1.3 Conclusions partielles
2.2.3 Recombinaison de solutions spatialement périodiques
Suivant la deuxième approche proposée en section2.1.2, cette partie propose d’exploiter les équa- tions du mouvement d’une tranche (2.29) en cherchant des solutions spatialement périodiques, plutôt qu’harmoniques en temps comme dans la méthode WFE. Un des intérêts fondamentaux de cette ap- proche est de fournir une stratégie de troncature claire, basée sur la gamme de fréquences d’excitation.
Une des propriétés clés des structures périodiques, montrée par exemple par [Sternchüss, 2009], est que pour une excitation à une longueur d’onde donnée, décrite comme un champ sur la tranche de base G (κc, ω, x0) associé à un unique nombre d’onde κc, la réponse du système a lieu uniquement au même
nombre d’onde κc. Cette propriété est vérifiée pour les systèmes dont la géométrie et les propriétés des
matériaux sont strictement périodiques.
Ainsi, les problèmes éléments finis de grande taille, mais contenant une répétition périodique de tranches élémentaires, peuvent être décomposés en une série de problèmes indépendants, correspondant chacun à un nombre d’onde κcdonné, et décrivant les solutions périodiques du problème.
Pour une valeur du nombre d’onde κc, le champ g peut être déterminé en tout point de l’espace par
la transformation inverse
g(x0+ n∆x) = Re(G(x0, κc)ejκcn) (2.35)
qui permet de retrouver les valeurs pour l’ensemble de la structure en se basant sur celles prises sur une tranche.
Pour une réponse générale combinant plusieurs harmoniques, la transformée inverse est donnée par l’intégrale (2.4). L’intégrale étant une application linéaire, son approximation par une approxima- tion numérique utilisant les réponses harmoniques à des nombres d’onde κkpeut être exprimée par un
opérateur linéaire défini de la manière suivante
{g(x0+ n∆x)} = [Enk]
Re(G(x0, κc))
Im(G(x0, κc))
(2.36)
La taille de la matrice [E] est donc n × 2k, avec n correspondant au nombre de tranches qui sont re- présentées, et k ∈ [1 N ] le nombre de nombres d’onde choisis, avec la convention κ0 = 0 et κN +1= π.
Il est possible d’utiliser un demi spectre car pour tout n ∈ [0 ∞], cos(nκc) = cos(n(2π − κc)) et
sin(nκc) = − sin(n(2π − κc)), ce qui conduit à Gx0,κc et Gx0,2π−κcconjugués. L’opérateur d’intégra-
tion est défini de la manière suivante
En(2k−1) = cos(nκk) [(κk+1− κk) + (κk− κk−1)] 2π En(2k)= − sin(nκk) [(κk+1− κk) + (κk− κk−1)] 2π (2.37)
ce qui correspond à une règle d’intégration simple avec G(x0, κc) constant sur l’intervalle [(κk +
κk−1)/2 (κk+1+ κk)/2]. Le choix des nombres d’onde utilisés pour le calcul est un levier de réduction
du temps de calcul. La stratégie se base sur la forme du diagramme de dispersion et sera détaillée plus bas dans cette partie.
A présent, on cherche une solution périodique pour une tranche maillée par éléments finis. Le champ des déplacements continus sur la tranche de référence un(x0) est remplacé par le déplacement {qn}
associé aux degrés de liberté (DDL) de cette tranche.
Pour s’assurer que le déplacement soit continu entre deux tranches périodiques adjacentes, une condition doit être introduite. La réponse sur le bord gauche d’une tranche doit être égale à la ré- ponse sur le bord droit de la tranche précédente, ce qui conduit à la condition suivante : {ql(n∆x)} =
{qr((n − 1)∆x)}.
Le vecteur {qn} contient tous les déplacements aux DDL de la tranche n. Pour extraire parmi
ces DDL ceux générant des déplacements sur les bords gauche et droit, deux matrices d’observation, respectivement [cl] et [cr], sont définies.
Pour une réponse périodique associée à un nombre d’onde donné, en prenant en compte l’équation (2.35), la condition de continuité peut s’écrire [cr] {Q(κc)} = [cl] {Q(κc)} e−2iκc ce qui conduit en
différenciant partie réelle et imaginaire à l’équation suivante
[C (κc)] Re(Q(κc, ω))
Im(Q(κc, ω))
= 0 (2.38)
où la matrice [C] est définie comme
[C (κc)] =
[cl] − cos(κc)[cr] − sin(κc)[cr]
sin(κc)[cr] [cl] − cos(κc)[cr]
Pour l’application d’une force extérieure {f } au système, et en notant s la variable de Laplace, la première étape consiste à calculer la transformée de Floquet de la force F (κc, s).
La réponse forcée périodique du modèle est calculée à partir des équations du mouvement, qui ont été rappelées en (2.27). Elles sont découplées pour chaque nombre d’onde et, dans le cas général où le nombre d’onde est différent de κc = pπ, il faut distinguer la partie réelle et la partie imaginaire de la
réponse ce qui conduit à l’équation du mouvement donnée par
Z(s) 0 0 Z(s) Re({Q(κc, s)}) Im({Q(κc, s)}) =[b] Re({f (κc, s)}) [b] Im({f (κc, s)}) . (2.39)
Réduction de modèle pour les guides d’ondes
Dans les cas particuliers de transformée en espace est réelle, cette équation dégénère en
[Z(s)] {Q(κc, s)} = [b] {f (κc, s)} (2.40)
La résolution de l’équation (2.39) sous condition de continuité (2.38) peut être faite par élimination, ce qui sera retenu ici, par la méthode de pénalisation [Bertsekas, 1982] ou par utilisation de multiplica- teurs de Lagrange [Bathe, 2006].
Dans la méthode d’élimination, la condition de continuité est prise en compte en construisant d’abord une base [T ] de ker ([C(κc)]). Cette base est ensuite utilisée pour trouver une solution du
problème sous contrainte en résolvant
[T ]T [Z(κc, s)] [T ]
{Q (κc, s)} = [T ]T[b] {f (κc, s)} . (2.41)
Calculer cette réponse pour chaque fréquence cible s = iω peut être assez long, puisque cela néces- site d’inverser la matrice de raideur dynamique contrainte [T ]T [Z(s)] [T ] pour chaque fréquence. Une méthode de synthèse modale est alors privilégiée ici.
Pour cela, la première étape consiste à calculer les modes périodiques et fréquences propres asso- ciées {φj(κc)} , ωj(κc) solutions du problème aux valeurs propres
[T ]T [K] − ωj2(κc) [M ] [T ]
{φj(κc)} = 0. (2.42)
Les fréquences propres ainsi trouvées forment le diagramme de dispersion, qui est identique à ce- lui obtenu par l’approche WFE dans les cas non amortis et avec un lien fort sinon puisque les deux approches conduisent à la prédiction de même la fonction de transfert en fréquences/nombres d’onde [Balmes et al., 2016].
0.5 1 1.5 2 2.5 3
Nombre d'onde (rad/m)
40 50 60 70 80 90 100 110 120 Fréquence (Hz)
(a) Diagramme de dispersion (b) Structure simple de voie sur ballast
FIGURE2.12 : Diagramme de dispersion obtenu pour une structure simplifiée de voie.
A titre d’exemple, une structure de voie simplifiée est modélisée. La tranche élémentaire de cette structure est représentée en Fig. 2.12b. Elle est composée d’un rail, de traverses monobloc, reposant sur un lit de ballast de 75 cm. Les éléments poutre représentant le rail sont rigidement connectés aux éléments volumiques linéaires élastiques représentant les semelles, les traverses et le ballast. La couche de ballast a pour propriété un module d’Young de 100 MPa, un coefficient de Poisson de 0.3, un facteur de perte de 0.06 et une masse volumique de 1900 kg/m3. Le diagramme de dispersion correspondant à
cette structure est présenté en Fig.2.12a.
La propriété d’existence de seulement quelques modes à un nombre d’onde donné est bien visible sur ce diagramme de dispersion. L’utilisation d’une méthode de synthèse modale paraît donc bien adap- tée au calcul de la réponse forcée, comme cela sera détaillé dans la section suivante.