Sols bi-paramétriques :

Plusieurs chercheurs, réalisant l'inadéquation de la représentation des sols dans le modèle de Winkler, ont essayé de rendre le modèle plus réaliste. L'un des problèmes dans le modèle de Winkler est qu'il n'y a pas d'interaction entre les ressorts verticaux. Pour parvenir à une sorte d'interaction entre ces ressorts isolés, Filonenko-Borodich (1940) ont tenté de relier les extrémités supérieures des ressorts à une membrane élastique tendue avec une tension constante T (Figure 2-3).

Figure 2-3 : Modèle bi-paramétrique de sol Filonenko-Borodich

La relation entre la charge, p, et la déflection, w, dans ce modèle est définie par : (Eq. 2-5) Toutefois, aucune méthode théorique n’est prévue pour le calcul de k et de T en dehors des approches empiriques ou expérimentales. Hetényi (Hetényi, 1950) a réalisé une interaction

.w 4w

pk  T

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entre les éléments à ressorts indépendants par enrobage à l’aide d’une plaque supplémentaire de rigidité en flexion, D*. La relation entre le déplacement, w, et la charge, p, est donnée par :

(Eq. 2-6) Mais là encore, aucune méthode n’a été mise en place pour déterminer les valeurs de k et de D*, à l'exception d’expériences conduites de façon détaillée et précise.

Après avoir remarqué que le continuum de sol est soumis à des contraintes de cisaillement en plus des contraintes verticales, Pasternak (1954) a développé un modèle dans lequel il a supposé une interaction de cisaillement entre les ressorts en reliant leurs extrémités supérieures à une plaque qui se déforme seulement par cisaillement transversal. La relation entre la charge et la déflection dans le modèle de Pasternak est donnée par :

(Eq. 2-7) Le terme G²west l'effet des interactions de cisaillement des éléments verticaux. G représente le module de cisaillement de la fondation élastique. Toutefois, aucune méthode théorique n’a été fournie pour l'évaluation de k. Vlassov et Leontiev (1966) ont essayé d'utiliser une nouvelle approche mathématique pour résoudre le problème ci-dessus (Gibigaye, 1992). Ils ont développé un modèle bi-paramétrique pour les plaques sur fondation élastique en utilisant la méthode variationnelle (Turhan, 1992). Cette méthode remplace la contrainte de cisaillement négligée dans le continuum de sol. La relation entre le déplacement w, et la charge q, est donnée dans ce modèle par :

(Eq. 2-8) Où, t est le paramètre de cisaillement du sol et tous les autres termes sont comme précédemment définie. Pour calculer ces paramètres, Vlassov et Leontiev ont introduit un autre paramètre



, pour caractériser le profil de déformation verticale dans le continuum du sol.

.w * 4w

pk D 

.w 2w

pk  G

4 2

w 2 w w

D  t k q

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Figure 2-4 : Synthèse des modèles de sols bi-paramétriques (Teodoru & Muşat, 2010).

L'avantage de l'approche de Vlassov et Leontiev est qu’elle ne nécessite pas de déterminer de manière empirique les valeurs du coefficient de réaction k, et du paramètre le cisaillement t (Korhan Ozgan & Daloglu, 2012; Straughan, 1990; Teodoru & Muşat, 2010;

Turhan, 1992). Car ces valeurs peuvent être calculées à partir des propriétés du matériau constituant le sol que sont le module d’élasticité

E

_S, et le coefficient de Poisson du sol



_Set H la hauteur de la couche résistante de sol encore appelée hauteur effective ou hauteur dynamiquement active. Vlassov et Leontiev ont supposé un modèle de déplacement du sol en utilisant une valeur arbitraire de. Les auteurs n'ont pas fourni une méthode de calcul de.

Nogami et Lam (1987) ont utilisé la même idée pour développer un modèle paramétrique pour les poutres sur une fondation élastique. Yang (1972) a utilisé le modèle bi-paramétrique de Vlassov et Leontiev pour l'analyse de plaques rectangulaires sur une fondation élastique. Il a combiné la méthode des éléments finis pour la plaque et la technique de différences finies pour les conditions aux limites de la plaque, tout ceci en partant des propriétés du sol. Il n'a fourni aucune méthode pour calculer la valeur de 𝛾. Il a suivi la même valeur recommandée de γ que l'on trouve dans la procédure de Vlassov et Leontiev.

Utilisant le calcul variationnel, Jones et Xenophontos (1977) ont proposé une expression de calcul de γ. Ils n'ont pas calculé sa valeur, mais leur travail a établi une relation entre γ et la flèche de la poutre ou d'une plaque reposant sur un continuum élastique. Suivant les travaux de

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Jones et Xenophontos, Vallabhan et Das (1987) ont développé une méthode itérative pour le calcul du paramètre γ de la poutre sur une fondation élastique. Ils ont développé tous les paramètres qui influent sur les valeurs de k et de t. Pour les charges uniformément réparties, ils ont constaté que la valeur de γ dépend également du rapport entre la profondeur du sol et la longueur de la poutre. Ils ont appelé leur modèle « le modèle de Vlassov modifié ». Tous ces paramètres dépendent des propriétés du sol et de la structure, de la géométrie de la structure, de la profondeur de la couche, et de la répartition de la charge sur la structure.

Pour le cas d'une poutre sur une fondation élastique, la relation entre la déflection w, et la charge, q, est donnée par :

(Eq. 2-9) Vallabhan et Das ont résolu le problème dans le cas des poutres sur une fondation élastique ayant des couches de sol finies. Ils ont utilisé la méthode des différences finies pour trois cas de chargement. Une excellente conformité des résultats avec ceux de la méthode plus sophistiquée des éléments finis a été obtenue. Straughan (1990) (Straughan, 1990) a appliqué le modèle de Vlassov modifié à l'analyse des dalles rectangulaires sur des fondations élastiques.

Il a utilisé la technique des différences finies pour résoudre cette équation pour plusieurs cas de chargement.

Dans le document Modélisation d’une plaque en sous revêtement d’une route sur sol élastique et inerte soumise à des charges dynamiques (Page 63-66)