Fonction transfert 2D pour une voie ferrée périodique maillée par éléments finis

Pour prendre en compte les effets de la sous-structure dans la réponse de la voie, une approche de type éléments finis est choisie. La voie est toujours considérée comme une structure périodique mais, plutôt qu’un ensemble masses-ressorts, la tranche élémentaire est représentée par une tranche de voie maillée par éléments finis, comme le montre la Fig.2.7.

Dans un premier temps, le sol est considéré sans masse pour éviter une densité modale trop im- portante (voir plus loin dans cette section pour une étude détaillée de ce point). Les propriétés de cette structure test sont regroupées dans le tableau2.1

Tableau 2.1 : Propriétés des matériaux pour la modélisation de la voie ballastée de conception LGV.

E ν ρ η (MPa) (kg/m3) Rail 210 GPa 0.285 7800 0 Traverses 30 GPa 0.25 2400 0 Semelles 60 0.3 828 0.2 Ballast 200 0.3 1700 0.1 Sous-ballast 180 0.35 2135 0.04 Couche de forme 200 0.3 1800 0.04 Sol 100 0.25 1 0.04

La transformée de Fourier en temps et en espace de cette tranche de voie est calculée et affichée en Fig.2.8. Le diagramme de dispersion de cette structure est également calculé et superposé à la fonction transfert 2D.

Deux remarques principales peuvent être faites en comparant avec la voie représentée comme une poutre sur un ensemble de masses-ressorts. La première est que la complexification de la représenta- tion de la voie entraîne une plus grande densité modale (visuellement, cela se traduit sur la Fig.2.8par

Réduction de modèle pour les guides d’ondes

FIGURE 2.7 : Modélisation d’une voie ferrée comme un ensemble de tranches périodiques maillées

par éléments finis.

FIGURE2.8 : Amplitude de la réponse fréquentielle forcée pour une voie périodique maillée par élé-

ments finis avec les propriétés du tableau2.1.

un plus grand nombre de lignes noires). La seconde est que contrairement à la modélisation par des masses-ressorts périodiques, tous les modes périodiques déterminés par un calcul aux valeurs propres n’induisent pas une valeur élevée de la réponse forcée. Autrement dit, il existe des modes qui ne contri- buent pas à la réponse verticale de la voie sous charge.

Cette deuxième remarque est extrêmement importante pour la stratégie de calcul qui va être exposée plus loin. En effet, quand la réduction de modèle basée sur une sélection modale va être introduite, il sera primordial de s’assurer que celle-ci conserve les modes contribuant à la réponse verticale de la voie. D’autre part, les modes n’ayant pas d’influence dans cette réponse pourront être éliminés sans pour autant fausser la réponse globale de la structure.

Dans le calcul de voie ferrée présenté ici, la densité dans le sol a été considérée très faible. Pour évaluer dans quelle mesure la densité modale dans le sol augmente avec la fréquence, il faut pouvoir identifier quelles sont les fréquences modales.

Dans le sol, les vitesses de propagation des ondes P et S peuvent être déterminées à partir du module élastique, du coefficient de Poisson et de la densité selon les formules

cp = q E(1−ν) ρ(1+ν)(1−2ν) cs= q E 2ρ(1+ν) (2.24)

Pour une colonne de sol, ce calcul des fréquences modales pour des propagations dans une direction est relativement simple et est à la base d’une méthode très classique d’analyse du comportement vibra- toire des sols : la colonne résonante [Heelis et al., 1999,Cascante et al., 2005]. La méthode consiste à exciter une colonne par des vibrations (longitudinales, transversales, ou de torsion), le but étant de déterminer l’amortissement du spécimen étudié et son module de cisaillement.

Si on considère le cas de la torsion, détaillé dans [Semblat and Pecker, 2009], l’équation différen- tielle qui régit le mouvement est ∂_∂t22θ = cs∂

2_θ

∂z2 où θ est l’angle de rotation d’un point distant de z de la

base de la colonne (fixe).

Les solutions de cette équation peuvent alors s’écrire sous la forme

θ(z, ω) =  A cos ω cs z  + B sin ω cs z  eiωt (2.25)

où A et B sont des constantes d’intégration.

Pour une colonne de hauteur H avec des conditions aux limites encastrée-libre : θ(0, ω) = 0 et

ES∂θ(z,ω)_∂z (H) = 0.

Les fréquences propres ωnsont alors donnés par

ωn= (2n − 1)

πcs

2H (2.26)

Il apparaît clairement dans cette formule que le nombre de modes présents en dessous d’une fré- quence donnée est proportionnel au rapport hauteur sur longueur d’onde.

2 4 6 8 10 12 14 16 Largeur de sol [m] 0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 Nombre de modes/Surface 5 10 15 20 Hauteur de sol [m] 0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 Nombre de modes/Surface ‘

FIGURE2.9 : Densité modale par surface pour une section de sol.

Pour la propagation dans une couche de sol, en l’absence de formule analytique simple permettant d’estimer les fréquences modales, on choisit de compter le nombre de modes associés au nombre d’onde 0 qui correspond à la déformation plane. On réalise donc une série de calculs pour une couche de sol

Réduction de modèle pour les guides d’ondes

rectangulaire, de module d’Young 100 MPa, coefficient de Poisson 0.25, et de masse volumique 1800 kg/m3_{. Le nombre de modes divisé par la surface de la section de sol est affiché en Fig.2.9. Il apparaît}

assez clairement que, pour une taille suffisante, le nombre de modes est bien proportionnel à la surface. En étendant la formule (2.26), il semble par ailleurs clair qu’il est inversement proportionnel à la vitesse de propagation des ondes au carré.

FIGURE2.10 : 200ème mode pour une section de sol de 21 m de haut et 16 m large.

Dans les cas réalistes, comme celui du sol considéré ici, il faut donc s’attendre à ce que plusieurs centaines d’ondes en dessous de 100 Hz puissent s’y propager, rendant le calcul d’autant plus complexe. Un exemple de forme d’onde est proposé sur la Fig.2.10, pour le cas d’une section de hauteur 21 m et de largeur 16 m. Il s’agit du 200ème mode propre calculé pour cette section de sol, avec des longueurs d’onde courtes, et pourtant la fréquence propre associée n’est que de 40 Hz. Pour conserver le compor- tement en raideur de la voie, mais limiter la quantité d’ondes propagées dans le sol, la solution proposée est alors de calculer les modes en abaissant fortement la densité volumique du sol, tout en conservant celle des autres couches. Cette solution sera appliquée pour les études temporelles des chapitre4et5, pour lesquelles le comportement est essentiellement piloté par l’enfoncement sous charge, et les aspects propagatifs des modes élevés dans le sol n’ont pas d’influence sur le résultat global. Dans le chapitre3

en revanche, portant sur l’étude des voies dans le domaine fréquentiel spécifiquement, la masse volu- mique physique du sol sera considérée pour les calculs.

Dans cette partie, les transformées de Fourier spatio-temporelle ont été introduites et appliquées sur plusieurs structures : poutre en traction compression, voie ferrée représentée comme une poutre sur fondation de Winkler périodique, et voie périodique avec tranche élémentaire maillée par éléments finis. Sur ces cas d’application il a été montré que ces transformées permettent d’analyser la réponse fréquentielle forcée des structures. Une attention particulière a été portée sur les liens entre diagramme de dispersion et réponse forcée, avec un accent sur l’évolution de la densité modale liée à la modélisation des couches de sol avec des propriétés réalistes pour de la voie ferrée.

2.2

Calcul du transfert 2D pour un modèle éléments finis de tranche

Ayant introduit la notion de fonction de transfert 2D et détaillé les propriétés de ces transferts, la deuxième étape du problème consiste à introduire une méthodologie de calcul permettant de résoudre les équations de dispersion pour les guides d’ondes de géométrie complexe. Pour cela, la tranche élé- mentaire est d’abord modélisée par éléments finis. Dans un second temps, une fois les matrices de masse et de raideur déterminées sur cette tranche élémentaire, deux résolutions alternatives sont proposées. La résolution des équations du mouvement peut être réalisée par l’introduction d’une matrice de transition pour propager sur un grand nombre de tranches, avec la méthode WFE (voir section2.2.2) ou bien par combinaison de solutions spatialement périodiques (section2.2.3). Cette deuxième méthode sera ensuite utilisée dans ce travail, en débutant par le calcul de la réponse forcée sous charge en section2.2.4.