3.5 Biodégradation
4.1.3 Splitting d’opérateurs/Traitements des termes réactifs
Dans les différentes équations qui composent le système différentiel que nous devons résoudre, il est à noter que les temps caractéristiques des différents opérateurs de trans- port convectif, de transport diffusif et de réaction ne sont pas forcément du même ordre. En particulier, dans le cas de la biodégradation, les cinétiques de production de biogaz sont particulièrement lentes vis-à-vis du transport convectif ou diffusif. Il peut donc être intéressant dans ce cas de considérer l’utilisation des méthodes de séparation (splitting) d’opérateurs. Cela permet en particulier d’améliorer le temps de calcul au sein même d’une itération temporelle.
Comme leur nom l’indique, les méthodes de séparation d’opérateurs sont des méthodes qui consistent à résoudre de façon séparée les termes de transport convectif, de transport diffusif et les termes de production/consommation qui peuvent intervenir dans une même équation aux dérivées partielles. Ce type de méthode est donc principalement utilisé pour traiter les équations de transport des espèces (Barry et al., 1996, 1997), néanmoins, on peut également imaginer appliquer ce type de méthodes aux équations décrivant les écoulements des phases mobiles (cf. Ciegis et al. (2000)). Il existe un grand nombre de méthode de séparation d’opérateurs. Elles se distinguent les unes des autres suivant que les différents opérateurs sont résolus explicitement ou implicitement ou que la résolution des différents opérateurs est itérative ou non.
Kanney et al. (2003b) et Kanney et al. (2003a) développent des tests numériques sur les opérateurs de splitting appliqués au cas du transport réactif non linéaire. Les conclusions de ces tests mettent en évidence l’intérêt des méthodes de splitting d’opérateur, mais également les difficultés que représente l’évaluation théorique de l’erreur commise lors de l’évaluation de telles méthodes. Il est d’ailleurs finalement assez difficile de trouver dans la littérature des critères de choix précis quant à la méthode à utiliser suivant la classe de problème que l’on souhaite traiter.
Carrayrou et al. (2004) proposent une revue exhaustive des procédures de splitting d’opérateurs dans le cadre du transport réactif en milieu poreux. Les méthodes de splitting d’opérateur se décomposent principalement en quatre grandes familles. La plus simple des méthodes de séparation d’opérateurs est la méthode SNI standard (Standard sequential Non-Iterative scheme). Cette méthode consiste à résoudre l’équation de transport des espèces en deux étapes : une première étape de transport non réactif suivi d’une étape de réaction en batch sans transport. La solution de la première étape sert de condition initiale à la seconde. Cette méthode suppose que les deux étapes sont complètement découplées et qu’elles interviennent de façon additive sans interaction l’une sur l’autre au cours d’un pas de temps.
La seconde famille de méthodes de séparation d’opérateur est la méthode Strang- splitting SNI, qui est une variante de la méthode SNI. Le principe de cette méthode est de résoudre dans un premier temps l’équation de transport non réactif sur un demi pas de temps, puis de résoudre les termes de réaction sans transport sur un pas de temps entier et de finir le processus par la résolution d’une étape de transport non réactif sur le demi pas de temps restant. Ici encore, la solution obtenue à la fin de l’une des trois étapes décrites précédemment pour la variable considérée en une position donnée du maillage est utilisée comme condition initiale de l’étape suivante. Le calcul du transport en deux étapes entrecoupées d’une étape de réaction permet d’utiliser la méthode Strang-splitting SNI dans des cas où les temps caractéristiques des phénomènes de transports et de réaction sont beaucoup plus proches que ceux que l’on peut utiliser avec la méthode SNI standard. La troisième famille de méthodes de découplage d’opérateur est basée sur la méthode SI (Standard Sequential Iterative scheme). Comme son nom l’indique, cette classe de méthodes de découplage est itérative. Son principe consiste à résoudre lors d’un première étape l’équation de transport réactif complète avec un terme source évalué à l’aide des conditions initiales. La solution obtenue permet de réévaluer le terme réactif. On recalcule alors la solution de l’équation de transport puis le terme réactif et ce jusqu’à ce que le critère de convergence de la méthode soit atteint (cf. Carrayrou et al. (2004)).
Enfin, la dernière famille de méthodes de splitting d’opérateurs correspond aux mé- thodes SI symétriques. Ces méthodes sont également itératives et consistent à utiliser
symétriquement deux découplage de type SI. La première est l’équation de transport avec terme de puits/source lié aux réactions, la seconde est l’équation sans transport mais avec réaction dans laquelle on insère un terme puits/source lié à l’opérateur de transport. Le processus itératif prend fin lorsque le critère de convergence est atteint (cf. Carrayrou et al. (2004)). Ce type de méthode est particulièrement adapté aux cas ou les temps ca- ractéristiques des opérateurs de transport et de réaction sont proches. En effet, le fait de rendre la méthode SI symétrique permet de prendre en compte de façon systématique l’impact des réactions sur les transferts et inversement.
Carrayrou et al. (2004) comparent l’efficacité de différentes méthodes de splitting ité- ratives et non itératives et concluent en ordonnant les différentes méthodes selon leur efficacité. D’après Carrayrou et al. (2004), la méthode qui introduit le moins d’erreur sur le calcul des fractions massiques est la méthode SI symétrique dans le cas où l’on s’intéresse au découplage des opérateurs de transport et de réaction.
Les méthodes de splitting d’opérateurs présentées ici décrivent le découplage des opé- rateurs de transport avec les opérateurs de production/consommation liés aux réactions chimiques ou biologiques. Des méthodes similaires permettant de découpler les opérateurs de transport diffusifs et convectifs ont été développées. On pourra en particulier se référer aux travaux de Karlsen and Risebro (1997) ou Lie et al. (1998).
Dans le cas des ISD bioréacteurs, les temps caractéristiques des réactions de biodégra- dation sont extrêmement lents en comparaison des temps caractéristiques de transfert. Par conséquent, nous pouvons considérer que les phénomènes de transport et les phénomènes réactifs sont entièrement découplés. Par conséquent, la méthode que nous utilisons pour résoudre le transport réactif est une méthode explicite. Dans une première étape nous évaluons les termes réactifs à l’aide de la solution du système au pas de temps précédent. Ensuite nous résolvons explicitement les ODE non linéaires décrivant la consommation du substrat et la production de la biomasse à l’aide d’une méthode d’Euler d’ordre 1. Enfin, on résout implicitement le système formé par les équations 2.226 à 2.233 et l’équation 2.203.