Sous-espace pour la reproduction du diagramme de dispersion

Un principe de base des méthodes de Ritz est que si le sous-espace engendré par la base réduite contient la solution, alors celle-ci est retrouvée de manière exacte. Toutes les mises en œuvre pratiques définissent donc des problèmes pertinents qui sont inclus exactement, ce qui permet de reproduire ces solutions dans le modèle réduit et d’approcher correctement tous les problèmes similaires.

Les deux problèmes pertinents pour l’étude dynamique des voies sont

— la propagation d’ondes évaluée par la reproduction correcte des fonctions de transfert dans le domaine fréquences/nombres d’onde

— la réponse statique sous charge fixe

Le sous-espace généré par vect(S) sera donc construit en combinant des solutions exactes à ces deux problèmes, calculées avec les méthodes détaillées en section2.2.4.

Le résultat essentiel, introduit dans ce travail, et illustré dans cette section, est que le sous-espace engendré par les modes périodiques de l’équation (2.42) ne dépend que faiblement du nombre d’onde.

Une première idée est de supposer que le sous-espace est constant en fonction du nombre d’onde. Il suffit alors de calculer les modes périodiques pour une seule longueur d’onde et d’appliquer la procédure de construction de base décrite en section 2.3.3. Pour cela, un modèle périodique est construit. Les modes périodiques sont recalculés sur ce modèle réduit en appliquant (2.42). Lors du calcul, il est bien sûr souhaitable de tronquer la base en utilisant une fréquence de coupure fmax.

Pour illustrer la validité du modèle réduit, sur le cas simplifié de voie sur ballast de la Fig.2.12, le sous-espace vect(S) engendré à l’aide des modes calculés pour une longueur d’onde λ = 5 est considéré. Le diagramme de dispersion obtenu est tracé sur la Fig.2.26. Sur ce même diagramme, les marqueurs représentent les points calculés exactement avec la procédure de calcul complet détaillée dans

Réduction de modèle pour les guides d’ondes

la partie2.2.3. La ligne verticale noire matérialise le point de calcul, c’est-à-dire celui correspondant à la longueur d’onde choisie.

0 0.5 1 1.5 2 2.5

Nombre d'onde (rad/m)

20 25 30 35 40 45 50 Fréquence (Hz)

FIGURE2.26 : Diagrammes de dispersion exact (marqueurs) et réduit (lignes) pour une réduction en

λ = 5 sur un modèle de voie simplifié.

La première conclusion est que les lignes du diagramme de dispersion passent globalement bien par les points calculés de manière exacte, mais que des divergences apparaissent pour de petits nombres d’onde (c’est-à-dire quand la longueur d’onde augmente). Ceci est particulièrement visible sur le pre- mier mode du diagramme de dispersion, pour lequel les modèles réduit et complet diffèrent fortement pour des nombres d’onde inférieurs à 1 rad/m.

Le choix peut être fait de prendre comme point de calcul une longueur d’onde plus élevée, de manière à mieux capter les propagations sur de longues distances. La valeur de λ = 50 cellules est choisie. Le diagramme de dispersion correspondant à ce calcul sur le même cas d’étude est présenté sur la Fig.2.27, et est à nouveau superposé au calcul sans réduction. La ligne noire verticale représente le point de calcul. Dans ce cas, la superposition est bien meilleure pour les petits nombres d’onde, mais devient moins bonne pour les nombres d’onde plus grands.

0 0.5 1 1.5 2 2.5

Nombre d'onde (rad/m)

20 25 30 35 40 45 50 Fréquence (Hz) (a) 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Nombre d'onde (rad/m)

50 55 60 65 70 75 80 Fréquence (Hz) (b)

FIGURE2.27 : Diagrammes de dispersion exact (marqueurs) et réduit (lignes) pour une réduction en

λ = 50 cellules sur un modèle de voie simplifié.

Les calculs à une seule longueur d’onde donnant des résultats mitigés, une extension classique consiste à utiliser l’approche multi-modèle [Hammami et al., 2016], dans laquelle deux résultats sont combinés. La première proposition est de conserver les modes obtenus pour deux valeurs de λ représen- tant les petites et les grandes longueurs d’onde. Quelques études paramétriques ont permis de montrer que conserver les solutions λ = 5 cellules et λ = 50 cellules était pertinent.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Nombre d'onde (rad/m)

20 30 40 50 60 70 80 90 100 Fréquence (Hz)

(a) Diagramme de dispersion

0 0.5 1 1.5 2 2.5

Nombre d'onde (rad/m)

20 25 30 35 40 45 50 Fréquence (Hz)

(b) Zoom sur les basses longueurs d’onde

FIGURE2.28 : Diagrammes de dispersion exact (marqueurs) et réduit (lignes) pour une réduction en

λ = 5 cellules et λ = 50 cellules sur un modèle de voie ballastée de conception LGV.

Cette approche donnant des résultats très satisfaisants pour le cas de la voie simplifiée avec une seule couche de ballast, un cas d’application plus complexe est présenté. Il s’agit de la configuration de voie

Réduction de modèle pour les guides d’ondes

ballastée de type LGV, qui a été introduite dans la section2.1.4. Le résultat obtenu pour le diagramme de dispersion calculé avec λ = 5 cellules et λ = 50 cellules est présenté en lignes continues sur la2.28

alors que le calcul complet est matérialisé par les marqueurs. Les lignes du calcul réduit passent bien par ces marqueurs pour tous les modes calculés ce qui prouve la pertinence du choix de ces deux longueurs d’onde.

Si l’approche à deux longueurs d’onde semble pertinente pour la plupart des guides d’ondes, le cas des voies présente la spécificité de l’existence d’un band-gap associé au modes de résonances de traverses sur le ballast illustré en Fig.2.4. Pour assurer de retrouver précisément ce mode dans le mo- dèle réduit, il est apparu nécessaire de compléter le sous-espace par le calcul de modes périodiques de longueur d’onde deux cellules. Dans les chapitres 4et5pour lesquels la procédure de réduction sera mise en pratique, le sous-espace réduit sera donc généré à partir des longueurs d’onde λ = 2, λ = 5 et λ = 50.