compliqu´ee puisque l’on dispose d’un vecteur de signaux en entr´ee et en sortie. Il est donc n´ecessaire d’utiliser une norme en entr´ee et en sortie afin de mesurer la taille des signaux. En choisissant par exemple la norme euclidienne, il est possible de d´efinir le gain de G(p) comme le rapport :
||Y(ω)||2
||U(ω)||2
= ||G(jω)U(ω)||2
||U(ω)||2
Le gain ainsi d´efini poss`ede la propri´et´e essentielle de d´ependre de la pulsation ω sans d´ependre de l’amplitude d’entr´ee ||U(ω)||2. Toutefois, dans le cas MIMO, il est ais´e de montrer que le gain d´epend de la direction du vecteur d’entr´ee. Ceci est illustr´e sur un exemple tr`es simple.
Exemple 6.1.1
Soit G la matrice de gains donn´ee par : G=
3 2
−1 1
Pour diff´erentes directions d’entr´ee norm´ee `a un, le vecteur de sortie est calcul´e ainsi que la norme du gain associ´e.
d1 =
Cela montre ´evidemment que le gain deGd´epend de la direction d’entr´ee. Sur la figure 6.1, la variation du gain de G est repr´esent´ee en fonction de la direction d’entr´ee. Le fait int´eressant est la pr´esence d’un maximum et d’un minimum.
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5 6 7
d20/d10
||y||2/||d||2
Figure 6.1 – Variation du gain de G D´efinition 6.1.4
- La valeur maximale du gain quand l’entr´ee varie est la valeur singuli`ere maxi-male deG :
maxu6=0
||Gu||2
||u||2
= max
||u||2=1||Gu||2=σ(G)
- La valeur minimale du gain quand l’entr´ee varie estla valeur singuli`ere minimale de G:
minu6=0
||Gu||2
||u||2 = min
||u||2=1||Gu||2 =σ(G)
Soit G(jω) ∈ Cr×m une matrice de r´eponse fr´equentielle telle que sa d´ecomposition en valeurs singuli`eres (SVD) pour ω fix´ee est,
G(jω) =WΣ(jω)VH
o`uW ∈Cr×rest une matrice unitaire constitu´ee en colonnes parles vecteurs singuliers de sortieui.V ∈Cm×mest une matrice unitaire constitu´ee en colonnes parles vecteurs singuliers d’entr´ee vi. Σ(jω) ∈ Cr×m est la matrice des valeurs singuli`eres σi rang´ees par ordre d´ecroissant et de rang k ≤min(r, m) :
Σ(jω) =
σ(ω) . ..
σ(ω) 0
0 0
D´efinition 6.1.5 (Gains principaux)
Les valeurs singuli`eres σi(ω) sont appel´ees valeurs principales ou gains principaux. Ce sont des fonctions de la pulsation ω.
D´efinition 6.1.6 (Directions d’entr´ee et de sortie)
Les directions d’entr´ee sont donn´ees par les vecteurs singuliers d’entr´ee vi alors que les directions de sortie sont d´efinies par les vecteurs singuliers de sortie wi.
V = [vj]j=1,···,m vHj vi =
1 i=j
0 i6=j W = [wi]i=1,···r wjHwi =
1 i=j 0 i6=j Gvi =σiwi σi =||Gvi||2
Laigraveeme valeur singuli`ere donne le gain dans la direction i.
Pour les syst`emes non carr´es, les vecteurs singuliers d’entr´ee et de sortie indiquent res-pectivement dans quelle direction l’entr´ee n’aura pas d’effet et dans quelle direction de sortie le syst`eme ne pourra ˆetre command´e.