Approximation de densit´ e locale

a la pression du nuage thermique et au confinement radial (pression quantique), et elle permet de r´esoudre analytiquement le probl`eme d’un quasi-condensat en expansion [42, 189]. Nous reviendrons plus loin sur son domaine d’application.

X= x + x' 2

X= 0.7 X= 0.5

s = x - x'

X= 0.5

∆φ

1.0 0.5 0.0 1.0

0.5 0.0 4

2

0

1.0 0.5 0.0

Fig. 5.4 – Fonction de corr´elation de la phase d’un quasi-condensat 3D, pour trois positions moyennesx, en fonction de la s´eparations. On a trac´e en traits pleins les r´esultats du calcul num´erique (5.28), et en pointill´es l’approximation de densit´e locale (5.42).

5.2.2 Approximation de densit´ e locale

Quasi-condensat dans un pi`ege cylindrique : Nous nous tournons donc vers le cas d’un quasi-condensat axialement confin´e sur un segment de longueur 2L (potentiel axial plat), alors que le confinement radial reste harmonique. La densit´e sur l’axe est uniforme pour

−L < x < L, et le profil radial de densit´e est donn´e par l’´equation de Gross-Pitaevskii (nous nous pla¸cons pour le moment `a temp´erature finie, mais suffisamment basse pour n´egliger le champ moyen du nuage thermique) :

− ~² 2M

∆√ n₀

√n₀ +1

2M ω²_⊥ρ²+gn₀ =µ. (5.31) Dans le r´egime de Thomas-Fermi 3D, le terme de pression quantique radial est n´egligeable et

`

a basse temp´eraturen₀( ˜ρ) =n_0m(1−ρ˜²). Dans le r´egime 1D, on retrouve la fonction d’onde du fondamental, n₀ =|φ₀(ρ)|².

Les excitations ´el´ementaires de ce syst`eme peuvent se classer suivant les nombres quan-tiques ν = (n⊥, m, k), avec n⊥ le nombre de noeuds dans la direction radiale, m le nombre quantique orbital etk le vecteur d’onde selon l’axe du cylindre. Pour la branche d’excitations axiale, de premi`ere importance ici, les nombres quantiquesn⊥ etmqui caract´erisent le mou-vement radial sont nuls. En introduisant une enveloppe de densit´e radialeA_k(ρ) (dimensions

L⁻²), normalis´ee comme R

d⁽²⁾ρ A_k(ρ) = 1, on peut alors ´ecrire les fluctuations de phaseφ_k et de densit´e 1D δn_k (dimensionL⁻¹) comme

δn_ν(ρ, x) = δn_kA_k(ρ)e^ikx (5.32)

φ_ν(x) = −iφ_ke^ikx (5.33)

Une fois les amplitudes (5.32) et (5.33) report´ees dans les ´equations de Bogoliubov-de Gennes (1.35,1.36), on obtient les ´equations suivantes pour les excitations axiales

~ω_k^Bδn_kA_k(ρ) = ~k²

Le terme de gradient transverse dans le membre de droite de (5.35) ne joue aucun rˆole pour les excitations consid´er´ees : pour que la condition ω_k^B ω⊥ soit satisfaite, ils doivent ˆetre n´egligeables⁹. Dans le r´egime de Thomas-Fermi 3D, cela signifie que l’enveloppe radiale est pratiquement plate (A_k ≈1/πR²) dans le volume du condensat, et chute tr`es vite en dehors.

Dans le r´egime de Thomas-Fermi 1D, au contraire, la d´ependance radiale se factorise et A_k =|φ⊥(ρ)|². Au total, dans ces deux r´egimes et dans les cas interm´ediaires, on peut donc n´egliger le terme de gradient transverse, et les ´equations qui d´eterminent les excitations axiales ne d´ependent alors de ρ qu’`a travers n0(ρ) et Ak(ρ). Suivant la proc´edure mise en avant par S. Stringari dans [90], on se d´ebarasse de la d´ependance en ρ en moyennant sur les coordonn´ees radiales, pour d´ecoupler les degr´es de libert´e transverses et axiaux.

On peut comprendre cette proc´edure comme une ´elimination adiabatique des degr´es de libert´e transverses, beaucoup plus rapides que les degr´es de libert´e axiaux qui dominent la dynamique«macroscopique». On obtient alors des ´equations effectives pour la dynamique axiale pratiquement identiques aux ´equations de Bogoliubov pour un gaz 1D confin´e sur un segment,

avec la densit´e 1D, ou nombre d’atomes par unit´e de longueur, n₁ = dans le cas homog`ene pour les amplitudes de Bogoliubov. Notons qu’en g´en´eral, la vitesse du son peut d´ependre dek (quand k.R<sup>−1</sup>), `a cause de la d´ependance radiale des fluctuations

x

2 L

-R R n

r

-L L x

Fig. 5.5 – Condensat dans un pi`ege cylindrique. Le profil de densit´e `a l’´equilibre est para-bolique dans les directions transverses, et plat axialement.

de densit´e. Cet effet, qui diminue la vitesse de groupe des excitations, et donc la vitesse critique au dessus de laquelle la superfluidit´e disparaˆıt, a ´et´e ´etudi´e dans [207].

Passage au cas du gaz pi´eg´e : Nous incorporons maintenant le potentiel de pi´egeage axial au mod`ele, en consid´erant que son effet est de modifier localement le potentiel chimique selon (5.30)<sup>10</sup>. On doit donc ajuster le profil de densit´e axial `a ce potentiel chimique local [132]. On trouve comme au paragraphe pr´ec´edent le potentiel chimique local `a l’´equilibre, µ_e.l.[n₁], en l’absence de confinement axial, en fonction de la densit´e 1D n₁. Dans les limites de Thomas-Fermi 1D et 3D, on a respectivement µe.l.[n1] = 2an1 et µe.l.[n1] = 2√

an1. On trouve alors le profil de densit´e int´egr´e en ´egalant les deux expressions,

µ_e.l.[n₁(x)] +V_ext =µ, (5.40)

avec µ le potentiel chimique global¹¹. Cette modification implique donc les substitutions suivantes :

n1 → n1(x) c_1Dp

f(x) → c_1Dp f(x)

L → L

(5.41) La quantit´e f(x) = µ_e.l.[n₁(x)]/µ_e.l.[n₁(˜0)] se r´eduit en fait f(x) = 1−x² d’apr`es (5.40).

Les excitations sont ´egalement affect´ees par cette proc´edure, mais l’´energie de chaque mode,

~c_1Dk, ne doit pas d´ependre dex apr`es substitution. Pour satisfaire cette condition, on doit donc utiliser un vecteur d’onde local («quasi-classique»)k →k/p

f(x), et la densit´e d’´etats locale N(k, x) = L/πp

f(x). Le profil de phase se d´eduit alors¹² de (5.18,5.30,5.41), ce qui permet de calculer la variance des fluctuations de phase,

∆φ²(x, s)≈ M k_BT

~²n₁(x) |s|= T T_φ

n₁(0) n₁(x)

|s|

L , (5.42)

ne d´epend alors que de n₁(x) et de la temp´erature caract´eristique k_BT_φ = ~²n₁(0)/M L.

La longueur de coh´erence pr`es du centre est alors L_φ = LT_φ/T. Le profil de densit´e 1D

9Quand l’´energie de l’excitation approcheω⊥, cet argument peut ˆetre mis en d´efaut. Les premi`eres cor-rections ont ´et´e calcul´ees par S. Stringari dans le cas 3D [90]. Elles sont faibles mˆeme sikR∼1.

10Cette approximation n’a de sens que siµ~ωx, qui est le r´egime d’int´erˆet.

11Cette ´equation permet de d´efinir la longueurLdu (quasi-)condensat parµe.l.[n1= 0] +¹₂M ω²_xL²=µ.

12Comme l’int´egrande est born´e par 1/k², on peut ´etendre la borne sup´erieure `a l’infini. Dans le pr´esent contexte, comme en fait k.R⁻¹, cela donne le comportement correct de la variance pour des distances s grandes devantR qui est le cas qui nous int´eresse.

adimensionn´e, n₁(x)/n₁(˜0), entre comme un param`etre dans l’´equation qui d´etermine ∆φ<sup>2</sup>. Il est int´eressant de noter que cette expression est universelle, dans le sens o`u elle ne d´epend pas de la forme pr´ecise de la relation de dispersion. Si le profil complet `a trois dimensions n<sub>0</sub>(r) est connu, on obtient ais´ement le nombre d’atomes par unit´e de longueur par int´egration sur les degr´es de libert´e transverses. Nous allons examiner les deux cas limites du r´egime de Thomas-Fermi `a 3D et `a 1D, o`u les calculs sont simples.

R´egime de Thomas-Fermi 3D : Dans le r´egime de Thomas-Fermi 3D, l’int´egration radiale doit ˆetre limit´ee `a la section transverse o`u n₀ > 0 (i.e. ρ < R). De plus, comme R ∝ √

µ, la borne d’int´egration d´epend de x comme R(x) = R₀√

1−x², avec R₀ le rayon de Thomas-Fermi habituel. On obtient ainsi n₁(x) = ^15N_16L⁰(1−x²)² et, en prenant A_k ≈ 1/πR², on an0Ak ≈πR²n0m/2. La vitesse du son est alors diminu´ee par l’effet d’int´egration, c²_1D ≈U n_0m/2M [208, 209, 90]. Les fluctuations de phase sont contrˆol´ees par la temp´erature k_BT_φ= 15N₀(~ω_x)²/32µ, qui est le r´esultat de la r´ef´erence [41].

R´egime de Thomas-Fermi 1D : Si le confinement transverse est assez fort pour geler le mouvement radial, on retrouve les expressions d´ej`a ´etablies, n<sub>1</sub>(x) = <sup>4N</sup><sub>3L</sub><sup>0</sup>(1−x<sup>2</sup>). Par des calculs analogues `a ceux men´es dans le r´egime 3D, on trouve T_φ = 2N₀(~ω_x)²/3µ. Cela reproduit bien l’expression de la r´ef´erence [199] pour la variance des fluctuations de phase.

1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0

2.0 1.5

1.0 0.5

0.0 séparation s/L

fonction de corrélation C (1)

T = 0

T = 4 Tφ

T = 8 Tφ

Fig. 5.6 – Fonction de corr´elation C⁽¹⁾ d’un quasi-condensat dans un pi`ege tr`es anisotrope.

Les courbes en traits pleins correspondent au calcul num´erique bas´e sur (5.28), et les courbes en traits tiret´es traduisent l’aproximation de densit´e locale (5.43).

5.3 Fonction de corr´ elation spatiale et distribution en