Discrétisation temporelle

Comme nous considérons un système d’équations instationnaire, le premier enjeu nu- mérique auquel nous devons faire face concerne la discrétisation temporelle des équations de transport de masse et de chaleur. En effet, il existe plusieurs méthodes permettant de discrétiser temporellement ce type de système. On distingue principalement les schémas

dits implicites et les schémas dits explicites.

Schémas implicites. Le principe des schémas implicites en temps est de considérer l’ensemble des variables présentes dans l’équation considérée au temps k + 1 (temps de calcul), plutôt qu’au temps k (temps de l’itération précédente pour laquelle la solution est connue). L’utilisation d’un schéma implicite en temps pour résoudre une équation aux dérivées partielles permet de s’assurer une stabilité inconditionnelle de la solution. Néanmoins, l’utilisation de schémas implicites introduit de la diffusion artificielle appelée diffusion numérique des grandeurs physiques que nous calculons. Dans le cas ou l’on considère un système d’équations aux dérivées partielles et que l’ensemble du système est implicite en temps, la résolution du système requiert l’inversion d’une matrice [A] de grande dimension (Nombre de points de maillage*Nombre de variables × Nombre de points de maillage*Nombre de variables), puisque le système s’écrit alors :

[A] [X]k+1 =RHS X_jk
 (4.1)

L’inversion de la matrice [A] est dans ce cas l’élément limitant en terme de puissance de calcul et de temps de calcul. Les schémas implicites sont donc gourmands en terme de ressource informatique, mais garantissent la stabilité du calcul.

Schémas explicites. Comme son nom l’indique, un schéma explicite en temps permet d’obtenir une solution explicite de l’équation que l’on cherche à résoudre. Pour ce faire, l’ensemble des variables intervenant dans l’équation à résoudre est considéré au pas de temps k de l’itération précédent le calcul en cours. L’utilisation de ce type de schéma permet d’avoir une résolution rapide et simple de l’équation considérée. Néanmoins, la stabilité de ce type de schéma n’est pas assurée pour l’ensemble des valeurs de pas de temps et de pas d’espace considérées. En règle générale, l’utilisation de tels schémas nécessite d’utiliser des pas de temps très faibles en comparaison de ceux que l’on peut utiliser avec les schémas implicites. Dans le cas ou l’on considère un système d’équation aux dérivées partielles dont chaque équation est discrétisée selon un schéma explicite en temps, la résolution de celui-ci est obtenue simplement en multipliant le vecteur [X]k par une matrice [B] caractéristique du système et de dimension Nombre de points de maillage*Nombre de variables × Nombre de points de maillage*Nombre de variables :

[X]k+1 = [B] [X]k (4.2)

L’avantage de ce type de schéma est que le calcul de la solution du système d’équation aux dérivées partielles considéré est rapide puisqu’il ne nécessite pas d’opération complexe.

En revanche, les contraintes imposées par les conditions de stabilité rendent l’utilisation de ce type de schéma relativement contraignante en terme de pas de temps.

Schémas hybrides. Les schémas implicites et explicites ont donc chacun des avantages (stabilité pour l’un, rapidité de calcul de la solution pour l’autre). Dans le cas où le sys- tème à résoudre est composé de plusieurs équations couplées, il est possible de concevoir des approches alternatives aux schémas complètement implicites ou complètement expli- cites. En effet, il est possible de "mélanger" les deux approches en utilisant des schémas implicites pour certaines équations du système et des schémas explicites pour les autres. Ce type d’approche a largement été développé dans le domaine pétrolier depuis le début des années 70.

C’est, en particulier, l’attention croissante des industriels du secteur pétrolier pour la simulation des écoulements diphasiques en milieu poreux (eau/huile) qui a motivé le développement de ce type d’approche. En effet, l’ensemble des techniques de récupération d’huile se base sur l’injection d’un fluide dans le champ pétrolifère afin d’en chasser l’huile initialement présente. Or, pour simuler ce type de problèmes, il faut résoudre deux équa- tions de conservation de masse couplées. Comme le présentent Wu and Forsyth (2001), dans ce cas les deux variables primaires qui sont utilisées sont généralement la saturation en liquide S et la pression de la phase gaz Pγ.

Si l’on utilise des schémas implicites purs (FIM), les deux équations couplées sont résolues simultanément lors de la même itération temporelle (Aziz and Settari, 1979; Cao, 2002). L’avantage de ce type de méthode est qu’elle assure la stabilité du système. Néan- moins, l’inversion de la matrice résultant de la discrétisation du problème peut s’avérer très coûteuse en temps de calcul (Allen, 1985). Comme le présentent Aziz and Settari (1979), il existe plusieurs variantes de ce type de modèle suivant que l’on conserve im- plicite l’ensemble des termes présents dans les équations de conservation de masse des phases mobiles ou que l’on en explicite certains (termes gravitaires par exemple).

Dans le cas des écoulements diphasiques, on peut aussi décider d’utiliser un schéma de discrétisation différent pour chacune des deux équations : l’une sera explicite en temps et l’autre sera implicite en temps. Ce type de schéma est généralement appelé IMPES (IMplicite Pressure and Explicite Saturation). Le principe de cette méthode est de discré- tiser l’équation que l’on résout pour la variable pression de façon implicite et l’équation que l’on résout pour la variable saturation de façon explicite. Il faut également faire l’hy- pothèse que le terme de pression capillaire intervenant dans le terme de flux de gaz est invariant au cours d’un pas de temps, c’est à dire qu’il faut le rendre explicite (Aziz and Settari, 1979). La première étape du processus de résolution consiste donc à calculer la pression dans la phase gazeuse en utilisant les valeurs des saturations obtenues au pas

de temps k. Ensuite, la saturation est explicitement calculée en utilisant les valeurs de pression calculées implicitement. Enfin, la pression capillaire est mise à jour en utilisant la valeur de la saturation. La stabilité des méthodes IMPES est contraignante du point de vue des pas de temps et d’espace qu’il est possible d’utiliser. En effet, le caractère explicite de l’équation pour la saturation rend le schéma instable dans certaines conditions. Il est d’ailleurs possible de déterminer un critère de stabilité de ce type de schéma, dans le cas de fluides compressibles et incompressibles (cf. Aziz and Settari (1979) par exemple). La condition de stabilité de ce type de méthode devient en particulier extrêmement contrai- gnante dans les zones où de forts contrastes spatiaux de saturation peuvent apparaître. Ceci est en particulier le cas lorsque l’on cherche à injecté une phase mobile (liquide par exemple) dans un milieu poreux dont les pores sont entièrement ou partiellement occupés par une autre phase mobile (gaz par exemple). Partant de ce constat, Chen et al. (2004) développent une méthode IMPES améliorée afin de profiter à la fois de la stabilité ga- rantie par le caractère implicite de l’équation pour la pression et de la rapidité de calcul garantie par le caractère explicite de l’équation pour la saturation. Cette méthode IMPES améliorée consiste simplement à résoudre implicitement la pression sur un pas de temps dt grand et de résoudre explicitement la saturation sur des pas de temps plus petits dt/N permettant de garantir la stabilité du système. Les tests menés par Chen et al. (2004) mettent en évidence que la méthode IMPES améliorée est aussi précise que les méthodes FIM mais avec des temps de calcul beaucoup plus faibles. De plus, le fait d’adopter des pas de temps plus faibles pour résoudre la saturation permet de conserver la stabilité du schéma. Nous ne présentons pas ici les méthodes complètement explicites pour les écoulements diphasiques en milieu poreux puisque ces méthodes sont peu développées.

Dans le cas où l’on considère un système d’équations de dimension plus importante, par exemple dans le cas d’écoulements diphasiques en présence de transport d’espèces chimiques, il est possible de développer le même type d’approche. On appellera alors FIM les méthodes où l’ensemble des équations du système sont traitées implicitement et IMPES les méthodes où seule l’équation pour la pression est traitée implicitement. Il est également possible de "moduler" le degré d’ "implicité" du schéma utilisé. En effet, pour un système de dimension N B, le nombre de variables que l’on résoudra de façon implicite peut varier de 0 à N B. Dans sa thèse, Cao (2002) développe un outil de simulation numérique permettant de choisir le degré d’ "implicité" du système. Il conclut d’ailleurs, que le meilleur compromis entre stabilité et temps de calcul est le schéma IMPSAT (IMplicite Pressure and SATuration). Ce schéma se construit comme le schéma IMPES mais en résolvant implicitement les équations liées à la pression et à la saturation et en calculant explicitement les autres variables (composition, température).

çon permanente dans le domaine de la simulation de réservoirs pétroliers, il est possible d’utiliser l’une ou l’autre des méthodes de discrétisation temporelle à différents points du maillage. En effet, le besoin d’ "implicité" du schéma dépend grandement de la localisation du point de calcul dans l’espace et dans le temps. Il est donc possible de développer des schémas appelés AIM (Adaptive Implicite Method), pour lesquels on utilise par exemple un schéma de type FIM à certains points cruciaux où le risque d’instabilité est élevé et un schéma de type IMPES aux points du domaine où ce risque est restreint. Russell and Young (1993) développent un critère de choix entre les méthodes FIM et IMPES basé à la fois sur des critères de stabilité et de variation des variables de pression et de satura- tion. Dans sa thèse, Cao (2002) propose quant à lui un nouveau schéma de type AIM qui mélange les approches IMPSAT et FIM.

Choix du schéma utilisé Nous avons pris le parti de développer un outil de simulation robuste, c’est pourquoi, dans un premier temps, nous avons choisi d’utiliser une approche de type FIM de façon à garantir une stabilité maximum du code de calcul. Néanmoins, suivant les recommandations fournies par Cao (2002) il sera intéressant dans le futur d’implémenter un schéma de type IMPSAT afin d’obtenir éventuellement un meilleur compromis entre temps de calcul et stabilité.