Equation de Gross-Pitaevskii ` a temp´ erature nulle

a N corps du syst`eme, on utilise un potentiel mod`ele qui redonne la mˆeme longueur de diffusion. Notons cependant qu’on obtient ainsi une description effective du syst`eme `a N corps qui oublie les corr´elations `a tr`es courte distance (sur quelques angstr¨oms), un point important sur lequel nous revenons dans la section 1.5.2. Le choix le plus simple pour le

«pseudo-potentiel» est celui d’un potentiel de contact :

V_δ(r−r⁰) =U δ(r−r ⁰) (1.16) Si l’on doit aller `a un ordre sup´erieur et prendre en compte la physique des collisions `a courte distance, un pseudopotentiel plus ´elabor´e devra ˆetre utilis´e (voir [58] et la section 1.5.2).

1.2.3 Description d’un syst` eme ` a N corps en seconde quantifica-tion

Pour d´ecrire les N atomes en interaction, nous allons utiliser le formalisme de la seconde quantification [61], plus facile `a manier que les vecteurs d’´etats sym´etris´es `a N particules de la section pr´ec´edente. Nous rappelons que dans ce point de vue, la mati`ere est trait´ee comme un champ quantifi´e : le champ ˆΨ(r) d´etruit une particule au point r, alors que son conjugu´e ˆΨ^†(r) en cr´ee une. Pour des bosons, ces champs ob´eissent aux relations de commutation [ ˆΨ(r),Ψˆ^†(r⁰)] = δ(r − r⁰). Ces op´erateurs agissent sur des vecteurs d’´etats

|{n}i=|n₁, . . . , n_i, . . .i´evoluant dans l’espace de Fock, et d´efinis par les nombres d’occupa-tion {n_i} des ´etats{|φ_ii}d’une base quelconque de l’espace des ´etats `a une particule. Dans cette base, on peut d´evelopper l’op´erateur champ comme ˆΨ =P

iφi(r)ˆai, avec l’op´erateur ˆai

qui d´etruit une particule dans l’´etat|φ_ii. On voit que l’op´erateur ˆΨ correspond `a la version quantifi´ee de la fonction d’onde ob´eissant `a l’´equation de Schr¨odinger `a une particule, tout comme le champ ´electromagn´etique quantifi´e correspond au champ classique solution des

´

equations de Maxwell. Ceci justifie l’appellation de «seconde quantification» donn´ee `a la m´ethode, et le terme de «champ de Schr¨odinger» parfois utilis´e pour ˆΨ. Soulignons tout de mˆeme qu’il ne s’agit que d’une formulation commode de la m´ecanique quantique d’un syst`eme de N particules, et non d’une th´eorie alternative ou plus ´elabor´ee. L’hamiltonien du syst`eme s’´ecrit dans ce formalisme :

Hˆ = Z

d³r Ψˆ^†(r)h

− ~²

2M∆ +V_ext(r)i Ψ(r)ˆ +1

2 Z

d⁽³⁾r d⁽³⁾r⁰ Ψˆ^†(r⁰) ˆΨ^†(r)V_C(|r−r⁰ |) ˆΨ(r⁰) ˆΨ(r). (1.17) Cet hamiltonien constitue le point de d´epart de la th´eorie, et nous allons pr´esenter plusieurs niveaux d’approximation.

1.3 Equation de Gross-Pitaevskii ` a temp´ erature nulle

La plus simple de ces approximations consiste `a dire qu’`a suffisamment basse temp´ era-ture, la proportion d’atomes dans les ´etats excit´es est n´egligeable et pratiquement tous les

atomes occupent le mˆeme ´etat `a une particule. Si l’on suppose donca prioril’existence d’un condensat, on peut toujours d´evelopper l’op´erateur champ de la mani`ere suivante :

Ψ =ˆ ψ₀(r, t)ˆa₀+δΨ.ˆ (1.18) Dans cette expression, ψ₀ repr´esente la fonction d’onde `a un corps du mode condens´e, ˆa<sub>0</sub> l’op´erateur de cr´eation d’une particule dans ce mode, etδΨ d´ˆ ecrit l’ensemble des ´etats excit´es orthogonaux au mode du condensat. Postuler l’existence du condensat revient `a supposer que le nombre d’atomes dans le condensat, N₀ = hˆa^†₀ˆa₀i, est tr`es grand devant 1. Dans ce cas, le commutateur [ˆa₀,ˆa^†₀] = 1 est n´egligeable devant N₀, ou en d’autres termes on peut consid´erer les op´erateurs ˆa₀ et ˆa^†₀ comme des variables quasi-classiques, et les remplacer par des nombres complexes avec une erreur relative d’ordre 1/√

N₀,

Ψˆ ≈Ψ₀(r, t) +δΨ.ˆ (1.19)

La fonction d’onde du condensat, Ψ₀(r, t) ≈ √

N₀ψ₀(r, t), a dans cette approximation tous les comportements d’un champ classique⁹. Notons qu’avec cette d´efinition, la fonction d’onde du condensat est norm´ee `aN0, et pas `a 1.

Equation de Gross-Pitaevskii `a T = 0 K : Revenons `a l’´equation du mouvement pour Ψ, dans le point de vue de Heisenberg. Avec la substitution (1.16)ˆ V_C →V_δ, on trouve sans peine que

i~∂Ψˆ

∂t =− ~²

2m∆ ˆΨ +V_extΨ +ˆ UΨˆ^†Ψ ˆˆΨ. (1.20) A temp´erature nulle, on peut supposer en premi`ere approximation que tous les atomes sont condens´es. En injectant dans l’´equation (1.20) ˆΨ≈Ψ<sub>0</sub>(r,t), on obtient l’´equation de Gross-Pitaevskii d´ependante du temps. En r´egime stationnaire (i.e. `a l’´equilibre), en substituant Ψ₀(r, t) = Φ₀(r)e^−iµt/~, celle-ci se r´eduit `a l’´equation de Gross-Pitaevskii ind´ependante du temps,

− ~²

2m∆Φ₀+V_extΦ₀+U |Φ₀ |² Φ₀ =µΦ₀. (1.21) L’«´energie» µs’identifie en fait au potentiel chimique,∂E/∂N₀. Pour le comprendre, nous allons discuter plus en d´etails l’interpr´etation de la fonction d’onde Ψ₀ [66]. Dans la limite d’un gaz `a tr`es basse temp´erature, sans faire l’approximation ˆa0 ≈ a0, celle-ci correspond d’apr`es (1.18) `a l’´el´ement de matrice (dans le point de vue de Heisenberg),hN₀ −1|Ψ(t)ˆ | N₀i=hN₀−1|e^iHt/~ˆ Ψ(0)ˆ e^−iHt/~ˆ |N₀i, entre deux ´etats comprenant respectivementN₀ et N0−1 particules. Cette ´ecriture permet de s’apercevoir que la d´ependance temporelle de la fonction d’onde Ψ₀ (pour un syst`eme stationnaire) doit ˆetre exp[−i(E[N₀]−E[N₀−1])t/~]≈ exp(−i_∂N^∂E

0t/~). Cela signifie que la valeur propre apparaissant dans l’´equation de Gross-Pitaevskii est n´ecessairement le potentiel chimique, et non pas l’´energie du fondamental.

9En adoptant cette description, on abandonne la conservation rigoureuse du nombre de particules, et on se place implicitement dans l’ensemble grand canonique de la m´ecanique statistique [61, 74]. Cela revient donc `a consid´erer que le gaz est en contact thermique et chimique avec un r´eservoir fictif de chaleur et de particules, si bien que l’´energie et le nombre de particules ne sont conserv´es qu’en moyenne.

1.3.1 Approximation de Thomas-Fermi

A l’´equilibre (on suppose momentan´ement pour simplifier un potentiel harmonique `a sy-m´etrie sph´erique, de fr´equence ω), la fonction d’onde du condensat, d’extension spatiale R, est d´etermin´ee par la comp´etition entre l’´energie d’interaction E<sub>int</sub> ∼ U N<sub>0</sub><sup>2</sup>/R<sup>3</sup>, l’ ´energie cin´etique «de point z´ero» E<sub>cin</sub> ∼N<sub>0</sub>~<sup>2</sup>/M R<sup>2</sup>, qui joue un rˆole pour de petits ´echantillons, et l’´energie potentielle E<sub>pot</sub> ∼ N<sub>0</sub>M ω<sup>2</sup>R<sup>2</sup>. La taille du condensat `a l’´equilibre est celle qui minimise l’´energie totale, et intuitivement, on con¸coit que des interactions r´epulsives vont induire une pression positive, et dilater le nuage. Pour un faible nombre d’atomes condens´es, R ∼ a_oh, et E_int E_cin ∼ E_pot : la fonction d’onde est pratiquement celle du fondamental du pi`ege. Si maintenant on augmente N<sub>0</sub>,R va augmenter et dans le r´egime o`uN a/a_ho 1, devenir bien plus grand que a_ho. Dans ce cas, le profil de densit´e `a l’´equilibre est essentiel-lement domin´ee par la comp´etition entre ´energie d’interaction et ´energie potentielle, et on peut n´egliger le terme d’´energie cin´etique dans l’´equation de Gross-Pitaevskii. Ceci constitue l’approximation dite de Thomas-Fermi [56, 75], qui permet d’obtenir (en revenant au pi`ege anisotrope) une solution analytique pour la fonction d’onde :

Φ₀(r) = p

n_0m(1−x˜²−ρ˜²)H(1−x˜²−ρ˜²). (1.22) L’´echelon de HeavisideH restreint les valeurs der au domaine o`u l’expression sous la racine est r´eelle. Dans la suite, nous l’omettrons pour simplifier les notations, mais il sera toujours implicitement sous-entendu. Nous avons utilis´e des coordonn´ees cylindriques, dans lesquelles ρ<sup>2</sup> = y<sup>2</sup> +z<sup>2</sup>, et normalis´e par les dimensions du condensat, d´efinies comme les points o`u la densit´e s’annule sur les axes, R² = (2µ/M ω_⊥²) dans les directions radiales, et L² = R/λ dans la direction axiale. Le rapport d’aspect du condensat, qui caract´erise son anisotropie, est donc donn´e par le rapport des fr´equences de pi´egeage, λ = ωx/ω⊥ 1. La densit´e-pic est li´ee au potentiel chimique parn_0m =µ/U, si bien qu’en normalisant|Φ₀(r)|² au nombre d’atomes dans le condensat N₀, on obtient la valeur du potentiel chimique :

µ= ~ω⊥

2

15a⊥aN0

a²_x ²₅

, (1.23)

avec a⊥ = p

~/M ω⊥ et a_x = p

~/M ω_x. Notons pour terminer que l’approximation de Thomas-Fermi est valable si les dimensions du condensat sont bien plus grandes que la longueur de relaxation (« healing length» en anglais), ζ = p

~²/2M µ. Cette distance caract´eristique s’interpr`ete comme la distance minimale sur laquelle il faut provoquer une perturbation de densit´e pour induire une contribution significative (de l’ordre deµ) `a l’´energie totale.

1.3.2 Equations hydrodynamiques

Nous allons maintenant aborder une autre formulation de l’´equation de Gross-Pitaevskii, particuli`erement utile dans le r´egime de Thomas-Fermi. Ecrivons la fonction d’onde du condensat en termes de la densit´e n0 et de la phase φ0 : Ψ0(r, t) = p

n0(r, t)e^iφ0(r,t). En reportant dans l’´equation de Gross-Pitaevskii, et en s´eparant partie r´eelle et imaginaire on

trouve les ´equations suivantes :

La premi`ere ´equation n’est rien d’autre que l’´equation de continuit´e pour le fluide quantique, si l’on se rappelle qu’en m´ecanique quantique le champ de vitesses est donn´e par le gradient de la phase :v<sub>0</sub> =~∇φ<sub>0</sub>/M. Quant `a la deuxi`eme ´equation, elle fait apparaˆıtre un terme dit de pression quantique, −_2M^~2 ∆n₀/√

n₀ ∼(~²/2M R²)√

n₀. Dans le r´egime de Thomas-Fermi, l’´echelle d’´energie typique est donn´ee par le potentiel chimique µ, alors que le terme de pression quantique (dans la direction la plus confinante) est d’ordre (~ω⊥)²/µµ. Comme discut´e pr´ec´edemment, on peut donc valablement omettre ce terme, et l’´equation pour le champ de vitesses se r´eduit `a l’´equation d’Euler du fluide parfait (ou du superfluide dans ce contexte),

M∂v₀

∂t = −∇(V_ext(r) +U n₀+Mv²₀

2 ). (1.26)

Le terme de champ moyen s’identifie au terme de pression habituel, −∇P/n₀ si on prend P = U n²₀/2. A l’´equilibre, le champ de vitesses est nul (la phase est uniforme sur tout le condensat) et le profil de densit´e est d´etermin´e par l’´equilibre entre la force de pression et le potentiel de confinement selon l’´equation (1.22).

Solution universelle pour un potentiel quadratique : Nous allons maintenant traiter un cas particulier important en pratique, qui est celui o`u le potentiel reste toujours quadra-tique, avec des fr´equences d´ependantes du temps en g´en´eral. Dans ce cas, si le condensat est initialement dans le r´egime de Thomas-Fermi, on peut chercher une solution d’´echelle [76, 77, 78] de la forme

n₀(r, t) = n₀({x⁰_i= ^x_bⁱ

i}, t= 0)

V , (1.27)

avec V =Q

ib_i. En reportant dans l’´equation de continuit´e, on trouve que les composantes du champ de vitesses doivent satisfaire v_i = (˙b_i/b_i)x_i pour i = x, y, z. Comme discut´e pr´ e-c´edemment, l’approximation de Thomas-Fermi correspond en fait `a n´egliger les gradients de densit´e : toute l’´energie cin´etique se stocke dans la phase de la fonction d’onde, et le terme de pression quantique reste n´egligeable au cours du temps. Dans ce cas, la fonction d’onde prend la forme : l’´evolution des param`etres d’´echelles :

d²b_i

dt² +ω_i²(t)b_i = ω_i²(0) Vbi

. (1.29)

Expansion du condensat : Un cas d’application tr`es important de ces ´equations d’´echelles est celui de l’expansion du condensat sous l’effet de sa propre pression lorsqu’il est relˆach´e du pi`ege. Pour des raisons qui seront expos´ees dans le chapitre 2, c’est seulement apr`es un tel temps de vol que l’on peut prendre une image fiable du nuage, et il est donc crucial de pouvoir remonter aux propri´et´es dans le pi`ege. Dans la limite d’un pi`ege `a sym´etrie cylin-drique tr`es anisotrope, comme celui utilis´e dans nos exp´eriences, une solution approch´ee a

´

et´e donn´ee par Y. Castin et R. Dum [76] et Yu. Kagan, E. Sur’kov et G. Shlyapnikov [78]. Si on r´e´ecrit les ´equations d’´echelles en fonction du temps adimensionn´eτ =ω⊥tet du rapport d’aspect λ=ωx/ω⊥ 1, on obtient `a l’ordre deux en λ

b⊥ = √

1 +τ² ≈τ pourτ 1, (1.30)

b_x = 1 +λ² τarctanτ−ln (1 +τ²)

≈1 + πλ²τ

2 pourτ 1.

Nous aurons l’occasion de revenir sur le probl`eme de l’expansion dans les chapitres suivants.