Fonction transfert 2D pour une voie modélisée comme une poutre sur fondation

de Winkler périodique

Cette première analyse mérite d’être généralisée aux cas des voies ferrées pour comprendre les grandes caractéristiques attendues dans la réponse fréquentielle forcée (réceptance) qui ont été détaillées dans la section1.1.2. Un cas d’application plus complexe que la poutre en compression est alors étudié. Il s’agit de la représentation d’une voie ferrée par un ensemble de rail poutre sur fondation de Winkler périodique, c’est-à-dire sur un ensemble de masses-ressorts telle que l’illustre la Fig.2.3. Ce type d’ap- proche est relativement répandu pour l’analyse d’un comportement macroscopique de la voie ferrée, comme cela a pu être présenté dans la revue bibliographique, et illustré en particulier sur la Fig.1.15.

FIGURE2.3 : Modélisation d’une voie ferrée comme une poutre sur un ensemble de masses-ressorts

périodiques.

Le rail est modélisé comme une poutre Euler Bernoulli, un ressort de raideur ksemellereprésentant

la semelle le relie à une masse Mtqui représente la traverse. La traverse repose sur un ressort kf ondation

qui modélise la raideur de l’ensemble des couches : du ballast au sol support (mais dans la littérature qui est souvent associé à une raideur de ballast). Les propriétés choisies dans le modèle sont inspirées du travail de [Faure, 2011] pour les masses et ressorts sont

— Raideur de fondation kf ondation = 20kN/mm

— Masse traverse Mt= 80kg

La transformée de Fourier de la réponse forcée de cette structure à un impact au niveau du rail dans le domaine des fréquences/nombres d’onde est affichée en Fig.2.4. Les propriétés de cette figure sont identiques à celles de la fonction transfert de la poutre en traction compression (Fig.2.2). Le code couleur employé reste le même, avec en jaune les valeurs maximales du ratio déplacement/force et en bleu les valeurs minimales de ce ratio.

Pour mieux faire ressortir les résonances, le diagramme de dispersion, reliant fréquences et nombres d’ondes pouvant exister en l’absence de sollicitation extérieure, est matérialisé par des lignes noires su- perposées à la fonction transfert en Fig. 2.4. Les stratégies de calcul de ce diagramme en fréquence ou nombre d’onde seront explicitées en section2.2. Comme attendu pour le dénominateur d’une frac- tion rationnelle, les maxima observés sur la fonction transfert 2D (parties les plus jaunes de la figure) coïncident avec le diagramme de dispersion.

FIGURE2.4 : Amplitude de la réponse fréquentielle forcée d’une voie périodique représentée comme

une poutre sur un ensemble masses/ressorts.

L’essai de réceptance est un impact localisé en espace, en un point donné du rail. Par transformée spatiale inverse (équation 2.4), la réponse fréquentielle en ce point, affichée en Fig. 2.5, est donc la somme des contributions aux différents nombres d’onde.

FrequencyC[Hz] 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 ReceptanceC[m/N] 10-9 10-8 10-7 A B C D

FIGURE 2.5 : Réponse forcée d’une voie ferrée représentée comme une poutre sur un ensemble de

Réduction de modèle pour les guides d’ondes

FIGURE2.6 : Déformées associées aux pics de la réceptance tracée en Fig.2.5.

Le calcul de cette réponse forcée permet de retrouver la forme caractéristique de la courbe de récep- tance d’une voie ballastée qui avait été décrite dans la partie1.1.2. En particulier, les points caractéris- tiques notés de A à D sont bien repérables. La superposition du diagramme de dispersion à la fonction transfert 2D (Fig.2.4) a permis de montrer que chacun d’entre eux est associé à un mode de propagation très clair. Les représentations des points caractéristiques sont proposées sur la Fig. 2.6 (bien que les deux files de rail soient représentées ici pour faciliter la visualisation, le calcul est fait pour une voie symétrique, c’est à dire avec une seule file de rail). Le premier pic visible sur la Fig.2.5est localisé à 65 Hz. La déformée correspondante est présentée en Fig.2.6a. Comme évoqué dans la partie de revue bibliographique, ce mode correspond à une résonance de l’ensemble de la superstructure de voie sur la fondation.

La déformée associée au deuxième point caractéristique de la Fig. 2.5 est localisée à 300 Hz et est présentée en Fig. 2.6b. Ce mode est défini dans la littérature comme un mode d’anti-résonance de traverse. Ce qui est clairement visible ici est un mode d’alternance du mouvement d’une traverse sur deux. Ce mode correspond à un déplacement alterné des traverses qui induit un très faible mouvement au niveau du rail. Ce mode correspond dans le diagramme de dispersion, au nombre d’onde du demi- spectre ou fréquence de repliement spatial, la période de ce mode alterné étant de deux cellules. En effet, sur la Fig.2.4, un mode périodique (ligne noire) converge vers la fréquence 300 Hz pour 1/nc= 1 soit

κc= π/∆x.

Aucun mode n’existe alors jusqu’au mode C, qui correspond à une résonance du rail sur la raideur des semelles, avec un mouvement des traverses quasi nul, comme le montre la Fig.2.6c. Cette absence de modes entre les points B et C est communément appelé « band gap » [Olhoff et al., 2012]. Il s’agit d’une gamme de fréquences dans laquelle aucun mode périodique ne peut se produire. Cette gamme de fréquences est bien visible sur le diagramme de dispersion de la Fig.2.4: entre 300 Hz et 550 Hz aucune ligne noire n’est présente sur le graphique. Dans la réponse forcée, le déplacement minimal (couleur

bleue) est obtenu au début de la bande interdite (fréquence spatiale périodique pour 1/nc = 1) et la

résonance (couleur jaune) est visible à la fin (fréquence spatiale périodique correspondant à 1/nc= 0).

Enfin, le dernier point caractéristique qui apparaît sur la courbe de réceptance Fig.2.5est le mode dit « pin-pin », qui correspond au repliement spatial des ondes se propageant dans le rail. En particulier, à cette fréquence, les traverses adjacentes ont des phases opposées. L’illustration de cette déformée est sur la Fig.2.6d.

Dans cette représentation de la voie, seule la superstructure et une raideur unique pour l’ensemble ballast, sous-couches et plateforme sont modélisés. L’étude de la fonction transfert 2D du modèle per- met d’approfondir l’analyse de la réceptance présentée dans la section1.1.2. Les points caractéristiques globaux de la voie ballastée sont bien modélisés de cette manière et la propagation des ondes associées est détaillée. Toutefois, dans cette représentation, la contribution spécifique de la plateforme (indépen- damment du ballast) n’est pas prise en compte. Or, la contribution de cette dernière est cruciale pour représenter correctement le comportement en basses fréquences, puisqu’il a été montré que ce sont les couches inférieures de la voie qui en pilotent la réponse [Knothe and Grassie, 1993].

Ainsi, pour une étude approfondie de la propagation des ondes dans la voie, si l’approche abordée ici paraît convaincante, un raffinement du modèle, notamment concernant la sous-structure apparaît comme essentiel.