Commandabilit´ e et observabilit´ e
3.4 Relations entre mod` eles internes et externes
3.4.1 Les formes canoniques d’´ etat
On a d´ej`a vu que le choix du vecteur d’´etat n’est pas unique pour un syst`eme donn´e.
Ainsi, si le vecteur x peut s’´ecrire sous la forme x = Pxˆ o`u ˜x est un vecteur d’´etat et si la matrice P est inversible alors x est ´egalement un vecteur d’´etat. Cette transfor-mation lin´eaire correspond `a un changement de base dans l’espace d’´etat. La nouvelle repr´esentation d’´etat s’´ecrit alors :
˙ˆ
x(t) = ˆAˆx(t) + ˆBu(t) y(t) = ˆCx(t) + ˆˆ Du(t)
(3.8)
o`u :
Aˆ=P−1AP Bˆ =P−1B Cˆ =CP Dˆ =D
(3.9) P est appel´eela matrice de passagede la repr´esentation d’´etat (2.50) `a la repr´esentation d’´etat (3.8). Cette op´eration est une transformation de similarit´e.
Le fait de disposer de diff´erentes repr´esentations d’´etat pour un mˆeme syst`eme est un avantage qui va permettre d’utiliser des formes particuli`eres de la repr´esentation d’´etat pour des probl`emes particuliers.
Ces formes particuli`eres sont appel´ees les formes canoniques. On distingue trois grands types de formes canoniques :
- La forme diagonale ou quasi-diagonale de Jordan.
- La forme compagne de commande.
- La forme compagne d’observation.
Biographie 6 (Marie Ennemond Camille Jordan)
Camille Jordan est n´e le 5 janvier `a La Croix-Rousse `a Lyon d’un p`ere ing´enieur de l’´ecole Polytechnique et de Jos´ephine Puvis de Chavannes. Il rentre `a l’´ecole Polytechnique en 1855. En 1861, la th`ese de Doctorat de Jordan porte sur l’alg`ebre et l’analyse, ce qui ne l’empˆeche pas de travailler comme ing´enieur par la suite. Il se marie en 1862 avec la fille du d´eput´e-maire de Lyon qui lui donne 6 fils et 2 filles.
Il devient professeur d’analyse `a l’´ecole Polytechnique en 1876 et profes-seur au Coll`ege de France en 1883. Ses int´erˆets math´ematiques vont de la th´eorie des groupes finis `a l’alg`ebre lin´eaire et multilin´eaire en passant par la topologie des poly`edres, les ´equations diff´erentielles et la m´ecanique.
Il publie Trait´e des substitutions et des ´equations alg´ebriques en 1870 qui est le premier livre sur la th´eorie des groupes. Il publie sonCours
d’analyse de l’Ecole Polytechnique en 1882 et 1887. En 1885, il devient ´editeur du Journal de math´ematiques pures et appliqu´ees. Il meurt le 22 janvier 1922 `a Paris apr`es avoir perdu 3 de ses fils pendant la guerre 14-18.
La forme diagonale ou quasi-diagonale de Jordan
Dans le cas o`u la matrice A ∈ Rn×n a n valeurs propres distinctes, il est possible d’effectuer un changement de base la diagonalisant.
Th´eor`eme 3.4.1
Si la matrice A ∈Rn×n a n valeurs propres distinctes p1, p2,· · · , pn alors la matrice de passage compos´ee en colonnes des vecteurs propres associ´es, P = [e1 e2 · · · en] est telle que :
P−1AP = ˜A= diag(p1, p2,· · · , pn) (3.10) o`u Aei =piei ∀i= 1,· · · , n.
Dans le cas o`u une (ou plusieurs valeurs propres) est (sont) multiple(s) la situation est plus complexe.
Th´eor`eme 3.4.2
SoitA∈Rn×nayantkvaleurs propres distinctespi, i= 1,· · · , kde multiplicit´e alg´ebrique respective mi. Soit qi la multiplicit´e g´eom´etrique associ´ee `a chaque valeur propre,
c’est-`a-dire le nombre de vecteurs propres ind´ependants e1i · · · eqii associ´es `a chaque valeur propre.
3- Si 1< qi < mi, on d´efinit un bloc diagonalJi de dimensionmi×mi form´e comme : Ji = diag(Ji1, Ji2,· · · , Jili)
o`uJik est un bloc de Jordan de taille inf´erieure `a mi. Il existe alors plusieurs possi-bilit´es qui doivent ˆetre test´ees, une seule convenant.
Il est alors possible de d´eterminer une matrice de passage inversibleP = [P1P2 · · ·Pk] telle que :
P−1AP =J = diag(J1, J2,· · · , Jk) La partition de P est identique `a celle deJ.
Dans le cas de d´eg´en´erescence d’une valeur propre multiple (cas 2 et 3), la matrice de passage P doit ˆetre d´etermin´ee de la fa¸con suivante.
SoitP = [q1,· · · , qn] o`uqi est lai`eme colonne deP. Il est possible de montrer que l’on doit v´erifier :
Aqj =piqj +γjqj−1 (3.11)
o`u pi est une valeur propre quelconque de A et γj = 0 ou γj = 1. La premi`ere colonne de chaque sous-bloc Pi, i = 1,· · · , k est calcul´ee avec γj = 0 et correspond `a un vec-teur propre associ´e `a pi. Les autres colonnes du sous-bloc sont calcul´ees en utilisant la r´ecurrence avec γj = 1. Ces autres colonnes sont les vecteurs propres g´en´eralis´es associ´es `a pi.
Forme r´eelle pour les pˆoles complexes simples
Le polynˆome caract´eristique d’une matrice r´eelle peut avoir des racines complexes conjugu´ees faisant apparaˆıtre lors de la diagonalisation des blocs du type :
α+jβ 0
Ce bloc peut ˆetre rendu r´eel par un changement de base.
α+jβ 0
Dans toute la partie suivante, les formes canoniques compagnes du polynˆome ca-ract´eristique sont pr´esent´ees uniquement pour des syst`emesmonovariables. Une th´eorie identique existe pour les syst`emes multi-variables mais conduit `a des d´eveloppements tr`es lourds et une notation fastidieuse. Le lecteur int´eress´e peut se reporter `a la r´ef´erence [4]
pour plus de d´etails.
Formes compagnes du polynˆome caract´eristique
Ces formes sont construites `a partir de la donn´ee du mod`ele d’´etat du syst`eme mono-variable (mono-entr´ee/mono-sortie) :
˙
x(t) =Ax(t) +Bu(t) y(t) =Cx(t)
(3.12)
o`u x ∈ Rn, u ∈ R et y ∈ R. On suppose que le syst`eme est repr´esent´e de mani`ere
´equivalente par la fonction :
H(p) = bn−1pn−1+· · ·+b0
pn+an−1pn−1 +· · ·+a0
(3.13)
Le polynˆome caract´eristique de (3.12) est donn´e par :
πp(p) = det(p1−A) =pn+an−1pn−1+· · ·+a0 (3.14) D´efinition 3.4.1 (Forme compagne de commande)
La forme compagne de commande est d´efinie par les matrices du syst`eme :
Ac =
Le passage de la repr´esentation d’´etat quelconque (3.12) `a la forme compagne de commande n´ecessite le calcul de la matrice de passage P.
Soit `a d´eterminer P = [P1 P2 · · · Pn] la matrice de passage form´ee de ses n colonnes.
On applique alors le calcul r´ecurrent, colonne par colonne, suivant :
Pn =B
D´efinition 3.4.2 (Forme compagne d’observation)
La forme compagne d’observation est d´efinie par les matrices du syst`eme :
Ao = identique la matrice de passage `a la forme compagne d’observation.
Po−1 =
Soient les ´equations d’´etat :
˙ Le polynˆome caract´eristique de ce syst`eme est :
πp =p3−3p2+ 4p−6 Les matrices de passage sont alors :
Pc =
Les formes compagnes respectivement de commandabilit´e et d’observabilit´e sont : Ac =
Exemple (Satellite) 11
Les ´equations d’´etat du satellite telles qu’elles ont ´et´e d´evelopp´ees dans le chapitre pr´ec´edent sont donn´ees sous forme de Jordan avec 0 comme valeur propre double.
x˙1(t)
D’autre part, du fait que le polynˆome caract´eristique associ´e est Psat.(p) = 1 Izzp2, la forme compagne de commande associ´ee est donn´ee par :
X˙1(t)
En ce qui concerne, la forme canonique d’observabilit´e, on obtient : X˙1(t)
Cas des syst`emes non strictement propres
Dans ce qui pr´ec`ede, les syst`emes sont suppos´es strictement propres, ce qui n’est pas toujours v´erifi´e en pratique. Dans le cas d’un syst`eme mod´elis´e par une fonction de transfert propre, la m´ethode consiste `a isoler la transmission directe en effectuant la division euclidienne du num´erateur par le d´enominateur et de traiter le restant comme ci-dessus.
F(p) = N(p)
D(p) =D+N′(p)
D(p) (3.22)
Exemple 3.4.2
Soit la fonction de transfert :
H(p) = 4p3+ 8p2 + 2p+ 1
Une repr´esentation d’´etat sous forme compagne de commande peut alors ˆetre donn´ee par :
La repr´esentation d’´etat sous forme modale peut ´egalement ˆetre d´eduite :
˙
x3 4.899
c =
x1 x2 x3
y1 0.25 -0.2115 -1.626
d =
u1 y1 4