Diffraction d’une onde de mati` ere par une onde lumineuse stationnaire 146

La spectroscopie de Bragg est bas´ee sur la diffraction d’une onde de mati`ere par une onde stationnaire lumineuse. Ces exp´eriences ont une longue histoire : elle commence dans les ann´ees 1980 avec la d´emonstration qu’en analogie avec la diffraction de la lumi`ere par une structure p´eriodique, il ´etait possible de diffracter un jet atomique par un r´eseau lumi-neux form´e de faisceaux lasers contra-propageants [211, 212, 213]. La condition `a remplir pour obtenir une bonne efficacit´e de diffraction est ´evidemment de disposer d’une source dont la longueur de coh´erence transverse est sup´erieure au pas du r´eseau, ce qui ´etait r´ealis´e dans les premi`eres exp´eriences en collimatant s´ev`erement le jet. D’autres types de transi-tions, comme les transitions Raman [214], avec ´echange d’impulsion mais changement d’´etat interne, permettent de mesurer ou de manipuler la distribution en impulsion. Nous

mention-nons particuli`erement les travaux sur les «r´esonances induites par le recul» [215], comme pr´ecurseurs de la technique de spectroscopie de Bragg utilis´ee ici.

Pour un condensat, la longueur de coh´erence est en g´en´eral tr`es grande devant le pas du r´eseau optique, si bien qu’on peut atteindre des efficacit´es de diffraction proches de 100

%, comme l’ont montr´ees les premi`eres exp´eriences men´ees par M. Kozuma et al. [216]. En pratique, au lieu de diffracter un condensat en mouvement sur un r´eseau stationnaire, il est nettement plus simple exp´erimentalement de se placer dans la situation inverse, ´equivalente par changement de rep`ere galil´een. Le condensat est (initialement) au repos, et le r´eseau est mis en mouvement en imposant une diff´erence de fr´equence ω entre les deux ondes progressives qui forment l’onde stationnaire. Pour faciliter la discussion, nous appelleronsL_ω le faisceau laser de vecteur d’onde k_L et de fr´equence ω_L +ω, et L₀ le faisceau de vecteur d’onde oppos´e −k_L, de fr´equenceω_L (voir la figure 6.1). La fr´equence commune ω_L est dans le domaine optique, mais loin de toute r´esonance pour ´eviter les effets de d´ecoh´erence li´es `a l’´emission spontan´ee. L’absorption d’un photon dans une des ondes progressives, par exemple L<sub>ω</sub>, suivie de la r´e´emission stimul´ee dansL<sub>0</sub>, s’accompagne d’un transfert d’impulsion 2~k<sub>L</sub>et d’´energie~ωrepr´esent´e sur la figure 6.1. Ce processus n’est efficace qu’autour de la r´esonance de Bragg, o`u les lois de conservation de l’´energie et de l’impulsion sont v´erifi´ees :

p_f = p_i+ 2~k_L, (6.1)

E_f = E_i+~ω.

Le transfert d’´energie compense alors exactement le gain en ´energie cin´etique, c’est-`a-dire que l’on aω = 4ω<sub>R</sub>, avecω<sub>R</sub> =~k<sup>2</sup><sub>L</sub>/2M la fr´equence de recul `a un photon¹. Si maintenant on consid`ere un atome en mouvement, les fr´equences des deux ondes vues par les atomes sont d´eplac´eesen sens oppos´espar effet Doppler : au total, la r´esonance est d´eplac´ee d’une quantit´e proportionnelle `a la vitesse atomique, et l’efficacit´e de diffraction refl`ete la population de la classe de vitesses r´esonante v_res, qui v´erifie

ω= 4ω_R+ 2k_L·v_res. (6.2)

On peut alors reproduire la distribution en impulsion du nuage en mesurant l’efficacit´e de diffraction en fonction de la fr´equence relativeω [99]. C’est le principe de la spectroscopie en impulsion par diffraction de Bragg, que nous d´etaillons dans la suite de ce chapitre. Cette m´ethode a ´et´e mise au point dans le groupe de W. Ketterle au MIT [99, 217, 218], qui a pu v´erifier ainsi que la longueur de coh´erence du condensat ´etait bien de l’ordre de sa taille (voir le chapitre I).

Ce n’est cependant pas la seule force de la diffraction de Bragg. En effet, nous verrons plus loin qu’elle peut aussi permettre de sonder le spectre des excitations ´el´ementaires du syst`eme [217, 219]. De plus, par diffraction de Bragg, on couple de mani`ere coh´erente deux

´etats d’impulsion du centre de masse diff´erents, et seulement deux `a cause de la condition de r´esonance. On peut donc observer des oscillations de Rabi entre les deux ´etats d’impulsion

1Dans le cas o`u on applique les faisceaux lasers pendant un tempsTPcourt devant l’inverse de la s´eparation en fr´equence entre l’´etat final et l’´etat initial, TP <(4ωR)<sup>−1</sup>, alors la relation de conservation de l’´energie n’est plus s´elective qu’`a ~/TP pr`es, et on observe de la diffraction `a fr´equence nulle. C’est l’analogue du r´egime de Raman-Nath en optique traditionnelle, dans lequel le nombre d’ordres diffract´es et leur population ne d´epend que de ΩT_Pet pas de l’angle d’incidence.

coupl´es par le r´eseau optique (figure 6.2). Aussi est-il possible de s’en servir comme «lame s´eparatrice» (avec un pulse π/2), qui met chaque atome dans une superposition coh´erente de l’´etat d’impulsion 0 et de l’´etat d’impulsion 2~k. Il est alors facile de construire des interf´erom`etres pour condensats en utilisant cette technique de Bragg [210, 220, 221, 222].

Ce chapitre ne traitera pas de ces aspects de la diffraction de Bragg. Il est au contraire consacr´e `a la discussion du couplage perturbatif, et `a l’utilisation de la diffraction de Bragg comme sonde en impulsion, plutˆot que comme outil pour l’optique atomique. Avant d’entrer dans une discussion d´etaill´ee, nous allons faire le lien entre ces exp´eriences de spectroscopie de Bragg et certains concepts g´en´eraux (et importants !) de physique de la mati`ere condens´ee.

Tpulse (µs)

Po pu la tio ns r el at iv es

1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.01.0

0.8 0.6 0.4 0.2 0.0

3000 2000

1000 0

da ns le c on de ns at da ns l' et at d if fr ac te

Fig.6.2 – Oscillations de Rabi entre deux ´etats d’impulsion coupl´es par le r´eseau optique. Les cercles pleins donnent la population (relative au nombre total d’atomes) de l’´etat initial sur la courbe du haut, et de l’´etat diffract´e sur celle du bas. La ligne continue est un ajustement par une sinuso¨ıde exponentiellement amortie, qui donne un temps de d´ecoh´erence `a 1/e de 1,6 ms.

6.1.2 V´ elocim´ etrie Doppler d’un gaz d’atomes froids

Pour rendre la discussion pr´ec´edente plus quantitative et comparer `a d’autres types d’exp´eriences, nous allons esquisser la description th´eorique de la spectroscopie de Bragg [97, 223, 224], en nous concentrant sur les aspects pertinents pour comprendre le travail pr´ e-sent´e dans ce m´emoire. Nous consid´erons donc un gaz d’atomes d´eg´en´er´es soumis au r´eseau

0.15 0.10 0.05

0.00

31.5 31.0

30.5 30.0

29.5 29.0

28.5

Diffraction

Désaccord d (kHz)

29.4 29.6 29.8 30.0 30.2 30.4 30.6

Désaccord d (kHz) (a)

(b)

Fig. 6.3 – (a) Images en absorption d’un condensat et des composantes diffract´ees, pour plusieurs d´esaccords entre les lasers Bragg. On a montr´e par des rectangles en pointill´es les zones utilis´ees pour int´egrer et obtenir les populations des ordres diffract´es et du condensat.

Le rapport entre les deux donne l’efficacit´e de diffraction. Les spectres de Bragg correspon-dant `a l’ordre +4~k (cercles pleins) et −4~k (cercles creux) sont report´es sur le graphe (b).

Les barycentres des deux spectres sont l´eg´erement d´ecal´es, `a cause de l’effet d’acc´el´eration discut´e dans la section 6.2.3.

lumineux form´e par les deux ondes progressives L_ω et L₀, que nous prenons parall`elles `a l’axe long du pi`ege (dans la direction x). Les faisceaux lasers sont suppos´es loin de toute r´esonance atomique, si bien que le taux de diffusion spontan´ee est n´egligeable et que le seul effet de l’onde stationnaire est de cr´eer un potentiel dipolaire, que nous ´ecrivons en seconde quantification comme [97, 217] :

V_Bragg = ~Ω Z

d³r cos (qx−ωt) ˆΨ^†(r) ˆΨ(r)

= ~Ω 2

˜

n_q e^−iωt+ ˜n−q e^iωt

, (6.3)

avec ˜n_q = R

d³r e^iqxΨˆ^†(r) ˆΨ(r), Ω = Ω²₁/2∆ la fr´equence de Rabi `a deux photons<sup>2</sup>, ~q = 2~k<sub>L</sub>e<sub>x</sub> le transfert d’impulsion, correspondant `a une vitesse ~q/M = 2v_R ≈1.1 cm/s, et ~ω le transfert d’´energie (de l’ordre de l’´energie de recul `a deux photons, 4~ω_R ≈h× 15 kHz).

Le potentiel diffractant couple ainsi deux ´etats distincts, l’un avec une impulsion moyenne

2Ω₁= Γ/2p

I/I_sat≈2π×3 MHz×p

I/I_sat est la fr´equence de Rabi `a un photon.

nulle et l’autre avec une impulsion moyenne ~q³.

Facteur de structure : Pour une efficacit´e de diffraction faible, on peut calculer le taux de diffraction,i.e.la probabilit´e de transition par unit´e de temps du condensat au repos vers l’´etat final d’impulsion ~q, en utilisant la r`egle d’or de Fermi [66, 97, 218, 224] :

γ = πΩ² 2

S(q, ω)−S(−q,−ω)

, (6.4)

avec

S(q, ω) = 1 N

X

f

| hf |n˜_q |ii |² δ(ω_fi−ω), (6.5) avec|iiet|files ´etats `a N particules initiaux et finaux<sup>4</sup>. La quantit´eS est appel´ee«facteur de structure dynamique» (voir par exemple [66] pour une description g´en´erale) : il caract´erise la r´eponse (lin´eaire) du syst`eme `a N corps `a la perturbation impos´ee par le r´eseau lumineux.

Cette quantit´e a ´et´e introduite pour caract´eriser la diffusion d’une particule-sonde, en g´en´eral un neutron, par un syst`eme liquide ou solide, une approche qui s’est r´ev´el´ee fructueuse dans de nombreux domaines de la mati`ere condens´ee. Dans le cas de la spectroscopie de Bragg, ce point de vue revient `a consid´erer le processus de diffraction comme la diffusion in´elastique d’un photon d’une onde vers l’autre par les atomes. Une diff´erence importante avec les exp´eriences de diffraction de neutrons est qu’ici on n’observe pas la particule-sonde, mais directement le milieu lui-mˆeme. En effet, si on laisse un temps de vol, les atomes diffract´es se s´eparent des atomes encore au repos `a cause de leur grande diff´erence de vitesses, et on peut d´eterminer l’efficacit´e de diffraction (c’est `a direS`a un facteur pr`es) simplement en comptant les populations relatives. Ceci est illustr´e sur la figure 6.3, mˆeme si deux nuages diffract´es dans des ordres opppos´es sont visibles, au lieu d’un (la raison, li´ee `a l’impl´ementation de la spectroscopie de Bragg dans notre exp´erience, deviendra claire plus loin).

Pour une premi`ere approche, nous allons appliquer l’´equation (6.4) au cas du gaz homog`ene dans une boˆıte, trait´e `a l’approximation de Bogoliubov. Dans ce cas, on trouve `a partir de la d´ecomposition (1.31) que l’op´erateur qui d´ecrit l’excitation d’une quasi-particule d’impulsion q `a partir du condensat s’´ecrit

ˆ n_q=p

N₀(u_k−v_k)ˆb^†_ke^{−i(ωBk−ω)t}(2π)³δ(k−q) + c.c. (6.6) A partir des expressions des amplitudes de Bogoliubov ´etablies au premier chapitre, on trouve sans difficult´e que

S(q, ω) = ωq

ω_q^Bδ(ω_q^B−ω). (6.7)

Cette formule (´etablie par R. P. Feynman dans un cadre g´en´eral [66]) montre que le facteur de structure est form´e de raies tr`es ´etroites `a la fr´equence propre des excitations ´el´ementaires.

Elle montre qu’il est possible de mesurer le spectre des excitations ´el´ementaires du syst`eme,

3Pour un condensat pi´eg´e, l’impulsion n’est pas un bon nombre quantique, et on doit en fait consid´erer deux paquets d’ondes d’impulsion moyenne 0et ~q. Ces paquets d’onde sont tr`es ´etroits : leur largeur en impulsion ∆pest petite devant 2~kL (c’est pr´ecis´ement cette largeur finie que l’on veut mesurer). On peut donc consid´erer en tr`es bonne approximation qu’ils sont orthogonaux [97, 224, 225].

4Avec cette d´efinition, le facteur de structure a les dimensions d’un temps.

si on est capable de varier l’impulsion transf´er´ee (l’angle entre les deux faisceaux laser) [217, 219, 226]. L’amplitude de diffusion a un comportement int´eressant, suivant la valeur du transfert d’impulsion~q. Siqζ 1, alors ωq/ω_q^B≈~q/M cS 1 : cela signifie qu’`a basse

´energie, l’excitation d’un phonon se fait de mani`ere moins efficace que pour un atome libre [217]. On peut voir ceci comme une cons´equence de la superfluidit´e du condensat : le potentiel lumineux peut ˆetre vu comme une perturbation stationnaire pour un condensat mobile, si on se place dans le r´ef´erentiel du r´eseau. Tant que la vitesse du condensat ne d´epasse pas la vitesse du son, la probabilit´e de g´en´erer des excitations `a partir du condensat est diminu´ee (mais pas totalement supprim´ee, contrairement au cas d’une impuret´ediscernablequi diffuse sur le condensat [15]). Nous allons nous concentrer dans ce m´emoire sur le cas inverse, `a haute

´energie (qζ 1), o`u on retrouve l’amplitude de diffusion pour un atomes libreω_q/ω_q^B ≈1 : le condensat r´epond presque comme s’il ´etait compos´e d’atomes libres et ind´ependants. Nous allons voir dans les paragraphes suivants que cela permet de mesurer la distribution en impulsion.

R´egime Doppler : Dans ce r´egime de haute ´energie, on consid`ere que dans l’´etat final la particule diffus´ee est si rapide qu’on peut ignorer tous les termes de potentiel ´eventuels et la consid´erer comme une particule libre [97, 225]. Formellement, cela correspond `a prendre pour l’op´erateur qui cr´ee la particule diffus´ee ˆΨ^† ≈ exp (ipf·r/~)/√

2π~, et cela conduit `a

˜

n_p = ˜Ψ(p = p_f −~q), avec ˜Ψ la transform´ee de Fourier de l’op´erateur champ initial, dont on d´eduit la distribution en impulsion parP(p) =hΨ˜^†(p) ˜Ψ(p)i. La r`egle d’or de Fermi (6.4) m`ene alors, en n´egligeant l’´energie cin´etique initiale, `a [97, 225]

S(q, ω) = 1

Dans cette limite dite d’impulsion, le facteur de structure se r´eduit `a la distribution longitu-dinale d’impulsion dans le nuage,i.e.int´egr´ee suivant le plan perpendiculaire `a la direction de q. En variant la diff´erence de fr´equenceω, il est clair sur (6.8) qu’on peut s´electionner la classe de vitesses r´esonante et mesurer sa population, simplement en comptant le nombre d’atomes diffract´es pendant la dur´ee T_P du pulse de Bragg, donn´e par N_diff = N γT_P ∝ S(q, ω). La largeur enω de la r´esonance refl`ete la largeur en impulsion selonx `a travers l’effet Doppler,

∆ω_D = 2k_L∆p_x

M . (6.9)

Pour un condensat pur, nous attendons une largeur en vitesses limit´ee par le principe de Heisenberg, ∆p_x ∼~/L= ∆p_H, alors que dans le cas d’un quasi-condensat, les fluctuations de phase ´elargissent la distribution en vitesses et ∆p_x ∼~/L_φ∆p_H. C’est tout le principe de notre exp´erience, et la discussion pr´ec´edente montre qu’il est en effet possible de d´etecter les fluctuations de phase, et de mesurer leur effet quantitativement `a l’aide de la diffraction de Bragg.

Dans notre exp´erience, nous utilisons en fait un transfert `a quatre photons au lieu de deux, pour la simple raison que la s´eparation spatiale entre les nuages diffract´es est alors deux fois plus grande apr`es le temps de vol maximum (environ 25 ms) autoris´e par l’extension verticale

de la cellule. Ceci rend plus facile la d´etermination du nombre d’atomes diffract´es⁵. L’effica-cit´e de diffraction est pratiquement identique `a (6.8), puisqu’il suffit de substituer la fr´equence de r´esonance `a quatre photons, 8ωR, et la fr´equence de Rabi `a 4 photons, Ω4 = Ω²/4ωR dans la formule (6.8). On mesure donc finalement la quantit´e γT_P = (πΩ²₄T_P/2)S(q, ω), avec la

«nouvelle» expression pour S : S(q, ω) = M

4N k_L Z

dp_xdp_y P(p_x, p_y, p_z = 8ω_R−ω

2k_L ). (6.10)

Ceci se d´emontre en utilisant la th´eorie des perturbations d´ependantes du temps au second ordre [177] entre les ´etats initiaux et finaux 0 et 4~k_L, le seul ´etat interm´ediaire important

´

etant 2~kL. Nous ne d´etaillerons pas plus ce calcul.

De nombreux effets parasites peuvent cependant obscurcir la mesure et le diagnostic. Jus-qu’ici, nous avons consid´er´e une situation id´eale, o`u le pulse ´etait tr`es long devant l’inverse de la largeur de la r´esonance (pour pouvoir appliquer directement la r`egle d’or de Fermi) et o`u la phase relative des deux lasers ´etait parfaitement d´efinie. Nous discutons plus loin longuement que ces simplifications ne s’appliquent pas dans notre exp´erience, et dans ce paragraphe nous nous contentons de noter que ces deux effets conduisent `a une ind´ etermi-nation sur la fr´equence de r´esonance. La fonction δ qui apparaˆıt dans (6.8) doit alors ˆetre remplac´ee par une fonction de r´esolution, qui tient compte `a la fois de l’´elargissement «de Fourier» par le temps de pulse, et des variations al´eatoires de la phase relative des deux lasers (ainsi que d’autres contributions mentionn´ees dans la suite). Le spectre final (`a quatre photons) est donc obtenu en convoluant la formule «id´eale» (6.10) par une fonction de r´esolution

f_res(ω, T_P) = h|

Z TP

0

e^{−i(16ωR+4kLpx/M−2ω)t0+i2δφL(t0)}dt⁰ |²i

= sin²_CωTP

2

∗DSP_δφL[2ω_res(p_x)−2ω] (6.11) avecω_res = 8ω_R+2k_Lp_x/M. Nous avons indiqu´e par des crochets une moyenne statistique sur diff´erentes r´ealisations de l’exp´erience, et par ∗ un produit de convolution. Les fluctuations de la phase relative δφ_L des lasers formant le r´eseau de Bragg d´eterminent le spectre de bruit du r´eseau optique, d´efini ici comme la densit´e spectrale de puissance DSP_δφL associ´ee

`

a exp(i2δφL) (cette expression suppose que les fluctuations d’amplitude du r´eseau sont n´ e-gligeables). Nous discuterons plus loin une mesure optique de cette fonction de r´esolution, et examinerons son effet sur les spectres apr`es avoir dress´e une liste des effets qui y participent.

Dans le document Condensats de Bose-Einstein dans un piège anisotrope Fabrice Gerbier (Page 149-155)