Mise sous forme adimensionnelle des équations gouvernantes et des conditions aux limites

6.4.1.1 Equation adimensionnelle des vibrations libres des plaques monocouches de chaussée Pour une plaque de chaussée mince monocouche rectangulaire de longueur a, de largeur b et d’épaisseur h reposant sur le sol de Vlassov modifié, l’équation gouvernante pour l’analyse des vibrations libres non amorties est donnée à partir de l’équation (Eq. 5-52) ainsi qu’il suit :

(Eq. 6-68) De manière plus explicite, ce problème se ramène donc à la résolution de l’équation aux dérivées partielles (Eq. 6-68) sous les conditions aux limites définies précédemment par (Eq.

5-53) à (Eq. 5-64) :

o Restriction de la translation élastique verticale

 

² ₂

145

Modélisation d’une plaque en sous revêtement d’une route sur sol élastique et inerte, soumise à des charges dynamiques

Où kx1, kx2, ky1 et ky2 sont les rigidités en translation élastique verticale au niveau des bords respectivement parallèles aux axes x et y. ks_soil  k C_{O O} la rigidité en translation élastique verticale du sol.

o Restriction de la rotation élastique

Où krx1, krx2, kry1 et kry2 sont les rigidités en rotation élastique au niveau des bords respectivement parallèles aux axes x et y. kr_soil 1 2C_O C_O /k_O la rigidité en rotation élastique du sol.

o Restriction de la torsion aux quatre coins de la plaque

3 3

146

Modélisation d’une plaque en sous revêtement d’une route sur sol élastique et inerte, soumise à des charges dynamiques

Où kt_soil 3C0 4 est la rigidité en torsion du sol.

Pour plus de généralisation et de simplicité, les paramètres adimensionnels suivants sont introduits dans l’équation gouvernante.

(Eq. 6-69) En définitive, l’équation gouvernante d’une plaque soumise à des vibrations libres peut-être exprimée sous forme adimensionnelle comme suit :

(Eq. 6-70)

6.4.1.2 Equation adimensionnelle des vibrations libres des plaques de chaussées multicouches, basée sur la théorie CLPT

Le problème des plaques de chaussées multicouches sous charges mobiles et reposant sur un sol élastique de type de Vlassov modifié avec la prise en compte de l’inertie est modélisé sous forme mathématique en utilisant la théorie CLPT dans les équations (Eq. 5-8) à (Eq. 5-10).

L’équation gouvernante pour les vibrations libres propres non amorties qui peut se déduire de ces équations est donnée par le système d’équations suivant :

(Eq. 6-71)

147

Modélisation d’une plaque en sous revêtement d’une route sur sol élastique et inerte, soumise à des charges dynamiques

(Eq. 6-72)

(Eq. 6-73)

w

0est tel quew x y t



, ,



w0.

La résolution de ces équations sera faite sous les conditions aux limites, objet des équations (Eq. 5-14) à (Eq. 5-25) reprises ci-dessous :

o Restriction de la translation élastique verticale

Où kx1, kx2, ky1 et ky2 sont les rigidités en translation élastique verticale au niveau des bords respectivement parallèles aux axes x et y. ks_soil  k C_{O O} la rigidité en translation élastique verticale du sol.

o Restriction de la rotation élastique

 

148

Modélisation d’une plaque en sous revêtement d’une route sur sol élastique et inerte, soumise à des charges dynamiques

o Moment de torsion aux quatre coins de la plaque

Où kt_soil 3C₀ 4 est la rigidité en torsion du sol.

Pour généraliser et simplifier, les paramètres adimensionnels suivants sont introduits dans l’équation gouvernante :

(Eq. 6-74)

En définitive, l’équation gouvernante pour les vibrations libres non amortie des plaques multicouches peut être exprimée avec les paramètres adimensionnels comme suit :

2 2

149

Modélisation d’une plaque en sous revêtement d’une route sur sol élastique et inerte, soumise à des charges dynamiques

6.4.1.3 Equation adimensionnelle des vibrations libres des plaques de chaussées multicouches, basée sur la théorie FSDT

Le problème des plaques de chaussées multicouches sous charges mobiles et reposant sur un sol élastique de type de Vlassov modifié avec la prise en compte de l’inertie est modélisé sous forme mathématique en utilisant la théorie FSDT dans les équations (Eq. 5-26) à (Eq.

5-30). Les équations gouvernantes pour les vibrations libres propres non amorties qui peuvent se déduire de ces équations sont données par le système d’équations suivant :

 

150

Modélisation d’une plaque en sous revêtement d’une route sur sol élastique et inerte, soumise à des charges dynamiques

151

Modélisation d’une plaque en sous revêtement d’une route sur sol élastique et inerte, soumise à des charges dynamiques

La résolution de ces équations sera faite sous les conditions aux limites qui font l’objet des équations (Eq. 5-34) à (Eq. 5-38) qui sont reprises ci-dessous :

o Restriction de la translation élastique verticale

Où ksx1, ksx2, ksy1, ksy2 sont les rigidités en translation élastique verticale au niveau des bords x=0, x=a, y=0 et y=b respectivement. ks_soil  k C_{O O} la rigidité en translation élastique verticale du sol.

o Restriction de la traction élastique horizontale

Où

ks ks ks et ks

_x1, _x2, _y1 _y2 sont les rigidités en translation élastique verticale au niveau des bords x=0, x=a, y=0 et y=b respectivement.

o Restriction du cisaillement élastique au plan horizontal

Suivant Liu et autres (H. Liu et al., 2017) les efforts normaux sont proportionnels aux déplacements de la plaque suivant les axes (ox) et (oy) :

Où

ks ks ks et ks

_x1, _x2, _y1 _y2sont les rigidités en translation élastique verticale au niveau des bords x=0, x=a, y=0 et y=b respectivement.

 

152

Modélisation d’une plaque en sous revêtement d’une route sur sol élastique et inerte, soumise à des charges dynamiques

o Restriction de la rotation élastique :

Où krx1, krx2, kry1, kry2 sont les rigidités en rotation élastique au niveau des bords x=0, x=a, y=0 et y=b respectivement et kr_soil 1 2C_O k_O /C_O la rigidité en rotation élastique du sol

o Restriction de la torsion élastique

Où krsx1, krsx2, krsy1, krsy2 sont les rigidités en torsion élastique au niveau des bords x=0, x=a, y=0 et y=b respectivement.

Pour généraliser et simplifier, les paramètres adimensionnels suivants sont introduits dans les équations gouvernantes :

(Eq. 6-83)

En définitive, l’équation gouvernante pour les vibrations libres non amortie des plaques multicouches peut être exprimée avec les paramètres adimensionnels comme suit :

 

153

Modélisation d’une plaque en sous revêtement d’une route sur sol élastique et inerte, soumise à des charges dynamiques

6.4.2 Approximation des dérivées

Dans la méthode DSC, la fonction w x( ) et ses dérivées n^ièmes par rapport à x sont approximées par la convolution discrète comme proposé par (Ng, Zhao, & Wei, 2004; G. W.

Wei, 2001) :

154

Modélisation d’une plaque en sous revêtement d’une route sur sol élastique et inerte, soumise à des charges dynamiques

Où

x

_k sont les points uniformément distribués sur la grille, l’exposant (n) désigne la n^ième dérivée par rapport à x, 2M+1 est la largeur de la bande implémentée, _,(xx_k)est le symbole collectif des noyaux de convolutions delta de type Dirichlet. Ses dérivées d’ordre n par rapport à x sont données par :

(Eq. 6-90) Il existe plusieurs noyaux de convolutions delta de type Dirichlet qui sont utilisables.

Les deux noyaux de convolutions les plus utilisés sont le noyau de convolution régularisé de Shannon (DSC-RSK) et le noyau de convolution delta séquence non régularisé de Lagrange (DSC-LK) (Ciğdem Demir, 2017). Dans ce travail, l'algorithme DSC peut être réalisé en utilisant de nombreux noyaux d'approximation comme le Noyau RSK et le noyau de convolution de Lagrange (en anglais Lagrange Kernel, LK).

Le noyau de convolution régularisée de Shannon est défini par (G. W. Wei, 2001) comme suit :

(Eq. 6-91) Oùest un paramètre contrôlable,

   x

_k

x

_k1 est l’espace entre deux points de la grille.

Le noyau de convolution delta séquence non régularisé de Lagrange (LK), est donné par : (Eq. 6-92)

Où

  L

_c (

L

_c est la longueur a ou la largeur b de la plaque), et _{LM k, ( )x} est la fonction d’interpolation de Lagrange définie par (Ng et al., 2004) comme :

(Eq. 6-93) Le différentiel dans l’équation (Eq. 6-90) peut être facilement ressorti pour les deux noyaux de convolutions delta. Pour le noyau de type RSK, l’expression analytique est utilisée pour implémenter ses dérivées en un point de la grille permettant ainsi d’avoir un grand nombre sur cette dernière. Pour le noyau de type LK, la formule explicite est utilisable pour implémenter les dérivées en un point de la grille. Néanmoins, plus le nombre de points de la grille est élevé plus l’implémentation des dérivées peut causer une instabilité numérique dans le programme.

( )

155

Modélisation d’une plaque en sous revêtement d’une route sur sol élastique et inerte, soumise à des charges dynamiques

Il est montré que pour de nombreux problèmes, l'utilisation du noyau RSK est très efficace (Civalek, 2007). Dans cette étude, le noyau de la séquence delta de Shannon régularisé (DSC-RSK) (Civalek, 2007; X. Wang & Yuan, 2017) est employé comme c’est le cas dans beaucoup d’autres travaux (Civalek & Yavas, 2006; X. Wang & Xu, 2010; X. Wang & Yuan, 2017). Ainsi, toutes les formules développées dans la méthodologie de résolution de la présente thèse se basent sur la DSC-RSK.

Pour l’analyse des poutres et des plaques, l’ordre de dérivation le plus élevé est 4. Donc les exposants dans les équations gouvernantes prennent les valeurs : 1, 2, 3 et 4. Au point x=0, on a : premières, secondes, troisièmes et d’ordre quatre par rapport à x.

6.4.3 Méthode d’expansion des séries de Taylor

Un algorithme numérique complet doit fournir un schéma pour gérer diverses conditions aux limites afin d'éliminer les points fictifs. La condition limite de Dirichlet, peut être facilement spécifiée (Civalek, 2009; Y. B. Zhao et al., 2001) par les extensions symétriques et antisymétriques développées au paragraphe 6.3.4. Dans ce travail, la méthode d'expansion des séries de Taylor (X. Wang & Xu, 2010; X. Wang & Yuan, 2017) est utilisée pour éliminer les M degrés de liberté fictifs (DOF) en dehors du domaine physique.

L’expansion de la méthode des séries de Taylor est utilisée pour éliminer les M points fictifs des degrés de liberté hors du domaine de la plaque. Les séries de Taylor pour ^{w x}

 

^et

156

Modélisation d’une plaque en sous revêtement d’une route sur sol élastique et inerte, soumise à des charges dynamiques

(Eq. 6-98)

(Eq. 6-99)

Les études précédentes ont montré que la somme des équations (Eq. 6-98) et (Eq. 6-99) est plus précise que la différence entre ces équations si l’on s’arrête à la dérivation d’ordre deux (Duan & Wang, 2014; X. Wang, Wang, & Xu, 2012; X. Wang & Yuan, 2017; Zhu & Wang, 2011). Ainsi, la somme des équations (Eq. 6-98) et (Eq. 6-99) est adoptée et est donnée par :

(Eq. 6-100) Où,

(Eq. 6-101) D’autant plus que le déplacement ^{w x}

 

est la fonction de base utilisée dans DSC, les termes de dérivations peuvent être considérés comme les degrés de liberté additionnels introduits par la méthode d’expansion des séries de Taylor. Il est connu que quand on retient plus de termes, plus grande est la précision de la solution.

Par conséquent le nombre maximum de degrés de liberté additionnels dans les équations (Eq. 6-101) dépend de l’ordre des équations gouvernantes qui seront résolues par la méthode DSC et est égal au nombre de conditions au limites à chaque bord.

Pour le problème des valeurs aux bords avec les équations gouvernantes du second degré comme l’équation gouvernante des bars, des poutres de Timoshenko et les plaques de Mindlin, une seule condition aux limites existe à chaque bord. Ainsi, un seul degré de liberté additionnelle est nécessaire. L’équation

(Eq. 6-101) se réduit donc à :

157

Modélisation d’une plaque en sous revêtement d’une route sur sol élastique et inerte, soumise à des charges dynamiques

(Eq. 6-102) Pour les équations différentielles d’ordre quatre comme l’équation gouvernante des poutres et plaques minces ou pour la théorie classique, deux degrés de liberté additionnels sont

nécessaires (X. Wang & Yuan, 2017; Zhu & Wang, 2011). Par conséquent l’équation (Eq. 6-101) se réduit à :

(Eq. 6-103) Il est facile de montrer que pour les plaques rectangulaires simplement appuyées

(2) (4)

( _o) ( _o) ( _o) 0

w x w x w x  . Et ainsi, les équations (Eq. 6-102) et (Eq. 6-103) se réduisent à la méthode antisymétrique (X. Wang & Xu, 2010; Zhu & Wang, 2011). Au lieu d’utiliser l’équation (Eq. 6-103) seule, les équations (Eq. 6-102) et (Eq. 6-103) sont utilisées pour éliminer les degrés de liberté aux M points fictifs hors du domaine physique de la plaque pour le problème considéré dans cette étude. Cette idée est nouvelle et constitue la clé pour réussir l’analyse des plaques rectangulaires à bords libres par la méthode DSC.

Ainsi, nous avons utilisé cette approche pour les conditions aux limites générales c'est-à-dire pour des bords goujonnés de la plaque rectangulaire étudiée reposant sur le sol de Vlassov modifié.

Si des équations différentielles du sixième et du huitième ordre doivent être résolues avec la méthode DSC, trois et quatre degrés de liberté additionnelle doivent être retenus. Donc l’équation

(Eq. 6-101) est générale pour la résolution de n’importe quelle équation différentielle d’ordre deux par la méthode DSC.

6.4.4 Etude des vibrations libres des plaques sur sol de Vlassov modifié par l’approche

Dans le document Modélisation d’une plaque en sous revêtement d’une route sur sol élastique et inerte soumise à des charges dynamiques (Page 172-185)