5.4 Expansion du quasicondensat
6.1.3 Spectroscopie apr` es temps de vol
etant 2~kL. Nous ne d´etaillerons pas plus ce calcul.
De nombreux effets parasites peuvent cependant obscurcir la mesure et le diagnostic. Jus-qu’ici, nous avons consid´er´e une situation id´eale, o`u le pulse ´etait tr`es long devant l’inverse de la largeur de la r´esonance (pour pouvoir appliquer directement la r`egle d’or de Fermi) et o`u la phase relative des deux lasers ´etait parfaitement d´efinie. Nous discutons plus loin longuement que ces simplifications ne s’appliquent pas dans notre exp´erience, et dans ce paragraphe nous nous contentons de noter que ces deux effets conduisent `a une ind´ etermi-nation sur la fr´equence de r´esonance. La fonction δ qui apparaˆıt dans (6.8) doit alors ˆetre remplac´ee par une fonction de r´esolution, qui tient compte `a la fois de l’´elargissement «de Fourier» par le temps de pulse, et des variations al´eatoires de la phase relative des deux lasers (ainsi que d’autres contributions mentionn´ees dans la suite). Le spectre final (`a quatre photons) est donc obtenu en convoluant la formule «id´eale» (6.10) par une fonction de r´esolution
fres(ω, TP) = h|
Z TP
0
e−i(16ωR+4kLpx/M−2ω)t0+i2δφL(t0)dt0 |2i
= sin2CωTP
2
∗DSPδφL[2ωres(px)−2ω] (6.11) avecωres = 8ωR+2kLpx/M. Nous avons indiqu´e par des crochets une moyenne statistique sur diff´erentes r´ealisations de l’exp´erience, et par ∗ un produit de convolution. Les fluctuations de la phase relative δφL des lasers formant le r´eseau de Bragg d´eterminent le spectre de bruit du r´eseau optique, d´efini ici comme la densit´e spectrale de puissance DSPδφL associ´ee
`
a exp(i2δφL) (cette expression suppose que les fluctuations d’amplitude du r´eseau sont n´ e-gligeables). Nous discuterons plus loin une mesure optique de cette fonction de r´esolution, et examinerons son effet sur les spectres apr`es avoir dress´e une liste des effets qui y participent.
6.1.3 Spectroscopie apr` es temps de vol
Nous n’avons pas ´evoqu´e l’influence du potentiel de pi´egeage dans le paragraphe pr´ec´edent.
En effet, nous effectuons l’exp´erience de Bragg apr`es la coupure du pi`ege, suivie d’un court temps de vol, afin de r´eduire la densit´e de l’´echantillon. Ceci est n´ecessaire pour ´eviter deux effets collisionnels qui empˆecheraient une interpr´etation quantitative des spectres de Bragg, que nous discutons tour-`a-tour.
5Avec un transfert `a six photons et plus, on doit utiliser une puissance laser trop ´elev´ee, qui induit des effets de diffusion incoh´erente, si bien que nous nous sommes limit´es `a quatre photons.
Elargissement collisionnel dˆu au champ moyen : La premi`ere limitation est li´ee `a l’approximation d’impulsion, qui n’est pas vraiment justifi´ee pour les transferts d’impulsion consid´er´es si on sonde un condensat pi´eg´e. Pour le voir, on peut consid´erer le raisonnement classique suivant. Un atome initialement dans le condensat, au point r, avec une impulsion
~k poss`ede une ´energie classique Ei = ~2k2/2M +gn0(r). S’il est diffract´e, son impulsion devient~(k+q) et l’´energie finale est Ef =~2(k+q)2/2M + 2gn0(r). Dans ce point de vue classique, la condition de r´esonance devient donc locale,
Ef −Ei= 4ER + 2~vRkx+gn0(r) = ~ω. (6.12) La contribution moyenne du terme d’interactions s’obtient par une moyenne spatiale sur le profil de densit´e (parabolique), et m`ene `a un d´eplacement de la r´esonance d’une quantit´e 2µ/7~[99, 97, 218]. En calculant la variance, on obtient un ´elargissement de cette r´esonance par l’´energie de champ moyen, d’une quantit´e [99, 97, 218] :
∆mf = r 8
137µ. (6.13)
Si on n´eglige le terme de champ moyen, la largeur de la r´esonance est la largeur Doppler (6.9), qui est la quantit´e qui nous int´eresse. On pourra donc n´egliger la contribution du champ moyen et utiliser l’approximation d’impulsion `a condition que la largeur Doppler soit grande devant l’´elargissement de champ moyen, soit
r 8 137
µ
∆ωD 1. (6.14)
L’´etude plus rigoureuse men´ee dans [97] confirme ce raisonnement classique. Dans notre cas, l’extension du condensat selon x est grande, `a cause de la fr´equence de pi´egeage modeste dans cette direction. En utilisant nos param`etres typiques, on trouve que la largeur Dop-pler d´epasse le potentiel chimique quand la longueur de coh´erence devient inf´erieure `a 30 µm environ. Dans notre exp´erience, de telles longueurs de coh´erence sont atteintes, si bien qu’il serait envisageable de d´econvoluer les donn´ees pour en extraire une largeur Doppler.
Cependant, un deuxi`eme probl`eme plus s´ev`ere intervient, lui aussi li´e aux collisions, et `a l’extension du condensat selonx.
Collisions entre deux paquets d’ondes de vitesse relative ´elev´ee : En effet, la vitesse de groupe du paquet d’ondes diffract´e est grande par rapport `a la vitesse du son dans le condensat, pr´ecis´ement pour se placer dans le r´egime d’impulsion. Par cons´equent, des collisions ´elastiques se produisent entre le condensat au repos et les atomes diffract´es, pratiquement avec le taux classique γcoll = n0σvrel, la vitesse relative ´etant vrel = 2vR [15, 227]. Ce taux est tr`es elev´e devant la p´eriode axiale, si bien que le libre parcours moyen est tr`es petit devant la longueur du condensat. Alors, les atomes diffract´es vont subir un grand nombre de collisions avant de se s´eparer du condensat. Ces collisions se comprennent en fait
`
a partir de l’´equation de Gross-Pitaevskii [227], si on se rappelle que l’amplitude de diffusion dans l’onde s admet l’expansion : f ≈ −a+ika2+· · ·. Avec le vecteur d’onde 2~kL, on a ka∼0,1 et le terme imaginaire n’est plus tout `a fait n´egligeable. Il intervient dans l’´equation de Gross-Pitaevskii comme un terme d’amortissement, avec le taux 8π~2kLa2n0/M =γcoll/2.
Ces collisions sont isotropes et redistribuent l’impulsion moyenne 2~kL sur une «sph`ere de
diffusion», centr´ee dans l’espace des impulsions autour de ~kL et de rayon~kL : en d’autres termes, le condensat est dispers´e vers un grand nombre d’´etats quantiques correspondants
`
a des impulsions moyennes diff´erentes. Ainsi, au lieu d’observer deux nuages avec une faible dispersion en vitesse et nettement s´epar´es apr`es le temps de vol, on a au contraire deux nuages diffus (voir l’exemple de la figure 6.4). Dans ces conditions, on comprend qu’il soit difficile de mesurer le nombre d’atomes diffract´es, d’autant que les collisions ´elargissent la r´esonance d’un facteur γcoll, qui refl`ete la dur´ee de vie finie des excitations rapides g´en´er´ees par le potentiel optique. Notons que les impulsions apr`es collision, qui satisfont simultan´ement aux relations de conservation de l’impulsion et de l’´energie, ne se distribuent rigoureusement sur une sph`ere que si l’impulsion initiale est tr`es grande devant la vitesse du son (ce qui correspond `a la situation de [15]). On voit sur la figure 6.4 que si l’impulsion initiale ~qi v´erifie ~qi M cS, la diffusion est fortement supprim´ee. Ceci est une cons´equence de la forme de la relation de dispersion `a basse ´energie, et peut donc se comprendre comme une cons´equence de la superfluidit´e du condensat. Sur la figure 6.4, on a une impulsion initiale
~qi = 2~kL ∼ 2M cS, et dans ces conditions, on observe un halo collisionnel de forme ovale, en accord avec nos observations.
x
q// [1/ζ]
q [1/ζ] -1 0 1
2
4 0 T
Fig. 6.4 – Collisions entre un condensat au repos et un condensat rapide cr´e´e par diffraction de Bragg. L’image de gauche est prise en l’absence du r´eseau de diffraction. En appliquant ce dernier dans des conditions identiques, les collisions ´elastiques redistribuent les atomes vers de nombreux ´etats d’impulsion et d´etruisent le condensat (image du milieu). Pour mettre l’effet en ´evidence, on a diffract´e une fraction importante des atomes (de l’ordre de 50 %).
Nous avons ´egalement indiqu´e sur la figure de droite les vecteurs d’onde autoris´es,q// dans l’axe des faisceaux et q⊥ perpendiculairement, pour trois valeurs de l’impulsion initiale, 0,5 , 2 et 4 M cS.
Super-radiance : Enfin, mentionnons bri`evement qu’avec les valeurs de densit´es dans le pi`ege, de puissances lumineuses et d’anisotropies atteintes dans nos exp´eriences, des effets de super-radiance se manifestent [228]. Un flux de photons dirig´e dans l’axe long du pi`ege se construit alors exponentiellement vite par ´emission «coop´erative», `a partir de quelques
´
ev`enements initiaux de diffusion Rayleigh. Par conservation de l’impulsion, des atomes ayant
´
emis un photon reculent dans la direction de l’axe. C’est un effet qui a lieu en pr´esence d’un seul faisceau laser, mais comme les atomes ayant diffus´e un photon reculent dans la mˆeme direction que ceux qui sont diffract´es par le r´eseau optique, ils gˆenent consid´erablement la mesure de la distribution en impulsion.
Pour ´eviter tous ces effets li´es `a la densit´e, nous autorisons un temps de vol t = 2 ms avant d’appliquer les faisceaux de Bragg. Ainsi, la densit´e chute de deux ordre de grandeur [(ω⊥t)2 ≈ 91]. L’´elargissement dˆu au champ moyen n’est alors plus que d’une dizaine de Hz, et le libre parcours moyen devient grand devant la taille du nuage, si bien qu’on peut en bonne approximation consid´erer qu’on sonde des particules libres et ind´ependantes. De plus, d’apr`es l’´etude de l’expansion du quasi-condensat men´ee au chapitre 5, sipφ>3pexp, la distribution en temps de vol est quasiment similaire `a celle du quasi-condensat dans le pi`ege, alors qu’`a suffisamment basse temp´erature, on a pexp pφ et les fluctuations de phase sont masqu´ees par le champ moyen. Heureusement, les exp´eriences pr´esent´ees dans ce chapitre se situent dans le premier cas de figure, grˆace au rapport d’aspect important de notre pi`ege et au nombre d’atomes relativement faible (N0 ∼ 5×104) : en effet, plus λ augmente et N0 diminue, plus pexp diminue et plus ~/Lφ augmente (les autres param`etres ´etant fix´es).
En fait, nous pourrons consid´erer `a une bonne approximation que la distribution axiale en impulsion est pratiquement celle d’un quasi-condensat pi´eg´e (nous revenons sur ce point dans la suite).