Discrétisation spatiale

La discrétisation spatiale du système d’équations formé par les relations 2.226 à 2.233 et de l’équation 2.203 est le second enjeu d’importance que nous devons traiter. Nous distinguerons deux approches différentes suivant les termes que nous considérons.

Considérons tout d’abord la discrétisation des équations de transport des espèces et de l’énergie. En ce qui concerne les termes diffusifs, nous utilisons des schémas centrés d’ordre 2 particulièrement adaptés pour traiter ce type d’opérateur. Ce type de schéma présente l’avantage d’être précis et est utilisé dans la plupart des codes de calculs basés sur la méthode des volumes finis. En revanche, en ce qui concerne les termes hyperbo- liques (termes convectifs), on utilisera des schémas amonts d’ordre 1 (cf. Patankar (1980)) plutôt que des schémas centrés. En effet, ce type de schéma est stable et permet de récupé- rer plus précisément la position des "fronts" de concentration ou de température lorsque l’on introduit des discontinuités locales des champs de concentration et de température. Néanmoins, ce type de schéma introduit de la diffusion artificielle. Cette diffusion artifi- cielle ou diffusion numérique est d’autant plus importante que le pas d’espace considéré est grand. La diffusion numérique est due au fait que les schémas d’ordre 1 comme le schéma amont sont intrinsèquement diffusifs. Néanmoins, les schémas d’ordre supérieur

(comme par exemple le schéma centré d’ordre 2) sont sujets à produire des oscillations en particulier au niveau des discontinuités.

Depuis le début des années 80, des alternatives aux schémas classiques amont d’ordre 1 et centré d’ordre 2 ont été développées afin à la fois de suivre correctement les "fronts" et de diminuer la diffusion numérique. On citera en particulier les schémas de type TVD (Total Variation Diminishing). Les travaux fondateurs sont dus à Harten (1983), Harten (1984) et Sweby (1984) et ont ensuite été poursuivis et améliorés par de nombreux au- teurs (Cox and Nishikawa, 1991). Ces travaux ont mené à la mise au point d’une classe de méthodes numériques qui produit des résultats non oscillatoires au voisinage des discon- tinuités et précises au moins au second ordre hors des fronts. Une méthode de résolution est dite TVD si elle garantit le respect de la monotonie de la solution ce qui permet de garantir la stabilité du schéma, y compris dans les zones de fortes variations des gradients. Le caractère TVD d’un schéma est lié à l’existence d’une quantité minimale de viscosité numérique nécessaire dans ce schéma. Les fondements théoriques des méthodes TVD ont été développés pour les problèmes scalaires unidimensionnels. En pratique, l’expérience accumulée dans de nombreuses applications à des problèmes non linéaires et/ou multidi- mensionnels, a montré que la théorie unidimensionnelle scalaire peut servir de ligne de conduite pour étendre ces schémas. Les méthodes permettant de déterminer ce coefficient de viscosité numérique sont de deux types :

– Les méthodes à limitation de pente. – Les méthodes à limitation de flux.

Un grand nombre de limiteurs ont été mis au points (Roe, 1983; Van Leer, 1973). Nous ne les décrirons pas en détail ici. Historiquement, les méthodes TVD ont été presque exclusivement appliquées à des schémas à haute précision de type upwind (cf. Wu and Forsyth (2006) par exemple).

Enfin, d’autre méthodes numériques encore plus performantes dites ENO (Essentially Non Oscillatory) ou encore UNO, WNO mènent à des ordres de précisions supérieurs à 2 (Nessyahu and Tadmor, 1990; Kurganov and Tadmor, 2000). Nous ne les développerons pas ici.

L’ensemble des méthodes proposées ci-dessus est valable pour traiter les termes hyper- boliques, qu’ils interviennent dans les équations de transport de masse ou dans l’équation de transport de la chaleur. Néanmoins, comme nous l’avons présenté dans l’introduction de cette partie, le système formé par les équations 2.226 et 2.227 présente la particularité d’être globalement parabolique, mais il peut dégénérer vers un système hyperbolique dans certaines conditions de saturation. C’est pourquoi nous nous intéressons en particulier au système formé par les équations 2.226 et 2.227.

lier. On pourra notamment se reporter aux travaux de Aziz and Settari (1979), Brenier and Jaffre (1989) ou plus récemment Eymard and Sonier (1994) ou Ewing (1997). Comme le mentionnent Aziz and Settari (1979) c’est le caractère non linéaire introduit par les termes de perméabilités relatives qui rend la résolution des équations couplées 2.226 et 2.227 com- plexe. De ce point de vue, Aziz and Settari (1979) distinguent les non linéarités "faibles" et les non linéarités "fortes". Les non linéarités dites faibles concernent les variables qui ne dépendent que de la pression de l’une des phases. Dans ce cas, un schéma centré d’ordre 2 peut être utilisé, la valeur de la fonction à la frontière aval (indice i + 1/2) peut être calculée en prenant la moyenne harmonique ou arithmétique de la fonction considérée entre les point d’indice i et i + 1 (cf. équation 4.3).

Fig. 4.1 – Représentation 1D du maillage utilisé

fi+1/2(S) =

f (Si) + f (Si+1)

2 (4.3)

Les non linéarités fortes correspondent aux variables qui dépendent fortement de la saturation. C’est en particulier le cas des fonctions de perméabilité relative et de pression capillaire lorsque l’on considère deux phases mobiles. Les termes de transport advectifs présentent alors des non linéarités fortes. Dans ce cas si l’on utilise l’équation 4.4 pour cal- culer la valeur de la fonction f (S) au point d’indice i+1/2, le schéma est instable. Comme le présente Aziz and Settari (1979), il convient alors d’utiliser un schéma amont pour éva- luer ces fonctions (kR(S) ou PC(S)) au point de coordonnée i + 1/2. Le décentrement de

ces fonctions dépend alors du signe de la vitesse du fluide considéré.

fi+1/2(S) =

(

f (Si) si V_λx;i+1/2 > 0

f (Si+1) si V_λx;i+1/2 < 0

(4.4)

Dans leurs travaux Brenier and Jaffre (1989) montrent que le schéma dit "schéma des pétroliers" et introduit par Aziz and Settari (1979) est consistant et converge dans le cas d’écoulements diphasiques. Les propriétés de ce type de schéma sont comparables à celle du schéma de Godunov, plus complexe à mettre en oeuvre. Enfin, Brenier and Jaffre (1989) proposent une méthode simple permettant d’augmenter l’ordre du "schéma

des pétroliers" en 1D. Le schéma proposé possède des propriétés TVD et permet donc de diminuer l’effet de la diffusion numérique introduite par ce type de schéma amont.

Depuis les années 80 de nombreuses études ont d’ailleurs permis de développer un grand nombre de schémas de type TVD ou d’ordres plus élevés permettant d’obtenir des solutions précises (peu de diffusion numérique) et stable pour résoudre les systèmes décrivant les écoulements couplés de deux phases mobiles en milieu poreux. On pourra se référer en particulier aux travaux de Bastian (1999), Ewing (1997), Geiger et al. (2004) ou encore Chen (2003); Chen et al. (2006).

Choix du schéma utilisé Dans le code de calcul MATAABIO, nous utilisons un

schéma centré d’ordre 2 pour discrétiser les opérateurs de type diffusifs. Nous utilise- rons en revanche un schéma décentré amont pour les termes non linéaires de transport convectif, afin de garantir la stabilité de la méthode. Dans le cas particulier des équations 2.226 et 2.227, nous utilisons le schéma amont dit "schéma des pétroliers" qui présente l’avantage d’être stable. Néanmoins, comme nous le verrons par la suite, le caractère non- linéaire introduit dans ces équations par les termes de perméabilité relative impose une condition de CFL sur les pas de temps et d’espace.