Distribution en impulsion du quasicondensat en expansion

a Hannovre. L’enveloppe de densit´e globale ´evolue selon une ´equation d’´echelle radiale : n₀(ρ/b⊥, t) = n₀(ρ,0)/b²_⊥, avec b⊥ = √

1 +τ² et τ = ω⊥t. Les fluctuations de phase et de densit´e (ces derni`eres ´etant initialement n´egligeables) sont alors des ondes planes, avec un vecteur d’onde selon l’axe x du cylindre. Pour une excitation donn´ee de vecteur d’onde k, l’´energie de Bogoliubov intantan´ee s’´ecrit ω_k^B(t) =p

ω_k(ω_k+ 2M c²_1d/b²_⊥), et on peut distin-guer deux ´etapes dans l’expansion suivant le vecteur d’onde k =M vk/~ :

– une phase initiale qui correspond `ab⊥c_1d/v_k : l’excitation est encore dans le r´egime phonon.

– une phase asymptotique, b⊥ c1d/vk : la relation de dispersion est devenue d’une particule libre, et l’excitation se propage de mani`ere ballistique.

La transition entre les deux r´egimes se produit continˆument au cours du temps de vol. Le temps caract´eristique qui s´epare les deux r´egimes est tk =ω⁻¹_⊥ c1d/vk (typiquement quelques ms). Les auteurs de [42, 189] ont propos´e une solution analytique de l’´evolution des fluc-tuations de densit´e au cours du temps de vol, et le r´esultat pour ω⊥/ω_x² t ω_⊥⁻¹ est l’expression suivante pour les fluctuations de phase :

φ_k(x, t)≈φ_k(x,0)τ^{−(ωBk/ω⊥)2}cos (ω_kt). (5.47) Pour les temps de vol consid´er´es dans notre exp´erience, les excitations de vecteur d’onde

∼L⁻¹_φ ont ´evolu´e de mani`ere n´egligeable (ω_kt1)¹⁴, si bien que le cosinus dans (5.47) vaut

`

a peu pr`es 1 (l’exposant ω<sub>k</sub><sup>B</sup>/ω⊥ est tr`es petit, par d´efinition des modes axiaux). On peut donc utiliser l’expression de la variance des fluctuations de phase dans le pi`ege dans le pi`ege

`

a une tr`es bonne approximation (mieux que 1 % pour nos param`etres). Notons cependant un dernier point. C. Mora et Y. Castin [85] ont propos´e de tenir compte de la contribution des fluctuations de densit´e `a la fonction de corr´elation g<sup>(1)</sup> de la mani`ere suivante :

g⁽¹⁾(r,r⁰) =p

A l’´equilibre, cette expression est ´equivalente `a celle que l’on obtient dans la th´eorie lin´ ea-ris´ee au premier ordre en hδˆn<sup>2</sup>i/n<sup>2</sup><sub>0m</sub>. Si on suppose cette ´equation valable mˆeme pour des fluctuations de phase et de densit´e comparables, comme cela se produit apr`es un temps de vol long, elle implique que, bien qu’il y ait conversion d’une partie des fluctuations de phase en fluctuations de densit´e, la fonction de corr´elation reste pratiquement la mˆeme, car

∆φ²(t) + ¹₄h∆δˆn²(t)i/n_0m≈∆φ²(0) d’apr`es les expressions ci-dessus.

5.4.2 Distribution en impulsion du quasicondensat en expansion

Pour le quasi-condensat en expansion, les fluctuations de phases sont donc pratiquement gel´ees `a leur valeur initiale. Si maintenant on tient compte du potentiel de pi´egeage axial,

14Par exemple, pourL_φ≈10µm, etk∼L⁻¹_φ , on aω_k⁻¹≈250 ms, alors que le temps de vol qui correspond

`

a la fin du pulse de Bragg est de 4 ms.

l’op´erateur ˆΨ₀ d´eveloppe en suppl´ement une phase d´eterministe φ₀, dˆue `a la conversion de l’´energie de champ moyen en ´energie cin´etique, qui a ´et´e calcul´ee au premier chapitre dans le r´egime de Thomas-Fermi 3D que nous consid´erons ici. En se limitant `a des temps de vol¹⁵ tels queb_x ≈1 etω⊥t 1, l’op´erateur champ du quasi-condensat en expansion devient alors

Ψˆ₀(ρ, x, t)≈ de vitesses dans la direction x, v_x = (˙b_x/b_x)x, est lin´eaire en position, la distribution en impulsion axiale pourt ω_⊥⁻¹ refl`ete le profil de densit´e :

A temp´erature finie, on doit inclure les fluctuations de phase, ce qui conduit `a la fonction de corr´elation spatiale L’expression (5.52) g´en´eralise les r´esultats du chapitre V, obtenus pour un quasi-condensat statique. Par transform´ee de Fourier, on obtient imm´ediatement la distribution en impulsion

P_exp,T(p_x)≈ N0

avec la fonctiong_γ d´efinie par

g_γ(y) = 15γ et le rapportγ =p_φ/p_exp qui contrˆole l’importance relative du champ moyen et des fluctua-tions de phase (rappelons quep_φ =~/L_φ). Nous avons trac´e cette fonction sur le graphe 5.8, sur lequel on voit qu’en pratique, sipφ>3pexp, la distribution en temps de vol est quasiment similaire `a celle du quasi-condensat dans le pi`ege. Par contre, `a basse temp´erature,p<sub>exp</sub> p<sub>φ</sub>, les fluctuations de phase sont masqu´ees par le champ moyen. Notons que dans le r´egime de Thomas-Fermi, on peut avoir simultan´ement Lφ L et pexp pφ. Heureusement, ce n’est pas le cas des exp´eriences pr´esent´ees dans ce chapitre grˆace au rapport d’aspect important de notre pi`ege et au nombre d’atomes relativement faible (N₀ ∼ 5×10⁴) : en effet, plus λ augmente et N0 diminue, plus pexp diminue et plus ~/Lφ augmente (les autres param`etres

´etant fix´es). Dans les conditions des exp´eriences d´ecrites au chapitre VI, nous pourrons en fait consid´erer `a une bonne approximation que la distribution axiale en impulsion est prati-quement celle d’un quasi-condensat pi´eg´e (nous revenons sur ce point plus loin).

15Pour l’exp´erience de spectroscopie de Bragg d´ecrite au chapitre 6, on a par exempleb_x<1.01 etω_⊥t >9.

1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0

-10 -5 0 5 10

p / p ^exp

D is tr ib ut io n en im pu ls io n (u . a .)

γ = 0 γ = 3 γ = 1

Fig. 5.8 – Distribution en impulsion du quasi-condensat en expansion. Nous avons tra¸c´e la distribution (normalis´ee `a 1) pour γ = p<sub>φ</sub>/p<sub>exp</sub> = 0,1,3. Nous avons ´egalement trac´e une Lorentzienne de largeur 0.67×3, qui reproduit fid`element la distribution en impulsion dans le pi`ege, et qui se confond avec la courbe γ = 3 . On voit que la distribution apr`es temps de vol est alors tr`es peu sensible `a la pr´esence du champ moyen.

5.5 Conclusion

Nous concluons donc que l’approximation de densit´e locale, sous la forme d´evelopp´ee ici, permet de rendre compte simplement de deux propri´et´es importantes des quasi-condensats : – la forme Lorentzienne de la distribution en impulsion, caract´eristique de corr´elations en

phase qui d´ecroissent exponentiellement,

– la largeur en impulsion selon l’axe long, inversement proportionnelle `a L<sub>φ</sub>, avec un coefficient num´erique qui d´epend tr`es mollement de la forme exacte du profil de densit´e.

En pratique, cette forme simple est une bonne approximation `a quelques pour cents pr`es si T > 8T_φ, et mˆeme `a 15 % pr`es si T > 4T_φ. Pour des temp´eratures plus basses, le profil de densit´e doit ˆetre inclus dans le calcul pour rendre compte pr´ecis´ement de la fonction de corr´elation. De plus, nous avons ´etudi´e l’expansion du quasi-condensat. Nous avons montr´e que, dans le r´egime que nous avons explor´e exp´erimentalement, les conclusions de ce chapitre sont essentiellement inchang´ees, mˆeme si en g´en´eral le champ moyen peut jouer un rˆole. Dans le chapitre suivant, nous allons montrer comment on peut acc´eder exp´erimentalement `a la distribution en impulsion calcul´ee dans ce chapitre.

Spectroscopie en impulsion d’un quasi-condensat

Au chapitre pr´ec´edent, nous avons vu en d´etails que dans un pi`ege anisotrope, un gaz de bosons d´eg´en´er´e pouvait se trouver dans un ´etat «quasi-condens´e», interm´ediaire entre un condensat et un nuage thermique. Des fluctuations de phase caract´eristiques d’une dis-tribution thermique 1D se manifestent, bien que le profil de densit´e soit presque identique

`

a celui d’un condensat. Grˆace au fort confinement radial de l’´electro-aimant de troisi`eme g´en´eration utilis´e pour cette exp´erience (chapitre II et [39]), nous pouvons cr´eer des conden-sats avec un rapport d’aspect de 150 environ, et p´en´etrer profond´ement dans le r´egime de quasi-condensation.

Pour le mettre en ´evidence et parvenir `a des mesures pr´ecises des propri´et´es de coh´erence en phase, deux m´ethodes sont envisageables. La plus directe consiste `a utiliser des techniques interf´erom´etriques [36]. Le contraste des franges d’interf´erences pour une s´eparation s entre les deux bras de l’interf´erom`etre refl`ete alors la fonction de corr´elation spatiale,C⁽¹⁾(s). Cette m´ethode est bien entendu adapt´ee `a des ensembles de grande longueur de coh´erence, et de-vient difficile `a mettre en oeuvre pour des fluctuations de phase importantes. Aussi, nous avons d´ecid´e d’impl´ementer une m´ethode compl´ementaire, bas´ee sur la mesure de la distri-bution en impulsion. Une longueur de coh´erence faible se traduit alors par une distribution en impulsion large, donc plus ais´ee `a mesurer (un concept familier en optique).

Notons cependant que la m´ethode interf´erom´etrique a ´et´e impl´ement´ee avec succ´es par l’´equipe d’Hannovre [210], pour des ensembles qui pr´esentent indiscutablement des fluctua-tions de phase, mais dont la longueur de coh´erence reste tout de mˆeme plus grande que celles que nous examinons dans ce chapitre. Les r´esultats de cette exp´eriences et ceux obtenus dans notre groupe constituent des test compl´ementaires de la th´eorie d´evelopp´ee dans [41], dans la limite de fluctuations de phase importantes. Une zone demeure inexplor´ee, celle des grandes longueurs de coh´erence (T ∼ Tφ). Dans l’exp´erience de spectroscopie de Bragg, elles sont inaccessibles `a cause de la r´esolution finie du syst`eme. Dans l’exp´erience d’Hannovre, il n’a pas non plus ´et´e possible de mesurer la transition du quasi-condensat vers un vrai condensat.

Des mesures interf´erom´etriques bas´ees sur une technique d’analyse alternative, sur laquelle nous reviendrons dans la conclusion, sont en cours dans notre ´equipe pour cette raison. Pour r´esumer cette discussion, la m´ethode interf´erom´etrique, qui sonde localement la coh´erence en phase, est bien adapt´ee pour des longueurs de coh´erence grandes. Pour des longueurs de coh´erence courtes, par contre, il est plus adapt´e de mesurer la distribution en impulsion par spectroscopie de Bragg, qui sonde globalement la coh´erence en phase.

Le plan de ce chapitre est le suivant. La technique de spectroscopie de Bragg [99] est introduite dans un premier temps dans le contexte g´en´eral de la physique des condensats.

Nous entrons ensuite dans les sp´ecificit´es de notre exp´erience, en insistant sur les difficult´es qui surgissent lorsqu’on sonde selon l’axe d’un condensat tr`es allong´e, et sur les solutions que nous avons apport´ees.

6.1 La spectroscopie de Bragg comme sonde de la co-h´ erence en phase

+ kL

- kL

ω + ω

E

L L

p 4E

h∆

ω + ω_L

ω ωat

e

2 vR T

g

L

L

pi pi+2 hkL

Fig.6.1 – Principe de la diffraction de Bragg d’un atome libre. Le sch´ema de droite indique la configuration exp´erimentale, et celui de gauche la transition d’un atome d’impulsion initiale pi vers l’´etat final d’impulsion pi+ 2~kL. Le l´eger d´ecalage par rapport `a l’ ´energie 4ER est dˆu `a l’effet Doppler.

6.1.1 Diffraction d’une onde de mati` ere par une onde lumineuse