Lien entre l’absorption et le nombre d’atomes

´

Etudions l’absorption d’une onde plane incidente d’intensit´e I par un volume dτ =dxdydy

contenant une densit´e ρ(r) d’atomes. Notons x le vecteur unitaire selon l’axe de propagation

du faisceau laser,y etz les vecteurs unitaires orthogonaux, orient´es selon les axes de la cam´era

d’imagerie. Le faisceau ´etant absorb´e, son intensit´e d´epend de x. De plus, dans le cas g´en´eral,

il faut tenir compte du caract`ere non lin´eaire de l’absorption par les atomes (saturation). On

obtient sa variation d’intensit´e en ´ecrivant que la puissance perdue par le faisceau est ´egale `a

la puissance diffus´ee par les atomes :

(I(x+dx)−I(x))dydz = ^dI

dx^{dτ =} −

dNphotons

dt

hν (2.8)

En faisant l’hypoth`ese que les atomes sont ´egalement r´epartis dans les sous-niveaux Zeeman

|F = 4i, le nombre de photons diffus´es par les atomes est donn´e par (cf. 1.3.1 et B.1) :

dNphotons

dt

= ρ(r)dτ^Γ

2

Iw4

,5′

/Isat

1 + 2Iw4

_,5′

/I

_sat

+ (2δ/Γ)

²

^(2.9)

Posons alors :

s0 = ^I

Isat ^(2.10)

ε = ^w4

^,5′

1 + (2δ/Γ)

²

^(2.11)

σ0 = ^Γ

2

hν

I

_sat

⁼

3

2π^λ

2

≃0,35 µm

2

(2.12)

εpond`ere le param`etre de saturation `a r´esonances0 pour tenir compte de l’´ecart `a r´esonance et

du rapport de branchement w4,5

′

.σ0 est la section efficace d’absorption spontan´ee `a r´esonance

de|F = 4, mF = 4i → |F

′

= 5, mF

′

= 5i. On obtient alors l’´equation diff´erentielle :

ds0

dx ⁼ −ρ(r)σ0 ^εs0

1 + 2εs0 ^(2.13)

Dont la solution est :

2εs0(−∞)A −ln (1− A) = σ0εn2D (2.14)

avecs0(±∞) les valeurs asymptotiques du param`etre de saturation, A= 1−s0(−∞)/s0(+∞)

l’absorption mesur´ee, etn2

_D

=R

+∞

−∞

ρ(r)dxla densit´e d’atomes projet´ee dans le plan transverse.

Regardons alors quelques cas limites qui simplifient l’expression (2.14).

Cas limite des faibles saturations

Dans le cas des faibles saturations, εs0 ≪ 1, l’absorption des atomes devient lin´eaire avec

l’intensit´e laser. En cons´equence, on peut n´egliger le premier terme de l’expression (2.14), et on

obtient l’expression de A suivante :

A = 1−exp (−σ0εn2D) (2.15)

On retrouve la loi de Beer Lambert. Remarquons que l’expression reliant A et n2

D

est

ind´ependante de l’intensit´e du laser d’imagerie. Ce point est int´eressant pour deux raisons.

D’une part la connaissance de la carte d’absorption permet d’avoir une repr´esentation fid`ele de

la r´epartition spatiale des atomes, sans n´ecessit´e de mesurer les variations d’intensit´e du laser

d’imagerie. D’autre partε n’est pas connu avec pr´ecision

7

. Dans la limite εs0 ≪1, la quantit´e

εn2

D

est cependant mesur´ee pr´ecis´ement, et par suite la valeur relative du nombre d’atomes (en

consid´erant les fluctuations deεfaibles `a l’´echelle du pi`ege). Sa valeur absolue restera cependant

mal connue, ne disposant pas de techniques pour ´etalonner notre mesure.

Notons de plus que dans ce cas limite, l’expression de A ne d´epend que du produit εn2

D

:

on obtient les courbes pour des d´esaccords non nuls de l’absorption en fonction den2

D

par une

homoth´etie de la densit´e projet´ee de ε

−1

par rapport au cas r´esonnant.

Cas limite des faibles absorptions

Pour les faibles absorptions, l’intensit´e laser reste constante lors de la travers´ee du nuage.

On peut alors faire un d´eveloppement limit´e du logarithme de l’expression (2.14), pour obtenir :

A = ^σ0

1 + 2εs0(−∞)^εn2

^D

^(2.16)

L’absorption est alors lin´eaire avec la densit´e projet´ee d’atomes. Par contre, la connaissance de

la quantit´e εn2

D

`a partir de l’absorption d´epend de la saturation εs0. En cons´equence, il est

n´ecessaire de connaˆıtre la r´epartition spatiale d’intensit´e, et les mesures (mˆeme relatives) du

nombres d’atomes sont limit´ees en pr´ecision par la connaissance de ε.

7

En effet, le champ magn´etique r´esiduel est non nul et a une direction inconnue. Cela se traduit sur une

occupation des sous-niveaux Zeeman non-homog`ene, et une projection de la polarisation des laser inconnue.

Cas limite des faibles absorptions et saturations

L’expression (2.16) devient :

A = σ0εn2

D

(2.17)

Dans ce cas, la mesure b´en´eficie des avantages des deux cas limites d´ej`a d´etaill´es.

Ces diff´erents cas, ainsi que la solution exacte de l’´equation (2.14), sont repr´esent´es sur la

Figure 2.13.

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

Absorption

50

40

30

20

10

0

densité surfacique [atomes/µm²]

(a) Absorption du faisceau

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

Rapport des pentes à l'origine

0.001 0.01 0.1 1 10 100

Paramètre de saturation

(b) Rapport des pentes

Fig. 2.13: (a) Absorption du faisceau imageur en fonction de la densit´e

projet´ee d’atomen2

_D

, pourδ = 0,s0 ≃2,5 (εs0 = 1). La courbe en trait plein

donne l’absorption d’apr`es l’expression (2.14). Les courbes en pointill´es, tirets

courts, tirets longs correspondent respectivement `a l’expression dans les cas

εs0 ≪ 1,A ≪(1, εs0) et A ≪1. (b) Rapport des pentes εs0 ≪1 et εs0 6≪ 1

en A= 0 en fonction de εs0.

En pratique, nous mesurons une absorption moyenn´ee ¯A sur la r´esolution de notre syst`eme

d’imagerie. Si la densit´e projet´ee n2

D

ne varie pas `a cette ´echelle, ce qui est la cas lors de la

caract´erisation du PMOM, les ´equations pr´ec´edentes restent les mˆemes en rempla¸cant A par

¯

A. La connaissance de ¯A nous donne alors directement la densit´e projet´ee d’atomes, quelques

soient les valeurs de l’absorption et de la saturation. Son int´egration nous donne ensuite le

nombre total d’atomes.

Cependant, dans le cas des absorptions ´elev´ees, l’incertitude sur le nombre d’atomes est

donn´ee par :

∆N

N ⁼

∆A

1− A ^(2.18)

qui diverge enA = 1. Ou, dit de fa¸con plus intuitive, une fois que le faisceau laser est totalement

absorb´e, les atomes restants n’absorbent plus de photons. Il est alors impossible de d´eterminer

le nombre de ces atomes “exc´edentaires”. Dans le PMOM que nous souhaitons caract´eriser, la

densit´e est limit´ee par la r´eabsorption de photons ´emis spontan´ement par les atomes pi´eg´es.

Ainsi, `a r´esonance, pratiquement tous les photons du laser d’imagerie seront absorb´es par les

atomes, et l’incertitude sur le nombre d’atome est grande. Pour ´eviter les absorptions trop

importantes, nous pouvons attendre entre la coupure du PMOM et l’acquisition, de fa¸con `a

ce que la densit´e (et donc l’absorption) diminue. C’est ainsi que nous faisons les mesures de

temp´erature. L’autre possibilit´e est d’augmenter le d´esaccord du laser imageur, afin de diminuer

l’absorption. Nous proc´edons de cette fa¸con lorsque nous souhaitons mesurer la taille initiale

de PMOM, par exemple pour en d´eduire sa densit´e.

Avant de pouvoir mesurer le nombre d’atomes pi´eg´es, il faut toutefois choisir les divers

param`etres du syst`eme d’imagerie.

Dans le document Manipulation d'atomes froids par des puces atomiques optiques (Page 59-62)