Coupure du pi` ege

egalement la figure 3.5). Le pointill´e long est un ajustement lin´eaire des donn´ees, de pente 0.15. Le taux de collisions est calcul´e en incluant les effets de la statistique de Bose, comme nous l’expliquons dans la section 3.1.4.

Les deux derniers termes du membre de droite donnent les contributions des forces dˆues au potentiel de pi´egeage instantan´e et de champ moyen, respectivement, et le terme de gauche d´ecrit le vol balistique. En n´egligeant les termes de force, on retrouve imm´ediatement les

´

equations (2.18).

3.1.2 Coupure du pi` ege

Dans un premier temps, nous allons examiner sur le cas du gaz thermique l’hypoth`ese faite plus haut d’une coupure (quasi) instantan´ee du pi`ege magn´etique. Si elle est justifi´ee, pratiquement toute l’´energie potentielle dˆue `aV_ext est retir´ee instantan´ement du nuage, qui explose sous l’effet de son ´energie cin´etique initiale. Cependant, si la coupure se passe avec une constante de temps trop lente (par rapport aux fr´equences de pi´egeage), une partie de cette ´energie d’expansion est perdue, et l’expansion est ralentie. Pour ´etudier ces effets, nous utilisons les ´equations d’´echelle donn´ees plus haut et n´egligeons le terme de champ moyen dans (3.4),

d²b^th_i

dt² +ω²_i(t)b^th_i = ω_i²(0)

(b^th_i )³. (3.5)

Pour un pi`ege tr`es anisotrope, la fr´equence axiale est faible (ω_x = 2π×8.7 Hz dans notre cas), et la coupure du confinement selon cet axe (de constante de temps ≈ 200 µs) peut ˆetre consid´er´ee comme instantan´ee (les degr´es de libert´e sont d´ecoupl´es quand on omet les termes de collisions). Par contre, dans les directions radiales, bien plus confin´ees, le temps de coupure est facilement comparable `a la p´eriode radiale. La r´esolution num´erique de l’´equation (3.5) pour une d´ecroissance instantan´ee de ωx et exponentielle de ω⊥, avec une constante de temps `a 1/e ´egale `a τ<sub>C</sub>, pr´edit effectivement un ralentissement de l’expansion quand le temps de coupure radial augmente. Nous en montrons un exemple sur la figure 3.3. La vitesse d’expansion asymptotique est la quantit´e importante, car dans notre exp´erience toutes les images sont prises pour des temps de voltω<sub>⊥</sub><sup>−1</sup>. Sur la figure 3.3, on voit qu’elle peut ˆetre drastiquement affect´ee par une coupure trop lente (pour un temps de coupure tr`es long, on tend au contraire vers une ouverture adiabatique du potentiel et la vitesse d’expansion tend vers z´ero). Il est donc clair que le temps de coupure doit ˆetre tr`es court devant ω_⊥⁻¹ si on veut utiliser les ´equations (2.20) pour d´eduire une temp´erature de la vitesse d’expansion.

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Fig. 3.3 – R´esolution des ´equations d’´echelle pour le nuage thermique id´eal, incluant une coupure exponentielle de la fr´equence de pi´egeage transverse, avec une constante de temps τ_C. La courbe de gauche correspond `a ω⊥τ<sub>C</sub> =0, 0,5 et 1, respectivement. La courbe de droite donne la vitesse d’expansion asymptotique (normalis´ee `a p

k_BT /M) ˙b^th_⊥, en fonction du temps de coupure.

Estimation des temps de coupure dans notre exp´erience : Qu’en est-il dans notre exp´erience ? La courbure radiale d´epend a priori des valeurs instantan´ees du gradient radial et du biais magn´etique. Nous n’avons en fait aucun moyen de mesurer s´epar´ement ces quan-tit´es, aussi nous sommes nous content´e de mesurer (`a l’aide d’une pince amp`erem´etrique) la d´ecroissance du courant dans les bobines qui cr´eent le champ quadrupolaire, et de supposer que la d´ecroissance du gradient ´etait identique¹. Aussi, les r´esultats de ce paragraphe ne sont donn´es qu`a titre indicatif, et nous ne les utilisons pas pour corriger les expansions mesur´ees.

1Cette hypoth`ese est sujette `a caution, puisque la d´ecroissance du champ magn´etique peut ˆetre tr`es diff´ e-rente de l’´evolution du courant `a cause des courants de Foucault. Cependant, l’utilisation d’un mat´eriau en lamelles (de 100µm d’´epaisseur) agglom´er´ees, au lieu d’une pi`ece massive, pour la culasse de l’´electroaimant est suppos´ee diminuer ces effets consid´erablement [38, 39, 46].

Nous avons mesur´e une d´ecroissance lin´eaire vers z´ero, sur un temps de 130 µs².

Fig.3.4 – Evolution du biais magn´etique `a la coupure du pi`ege, mesur´ee par r´esonance radio-fr´equence (la courbe en trait plein est un guide pour l’oeil), `a gauche. La courbe de droite repr´esente l’´evolution extrapol´ee de la fr´equence de pi´egeageω⊥ (trait plein). Un ajustement par une exponentielle donne une constante de temps `a 1/e de 50 µs (pointill´es).

Pour mesurer l’´evolution du biais magn´etique B₀ `a la coupure, nous avons utilis´e une technique de r´esonance radio-fr´equence (voir le chapitre IV pour plus de d´etails). Le champ B₀ monte brutalement (pour des raisons non comprises) sur quelques centaines de µs, puis d´ecroˆıt plus lentement sur une ´echelle de quelques ms (figure 3.4). Ce comportement est en fait b´en´efique. En effet, la fr´equence radiale ´evolue commeb⁰/√

B₀, et l’augmentation du biais participe donc `a la diminution du temps de coupure. En utilisant la formule pour calculer la fr´equence radiale dans le pi`ege statique, et les comportements «mesur´es» du gradient et du biais, on obtient la courbe de droite sur la figure 3.4. Cette d´ecroissance est bien ajust´ee par une exponentielle, avec une constante de temps τ_C = 50 µs, ou ω_⊥τ_C = 0,13. En reportant ce r´esultat dans les ´equations d’´echelles, on trouve un ´ecart de .1 % seulement sur b^th_⊥ par rapport `a la coupure instantan´ee, c’est-`a-dire une erreur . 2% sur la temp´erature. Aussi, nous concluons que la coupure du pi`ege est suffisamment rapide pour permettre des mesures de temp´eratures fiables.

Champs r´emanents pendant l’expansion : Nous venons de voir que les courbures transitoires sont n´egligeables dans notre exp´erience. Un autre point `a examiner dans notre cas est l’importance des champs magn´etiques r´emanents pendant l’expansion du nuage. Il est important de se rendre compte que seule la partie du champ avec une d´ependance quadratique ou plus en position importe en ce qui concerne l’expansion. En effet, un champ uniforme ne produit pas de forces, et un champ lin´eaire en position («gradient») n’affecte que le mouvement du centre de masse. Nous ´etudierons les cons´equences de l’existence de gradients aux chapitres IV et VI, mais pour le probl`eme de thermom´etrie qui nous pr´eoccupe, ils sont

2Une diode est utilis´ee pour couper abruptement les oscillations ´eventuelles du circuit total, qui inclue un gros condensateur pour stocker l’´energie magn´etique et ´eviter les surtensions aux bornes de l’alimentation de courant (voir aussi [47]). Ceci explique pourquoi la d´ecroissance est brutale, au lieu d’exponentielle comme on peut s’y attendre. La forme lin´eaire de la d´ecroissance en courant n’est cependant pas bien comprise.

sans importances. De plus, le champ uniforme r´emanent esta prioribien compens´e, car cette

´etape, cruciale pour le fonctionnement de la m´elasse, doit ˆetre optimale pour atteindre le seuil de condensation. Cela sugg`ere que les composantes paires en position du champ doivent l’ˆetre ´egalement, puisque qu’elles sont toutes produites par les mˆemes bobines.

Des donn´ees d’expansion comme celle de la figure 3.1 permettent de r´epondre plus quanti-tativement `a ces questions. En effet, la temp´erature d´eduite de la vitesse d’expansion co¨ıncide

`

a mieux que les barres d’erreur (quelques %) avec celle d´etermin´ee par la proc´edure d’ajus-tement, appliqu´ee `a l’image qui correspond au temps de vol le plus long (et ´egalement aux images«courantes»). Ceci est vrai tant sur l’axe radial que sur l’axe axial, bien que les deux temp´eratures soient diff´erentes, comme indiqu´e plus haut. Nous d´eduisons de cette observa-tion que les champs r´emanents sont trop faibles pour perturber significativement l’expansion, au moins pour les temps de vol que nous regardons.