Equations de Gross-Pitaevskii coupl´ ees

, m_F = 0 :V₀ =−M gz,

m_F = +1 :V₊₁ =− |g_F |µ_BB₀−V_ext+ ^{3M g}_2ω2²

⊥ −2M gz.

(4.3)

On a not´eV_ext=¹₂M ω²_xx²+¹₂M ω_⊥²y²+¹₂M ω_⊥²z² le potentiel de pi´egeage, comme aux chapitres pr´ec´edents. L’origine suivant z (verticale) est prise par rapport au centre du condensat, d´eplac´e par rapport au centre du potentiel magn´etique d’une distanceg/ω_⊥². Le z´ero d’´energie est choisi en z = 0 dans m_F = 0.

g

V(z)

Z

|F=1,mF=-1

>

hnrf

|F=1,mF=0

>

V^o V^o+µ µ

z

y x B⁰

B^rf

Fig.4.1 – Principe d’extraction d’un laser `a atomes par transitions radiofr´equence. A gauche, nous illustrons la g´eom´etrie du condensat et le rep`ere choisi. Les bobines qui cr´eent le champ rf sont indiqu´ees, avec les directions relatives du champ de pi´egeage (approximativement parall`eles `a l’axe long du pi`ege) et du champ rf (perpendiculaire). A droite, nous avons trac´e les potentiels vus par les atomes dans les ´etats hyperfinsm_F =−1 et m_F = 0, dans le plan x=y = 0, connect´es par un photon radiofr´equence r´esonant avec la s´eparation Zeeman entre ces niveaux.

4.1.3 Equations de Gross-Pitaevskii coupl´ ees

Comme dans le cas d’un ´echantillon «sans spin» (i.e. totalement polaris´e), dans l’ap-proximation de Hartree-Fock la fonction d’onde `a N corps est un produit factoris´e, tous les atomes occupant lamˆemefonction d’onde `a un corps. Cependant, comme le spin est mainte-nant un degr´e de libert´e suppl´ementaire, la fonction d’onde `a un corps qui intervient dans ce produit est un spineur vectoriel Ψ ={Ψm<sub>F</sub>(r)}m<sub>F</sub>=−1,0,+1. L’´evolution du syst`eme est r´egie par trois ´equations de Gross-Pitaevskii, coupl´ees par W_rf, qui d´ecrivent le condensat pi´eg´e

et le faisceau extrait par le coupleur rf [175] : i~∂Ψ_mF

∂t |_mF=0,±1 = h_mFΨ_mF +X

m_F0

W_rf^mFmF0Ψ_m

F0 (4.4)

+ X

m_F0

U_mFmF0 |Ψ_mF0 |² Ψ_mF,

avech_mF =p²/2M+V_mF−M gz. On a introduit les constantes de couplageU_ij = 4π~²a_ij/M, o`u aij est la longueur de diffusion pour une collision entre deux atomes dans les niveaux Zeeman i et j. En posant ˜Ψ_mF = Ψ_mFe^−imFωrft, on peut ´eliminer la d´ependance temporelle explicite du couplage en faisant une approximation s´eculaire, qui ne conserve que le terme r´esonant avec la transition consid´er´ee («approximation du champ tournant»).

Une simplification suppl´ementaire consiste `a restreindre ce syst`eme `a deux ´equations seule-ment. En effet, en r´egime de couplage faible (on pr´ecisera plus loin dans quelles conditions il faut se placer pour le r´ealiser ), l’´etat m<sub>F</sub> = +1 est tr`es peu peupl´e : on peut ne pas en tenir compte et r´eduire le probl`eme `a deux niveaux seulement. Dans la suite de ce chapitre, nous ferons cette approximation syst´ematiquement. De plus, `a cause de la quasi-co¨ıncidence des longueurs de diffusion dans les ´etats triplets et singulets pour le rubidium 87 [176], on peut

`

a une tr`es bonne approximation consid´erer que la longueur de diffusion est la mˆeme quelque soit les esp`eces mises en jeu dans la collision : ainsi dans la suite on ne notera plus les indices pour U et a (et on prendra a≈5.31 nm [73]). On obtient ainsi les ´equations :

i~∂

∂t

Ψ˜_mF=−1 = [~δ_rf +L−1] ˜Ψ_mF=−1+ ~Ω_rf 2

Ψ˜_mF=0 (4.5)

i~∂

∂t

Ψ˜_mF=0 = L₀Ψ˜_mF=0+ ~Ωrf

2

Ψ˜_mF=−1. (4.6)

On a d´efini les op´erateurs diff´erentiels L_mF=−~²∆/2M +V_mF +U n(r), avec les potentiels donn´es pr´ec´edemment et la densit´e totale n(r) =| Ψ˜_mF=−1 |² + | Ψ˜_mF=0 |². Le d´esaccord δrf vaut δrf=V0−~ωrf, en comptant par rapport au fonds du potentiel pi´egeant V0 =| gF | µ_BB₀+M g²/2ω_⊥².

Toujours dans l’hypoth`ese d’un faible taux de couplage, on peut encore simplifier le pro-bl`eme en n´egligeant les interactions entre les atomes qui composent le laser. Par contre, les interactions entre les atomes qui restent dans le condensat et ceux qui sont coupl´es sont prises en compte. Sous ces hypoth`eses, la densit´e totale `a utiliser dans le terme non lin´eaire devient simplement n(r)≈|Ψ˜_mF=−1 |², et L₀ devient un hamiltonien «ordinaire»:

H₀(t) = p²

2M −M gz+U |Ψ−1(r, t)|² . (4.7) Nous avons introduit explicitement la d´ependance temporelle de l’hamiltonien : elle vient du terme de champ moyen, qui change dans le temps sous l’effet du couplage.

Solution adiabatique pour m_F =−1 : Pour le niveau pi´egeant m_F =−1, une difficult´e suppl´ementaire, par rapport `a la r´esolution de l’´equation de Schr¨odinger, vient de la non-lin´earit´e du probl`eme. Pour les atomes du condensat, nous la contournons en introduisant

une approximation adiabatique pour le condensat pi´eg´e. En r´egime stationnaire (i.e. pour t ≤ 0, avant d’appliquer le coupleur), ˜Ψ_mF=−1 n’est autre que la solution `a l’´equilibre ˜Φ−1

de l’´equation de Gross-Pitaevskii, avec le potentiel chimique µ0 :

[L−1+~δrf−µ0]Φ−1(r,0) = 0. (4.8) Cette fonction d’onde constitue la condition initiale `a partir de laquelle le couplage rf est appliqu´e. Pourt≥0, le hamiltonien d´epend du temps par l’interm´ediaire deN<sub>mF=−1</sub>(t), qui d´ecroˆıt dans le temps. A chaque instant, on doit donc introduire une base intantan´ee form´ee par l’´etat de plus basse ´energie Φ−1(r, t) de L−1, qui est le mode condens´e instantan´e, et les excitations associ´ees, qui sont orthogonales `a cet ´etat. On peut donc ´ecrire `a chaque instant :

Ψ˜_mF=−1(r, t) =

Φ−1(r, t) +δΨ(r, t)

e^{−iδrft−iR0tµ(t}

0)dt0

~ , (4.9)

avec le potentiel chimique instantan´e µ(t) et µ(0) = µ₀. Dans le r´egime de Thomas-Fermi, avec les notations introduites au chapitre I, la fonction d’onde instantan´ee s’´ecrit simplement :

Φ₋₁(r, t) =µ(t) U

1/2

1−x˜²−y˜² −z˜²1/2

. (4.10)

Comme au premier chapitre, on a introduit les variables spatiales ˜x_i adimension´ees par rapport aux tailles du condensat R et L. Il est important de noter que nous avons norm´ee Φ₋₁ `aN_mF=−1(t), diff´eremment des conventions habituelles de la m´ecanique quantique mais en accord avec l’interpr´etation de |Φ−1 |² en termes de densit´e du condensat.

Le termeδΨ d´ecrit les niveaux excit´es. Initialement, nous les avons suppos´es non peupl´es, et donc δΨ(r, t = 0) = 0. Par contre, δΨ peut, en pr´esence du champ rf, d´evelopper une valeur non-nulle `a cause de couplages non-adiabatiques. En rempla¸cant dans l’´equation (4.5), et en projetant sur Φ−1(r, t), on obtient une ´equation contenant en effet des termes d´ecrivant le m´elange entre fondamental et ´etats excit´es (d´ependants du temps). Si on suppose que le couplage est adiabatique, ce terme est tr`es petit et la population des niveaux excit´es reste n´egligeable au cours du temps. Alors, l’´equation pour la populationN_mF=−1 est simplement r´egie par le terme de couplage rf :

d

R´eduction `a une ´equation de type Schr¨odinger : Les approximations successives que nous avons faites nous ont permis de r´eduire le probl`eme `a celui d’un niveau discret, le mode du condensat, coupl´e `a un continuum de modes propagatifs (les ´etats propres deH₀).

Ce probl`eme est bien connu, et le formalisme de la r´esolution de l’´equation de Schr¨odinger d´ependante du temps va pouvoir s’appliquer `a l’´equation d´ecrivant la dynamique du laser.

La m´ethode habituelle [177] consiste `a d´ecomposer la fonction d’onde ˜Ψ<sub>mF=0</sub> sur les ´etats propres du continuum. Dans notre article [51], nous avons suivi cette voie, en n´egligeant toutefois l’effet r´epulsif exerc´e par le champ moyen du condensat : dans cette approximation, la gravit´e est le seul moteur de l’extraction. Nous verrons plus loin que cette approximation, qui peut sembler brutale, est en r´ealit´e assez bonne dans le cadre de nos exp´eriences. Dans ce m´emoire, nous pr´esentons une approche alternative bas´ee sur l’utilisation du propagateur de l’hamiltonien H<sub>0</sub> [60]. Bien qu’´equivalente en principe `a la d´ecomposition sur les modes du

continuum, cette m´ethode devient puissante dans le cadre de l’approximation semi-classique, et nous verrons qu’elle donne dans ce cas une pr´ediction particuli`erement simple pour le taux d’extraction.

Nous introduisons donc le propagateur de H₀, d´efini comme K₀(r_f, t_f;r_i, t_i) =hr_f |e⁻ⁱ

Rtf ti

H0(τ)dτ

~ |r_ii (4.12)

dans le cas g´en´eral o`u H<sub>0</sub> d´epend du temps, avec t<sub>f</sub> > t<sub>i</sub>. Les propri´et´es de K<sub>0</sub> sont discu-t´ees en d´etails dans le livre de R.P. Feynman et A. Hibbs [60], et certaines sont rappel´ees dans l’appendice D. On pourra ´egalement se reporter aux r´ef´erences [156, 174] qui traitent de l’application du formalisme du propagateur aux probl`emes d’optique atomique, et `a la r´ef´erence [178] pour une discussion de l’approximation semi-classique.

La solution de l’´equation inhomog`ene i~∂

∂t

Ψ˜_mF=0 =H₀Ψ˜_mF=0+ ~Ω_rf 2

Ψ˜_mF=−1 (4.13)

est donn´ee par la propagation du terme source `a l’aide de K₀ : Ψ˜_mF=0(r_f, t) = Ω_rf

2i Z t

0

dt⁰ Z

d³r_i K₀(r_f, t;r_i, t⁰) ˜Ψ_mF=−1(r_i, t⁰). (4.14) Sous cette forme, la d´enomination de propagateur est transparente : si on connaˆıt la fonction d’onde en ri, au tempst, alors grˆace `aK0 on peut propager cette fonction d’onde le long de tous les chemins d’espace-temps aboutissant au point final (r<sub>f</sub>, t<sup>0</sup>). Nous verrons un peu plus loin que le chemin le plus important est celui qui serait effectivement suivi par une particule ob´eissant strictement aux lois de la m´ecanique classique. N´eanmoins, les trajectoires voisines (c’est-`a-dire celles dont l’excursion autour de la trajectoire classique int´egr´ee sur tout le trajet ne d´epasse pas ~) doivent en g´en´eral ˆetre prises en compte, en tant que fluctuations autour du chemin classique. Nous pr´ecisons plus loin dans quelles conditions ces fluctuations jouent un rˆole mineur.