Partie II Pi´ egeage dipolaire 75
4.3 Simulations num´eriques 2D
4.3.1 Choix d’algorithme
Le passage de la simulation des structures 1D `a celle des structures 2D est direct. Pour la
premi`ere m´ethode, il suffit de changer les ondes cylindriques en ondes sph´eriques et d’int´egrer
sur les deux dimensionsuetv. Pour la m´ethode par transform´ee de Fourier, il faut prendre une
grille `a deux dimensions et introduire la projection kv dek
Lsur l’axe Ov.
Pour la simulation directe, le temps de calcul pourun point d’observation passe de
typique-ment 1 ms `a 7 s, pour une pr´ecision identique p= 5.10
−3!
Pour le calcul par transform´ee de Fourier, il n’est pas possible de conserver les densit´es de
points et longueur de grille utilis´ees `a 1D. En effet, cela correspondrait `a des grilles de 2
30points,
soit 4 Go en espace m´emoire. L’ordinateur que nous utilisons ne dispose pas d’une m´emoire
suffisante pour g´erer des calculs sur une grille de cette taille.
De plus, la version de Mathematica que nous utilisons g`ere mal la m´emoire. Nous avons
ainsi transpos´e le code du programme en Matlab, ce qui nous permet d’utiliser des grilles de
2
22points. En consid´erant que l’estimation de l’erreur faite pour les simulations 1D est toujours
valide, cela nous conduit `a choisir une longueur totale de la grille de 500µm pour une densit´e de
pointsn≃4µm
−1. Le temps de calcul de cette m´ethode tombe alors `a environ 8 secondes pour
calculer l’intensit´e sur les 2
22points d’un plan `awdonn´e. Mˆeme si ces r´esultats sont alors
semi-quantitatifs, nous choisissons cette technique en raison du gain de temps de calcul consid´erable
qu’elle permet : le calcul d’un plan complet prend autant de temps que le calcul d’un point par
la simulation directe. Nous constatons ´egalement qu’avec Matlab, le gain en temps de calcul du
filtre des ondes ´evanescentes n’est plus que de 10%, et n’est donc plus n´ecessaire.
La Figure 4.11 montre les intensit´es calcul´ees dans des plans parall`eles `a la structure, pour
la lentille de r´ef´erence de 200 µm de haut.
(a)w0 = 200µm (b) w0= 500µm =f (c)w0 = 800µm
Fig. 4.11: Intensit´e dans des plans parall`eles `a la surface de la lentille de
Nous avons suppos´e que l’erreur pour les simulations des structures 2D ´etait la mˆeme que
celle des structure 1D. V´erifions ce point.
4.3.2 Estimation de l’erreur
Les r´esultats des simulations 1D montrent que les deux simulations tendent vers une mˆeme
intensit´e, `a la pr´ecision des calculs pr`es. La simulation directe repose sur un calcul d’int´egrales
dont l’erreur est connue. Ainsi, le passage `a 2D ne doit pas changer significativement la pr´ecision
de ce calcul.
D’autre part, la diminution de la densit´e de points et de la taille de la grille de la simulation
par transform´ee de Fourier 2D conduit `a une augmentation de l’erreur de calcul par rapport `a
la simulation 1D. Elle devient donc `a priori sup´erieure `a celle de la simulation directe 2D (en
conservant pour celle-ci une pr´ecision de 5.10
−3).
Alors la comparaison des deux m´ethodes de simulation 2D nous donnera une estimation de
l’erreur de calcul de la simulation par transform´ee de Fourier.
Nous continuons d’utiliser la lentille de r´ef´erence, en lui donnant une longueur de 200 µm
selon l’axeOv (il s’agit donc toujours d’une lentille cylindrique). En raison des temps de calculs
importants pour la m´ethode directe, seule l’intensit´e sur l’axe (u = 0, v = 0) est calcul´ee. La
Figure 4.12 montre les r´esultats obtenus. L’´ecart entre les intensit´es calcul´ees est inf´erieur `a
0,5I0. Nous en d´eduisons donc que la pr´ecision du calcul par transform´ee de Fourier pour des
structures `a deux dimensions est de cet ordre, similaire `a celle obtenue pour les simulations 1D.
12
8
4
Intensité normalisée
1000
800
600
400
200
0
w [µm]
-0.4
0.0
0.4
Fig. 4.12: (bas) : Comparaison des simulations 2D directe (tirets noirs) et
par transform´ee de Fourier (traits pleins gris). Seule l’intensit´e le long de l’axe
optique est calcul´ee. (haut) : Diff´erence d’intensit´e entre les deux m´ethodes de
simulation.
Nous avons simul´e ici la diffraction par une lentille cylindrique 2D. Comparons ces r´esultats
`a ceux obtenus pour une lentille 1D.
4.3.3 Comparaison des simulations 1D et 2D
Simulation directe
Nous pouvons comparer les r´esultats 1D et 2D pour la simulation directe. En raison des
temps de calculs importants, nous avons seulement calcul´e l’int´egrale selonven quelques points
de l’axe optique, pr´esent´e sur la Figure 4.13, avec une pr´ecision de 5.10
−2. Notons que pour
des raisons historiques, la structure ne fait que 100 µm de haut, contrairement `a la structure
pr´ec´edente. Elle reste cependant quasi uni-dimensionnelle.
On constate que l’intensit´e int´egr´ee selon v est en accord avec l’intensit´e simul´ee pour une
structure 1D, `a la pr´ecision du calcul pr`es. La diff´erence entre l’intensit´e dans le plan v = 0 et
l’intensit´e calcul´ee par la simulation 1D est plus importante. Elle est due `a la taille finie de la
lentille selon Ov.
12
8
4
0
Intensité linéaire normalisée
1000
800
600
400
200
w [µm]
(a) Intensit´e normalis´ee
-1.0
0.0
1.0
v
= 0
1600
1200
800
400
w [µm]
-6x10
-2-4
-2
0
2
intégré selon
v
(b) Diff´erence
Fig. 4.13: Comparaison des simulations 1D et 2D pour la m´ethode directe.
La ligne en traits pleins correspond `a la simulation 1D. Les marqueurs ronds
pleins sont l’int´egrale de la simulation 2D selon v. Les marqueurs ronds vides
sont la valeur de l’intensit´e en v= 0.
Simulation par transform´ee de Fourier
Nous pouvons ´egalement calculer le champ diffract´e par la lentille standard de 200 µm de
haut par la m´ethode par transform´ee de Fourier. La Figure 4.14 montre l’intensit´e dans le plan
v = 0, l’intensit´e int´egr´ee selon v, ainsi que le r´esultat de la simulation 1D.
Nous constatons que l’int´egrale de l’intensit´e selon v de la simulation 2D est en accord
avec la simulation 1D `a la pr´ecision des calculs pr`es. Nous retrouvons donc un comportement
identique `a la simulation directe.
Mˆeme si la pr´ecision des calculs de cette m´ethode n’est que de l’ordre de 0,5 I0, elle nous
permet d’obtenir une id´ee assez fid`ele du champ diffract´ee par une structure bi-dimensionnelle.
Son faible temps de calcul nous a fait choisir cette m´ethode de pr´ef´erence `a la simulation directe
pour ces structures 2D.
12
8
4
0
intensité normalisée
-100 -50 0 50 100
u [µm]
1.0
0.5
0.0
0.2
0.1
0.0
-0.1
(a) Plan focal
12
8
4
0
intensité normalisée
1000
800
600
400
200
0
w [µm]
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
1
0
-1
(b) Axe optique
Fig. 4.14: Comparaison des intensit´es lin´eiques obtenues par les simulations
1D et 2D par transform´ee de Fourier. (bas) en tirets noirs, la simulation 1D
normalis´ee par I0. En gris l’int´egrale selon v de l’intensit´e normalis´ee de la
simulation 2D, divis´ee par la taille de la fente selon v. (haut) diff´erence entre
l’int´egrale selon v de la simulation 2D et la simulation 1D. (milieu) diff´erence
4.4 Conclusion
En conclusion, nous disposons de deux techniques `a l’approche diff´erente. Toutes deux
donnent pour une structure unidimensionnelle des r´esultats identiques, `a la pr´ecision des calculs
pr`es en des temps comparables.
Toutefois, chacune de ces m´ethodes `a son domaine d’application. La m´ethode directe est
adapt´ee au calcul d’un petit nombre de points (par exemple pour caract´eriser une petite zone,
ou l’intensit´e sur l’axe optique), tout particuli`erement loin de la structure.
La m´ethode par transform´ee de Fourier est beaucoup plus rapide `a 2D. Elle s’impose lorsque
l’on souhaite obtenir une r´esolution importante dans un plan parall`ele `a la structure diffractante.
Nous avons ´egalement vu qu’`a deux dimensions, cette m´ethode nous permet de calculer une
cartographie compl`ete en environ 40 minutes. En ce temps, la simulation directe ne permet que
le calcul de l’intensit´e sur l’axe optique.
Dans tous les cas nous obtenons en des temps raisonnables, avec des outils que nous avons
d´evelopp´es et maˆıtrisons donc bien, des cartographies r´ealistes, sinon pr´ecises. Elles nous
per-mettront d’orienter le dessin des futures structures. Avant de pi´eger les atomes, il convient
toutefois de v´erifier par la mesure directe le champ optique r´eellement obtenu.
Dans le document
Manipulation d'atomes froids par des puces atomiques optiques
(Page 103-108)