2.3 Modèle macroscopique
2.3.1 Loi de Darcy
La description de la conservation de la quantité de mouvement pour des écoulements diphasiques en milieu poreux à l’échelle de Darcy est largement documentée dans la littéra- ture. Par conséquent, nous ne décrirons pas explicitement le développement d’un nouveau modèle de conservation de quantité de mouvement macroscopique et nous nous baserons sur les modèles classiques disponibles dans la littérature. On admettra ici que les couplages ne viennent pas fortement perturber l’écoulement diphasique, ou, en d’autres termes, que les résultats de changement d’échelle pour un écoulement diphasique simple sont toujours valables. Cela s’appuie sur le fait que, dans les installations de stockage considérées, les temps caractéristiques pour les mécanismes qui pourraient venir perturber le bilan de quantité de mouvement, comme le changement de phase ou les termes sources réactifs, sont très longs par rapport aux temps caractéristiques associés au déplacement des fluides dans le cas de l’injection de lixiviat.
Comme nous l’avons vu dans le Chapitre 1, la loi permettant de décrire les écoulements monophasiques en milieu poreux est appelée loi de Darcy, du nom de son inventeur. Cette loi est une loi empirique, mais beaucoup de travaux théoriques ont permis de la valider pour les écoulements monophasiques incompressibles. Par exemple, sous des hypothèses d’incompressibilité, Sanchez-Palencia (1980), Whitaker (1986a) ou Whitaker (1999) ap- pliquent la méthode de prise de moyenne volumique au problème microscopique décrit par les équations 2.52 à 2.62. Les résultats obtenus permettent ainsi de valider théoriquement l’utilisation de la loi de Darcy dans le cas de milieux poreux homogènes et hétérogènes.
Néanmoins, il s’avère que la forme de l’équation de Darcy utilisée pour décrire les écoulements monophasiques n’est pas adaptée pour décrire les écoulements diphasiques en milieu poreux. C’est pourquoi de nombreux travaux ont permis de développer une forme adaptée de l’équation de Darcy qui permet de décrire les écoulements conjoints de deux phases mobiles. Les lois d’écoulements obtenues sont alors appelée lois de Darcy gé- néralisées. Pour plus de détails quant au développement théorique de ces lois, on pourra se référer aux travaux de Whitaker (1986b), Auriault (1987), Lasseux et al. (1996), Hassani- zadeh and Gray (1997), Hilfer (1998) ou Wang (2000). Les équations de Darcy généralisées sont présentées par les relations 2.76 pour la phase gaz et 2.77 pour la phase liquide.
γ D vγ Eγ = −1 ηγ kγ· ∇ hpγi γ − ργg + λkγλ·vλ λ (2.76) λvλ λ = − 1 ηλ kλ· ∇ hpλi λ − ρλg + γkλγ · D vγ Eγ (2.77)
Les termes λkγλ·vλ λ et γkλγ· D vγ Eγ
représentent des termes de couplages visqueux entre les deux phases mobiles présentes dans le milieu.
Le principe général utilisé pour obtenir la forme macroscopique des équations d’écou- lements diphasiques appelées lois de Darcy généralisées consiste à appliquer une méthode de changement d’échelle aux équations de conservation de quantité de mouvement écrite à l’échelle du pore. Par exemple, Hilfer (1998) applique la théorie du mélange aux équations de conservation de masse des phases mobiles, de conservation de quantité de mouvement ainsi que de conservation de l’énergie pour obtenir des équations macroscopiques d’écou- lement similaires à celles présentées par les équations 2.76 2.77. Les travaux de Hilfer (1998) montrent que les coefficients de pression capillaire et de perméabilité relative ne sont pas uniquement fonction des valeurs des fractions volumiques de chacune des phases considérées. En effet, d’un point de vue théorique, ces coefficients sont fortement dépen- dants d’autres variables macroscopiques comme la pression, les variables cinétiques, etc ... D’autres méthodes de changement d’échelle permettent d’obtenir le même type de des- cription de la loi de Darcy généralisée. Par exemple Auriault (1987) aboutit au même résultat en utilisant la méthode d’homogénéisation spatiale appliquée aux équations de Stokes. De même, Whitaker (1986b) ou Lasseux et al. (1996) appliquent la méthode de prise de moyenne volumique aux mêmes équations de Stokes décrivant un écoulement diphasique à l’échelle des pores et obtiennent un modèle macroscopique similaire.
Enfin, dans la plupart des cas, les termes de couplages visqueux introduits dans les équations 2.76 et 2.77 sont souvent négligeables et difficiles à observer expérimentale- ment. Par exemple, Zarcone (1994); Zarcone and Lenormand (1994) montrent que, pour un milieu poreux réel suffisamment complexe (par opposition à des milieux simples comme certains assemblages périodiques), ces termes de couplages visqueux ne sont pas mesu- rables expérimentalement. Ceci peut s’expliquer par le fait que le fluide le plus mouillant envahit préférentiellement les plus petits pores. Cela implique que, finalement, la surface de contact entre les fluides est faible et que les effets d’entraînement visqueux d’un fluide sur l’autre le sont également. Par conséquent, dans le cas où les couplages visqueux sont négligeables, les équations décrivant les lois de Darcy généralisées sont décrites par les relations 2.78 et 2.79. γ D vγ Eγ = − 1 ηγ kγ· ∇ hpγiγ− ργg (2.78) λvλ λ = −1 ηλ kλ· ∇ hpλiλ − ρλg (2.79)
Dans ce type de modèle, les tenseurs de perméabilité de chacune des deux phases pré- sentes se décomposent en un produit d’un tenseur de perméabilité intrinsèque au milieu
poreux et d’un coefficient de perméabilité relative (cf. équations 2.80 et 2.81). Les coeffi- cients de perméabilité relative permettent de pénaliser les vitesses d’écoulement de l’une des deux phases en fonction du volume qu’occupe l’autre phase au sein de l’espace poral.
kγ = KkRγ (2.80)
kλ = KkRλ (2.81)
Ce type de modèle est très couramment utilisé dans le domaine de l’ingénierie pé- trolière et de l’hydrologie (voir Aziz and Settari (1979) ou Bastian (1999) par exemple). Néanmoins, il convient de conserver à l’esprit que cette formulation n’est pas nécessai- rement valable à toutes les échelles (cf. Quintard and Whitaker (1988)). Dans un souci de simplicité et de réalisme, dans notre étude, nous utiliserons préférentiellement le jeu d’équations 2.78 et 2.79 plutôt que 2.76 et 2.77 pour décrire les lois de Darcy généralisée.