Simulation par transform´ee de Fourier

Suite `a une discussion avec Simon Aigner lors de la conf´erence CAMS/Jobs, nous avons

adopt´e une seconde m´ethode. Elle rejoint dans son approche les autres travaux de notre groupe

sur l’´etude de structures sub-longueur d’onde [5], et se nommed´ecomposition en spectre d’ondes

planes ouen spectre angulaire[48, 49, 50].

Connaissant le champEL(u,0

+

), on le d´ecompose sur une base d’onde plane par transform´ee

de Fourier inverse, pour obtenir le spectre ˜EL(ku,0

+

) :

˜

EL(ku,0

+

) = ¹

2π

Z

EL(u,0

+

) exp (−ikuu)du (4.7)

θu

kw

ku kL

Fig. 4.5: Sch´ema de l’angle de diffraction la composantek

_u

.

`

relation de dispersion

9

(Figure 4.5) :

k

_u²

+k

_w²

= k

_L²

(4.8)

soit

k

2 w

= k

2 L

1−

ku

k

_L

2

!

(4.9)

De sorte qu’apr`es propagation, le champ ´electrique EL(u,w) devient :

EL(u,w) =

Z

˜

EL(ku,0

⁺

) exp (ikww) exp (ikuu)dku (4.10)

qui est la transform´ee de Fourier de :

˜

EL(ku,w) = EL^˜ (ku,0

⁺

) exp (ikww) (4.11)

Remarquons dans l’expression (4.9) que ku/kL= cosθu, o`uθu est la direction dans laquelle

est diffract´ee la composante ku (cf. Figure 4.5), d’o`u le nom de “spectre angulaire”. Ainsi, si ku

est sup´erieur `akL,kwest imaginaire pur : les ondes correspondantes sont des ondes ´evanescentes.

L’expression du champ ´electrique est donc valable en champ proche ´egalement, dans la limite

o`u le champ `a la surface EL(u,0

+

) est connu.

L’avantage principal de cette m´ethode est que l’on obtient le champ ´electrique pourwdonn´e

par une seule transform´ee de Fourier pour laquelle on dispose d’algorithmes tr`es efficaces. Par

opposition, l’approche du 4.2.1 n´ecessite le calcul d’une int´egrale par point d’observation. Cet

avantage peut ´egalement ˆetre un inconv´enient si l’on souhaite par exemple calculer le champ sur

l’axe optique : il est n´ecessaire de calculer le champ dans un plan entier parall`ele `a la structure

mˆeme si on ne souhaite connaˆıtre l’intensit´e en un seul point de ce plan.

En pratique, on d´ecoupe l’axe Ou en une grille de taille totale finie L avec une densit´e

lin´eique de pointsnpour effectuer une transform´ee de Fourier num´erique discr`ete. La structure

est alors discr´etis´ee selon cette grille, par l’expression (4.2). Nous avons dans un premier temps

utilis´e Mathematica pour faire les calculs, et varier les diff´erents param`etres.

Longueur totale de la grille

Du fait de la longueur finie de la grille, le champ obtenu correspond en r´ealit´e `a celui

diffract´e par un r´eseau de la structure ´etudi´ee de p´eriode L. Ainsi, pour n´egliger l’influence

des autres motifs lors de l’´etude d’une lentille unique, il est n´ecessaire de prendre une grille

dont la longueur totale est grande devant celle de la lentille ´etudi´ee. Par ailleurs, cette longueur

d´etermine ´egalement la densit´e de points dans l’espace r´eciproque, et donc la r´esolution sur ku

qui vaut 2π/L.

Contrairement `a la simulation directe, nous ne disposons pas ici d’expression de l’erreur de

calcul en fonction des diff´erents param`etres. Pour ´evaluer l’erreur en fonction de la longueur

totale de la grille L, nous effectuons plusieurs simulations pour des valeurs diff´erentes deL. En

comparant chacune d’elle `a la simulation pour la plus grande valeur de L (Lmax = 16 mm)

10

,

on obtient une estimation de l’erreur en fonction de la longueur de la grille. La Figure 4.6 (a)

indique le maximum de la diff´erence d’intensit´e des cartes ainsi que la d´eviation standard en

fonction de la longueur de la grille. Le calcul est men´e jusqu’`a 1 mm de la surface et la densit´e

de points de la grille est constante pour toutes ces simulations et vaut environ 8 µm

−1

.

Soulignons que la longueur de la grille n´ecessaire pour atteindre une pr´ecision donn´ee du

calcul d´epend de la distance du point d’observation `a la structure. En effet, plus le point

d’observation est loin, plus l’influence du repliement de spectre dˆu `a la taille finie de la grille

est importante. En cons´equence, la grille devra ˆetre d’autant plus grande que l’on souhaite

d´eterminer l’intensit´e en des points ´eloign´es de la structure. Contrairement `a la simulation

directe, le temps de calcul augmente avec la distance d’observation. De mˆeme, plus les d´etails

de la structure sont fins, plus la diffraction se fait dans les grands angles et imposent de grandes

grilles.

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

Différence d'intensité

2 4 6 8

10

³ 2 4 6 8

10

⁴

Longueur de la grille [µm]

(a) Variation de la largeur de la grille

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

Différence d'intensité

2 4 6 8

10

^{2 4 6 8}

100

²

Densité de points [µm

^-1

]

(b) Variation de la densit´e de points

Fig. 4.6: Estimation de l’erreur de la simulation par transform´ee de Fourier.

Les croix et les ronds correspondent respectivement `a la diff´erence maximum

et `a la d´eviation standard entre la simulation pour le param`etre donn´e en

abscisse et la simulation de r´ef´erence. (a) Variation de la longueur totale de

la grille. La densit´e de points est constante : n ≃ 8 µm

−1

. (b) Variation de

la densit´e de points de la grille. La longueur totale de la grille est constante :

L= 4 mm.

Densit´e de points de la grille

La densit´e de points n de la grille d´etermine quant `a elle la r´esolution spatiale du calcul.

Elle fixe donc la r´esolution selon uavec laquelle le champE(u,w) est ´evalu´e. Ce point n’est pas

limitatif en pratique car nous ´echantillonnerons tr`es au del`a des plus petits d´etails en λ/2 du

champ propageant. En revanche, elle fixe ´egalement la r´esolution sur la description de la

struc-ture `a ´etudier, contrairement `a l’approche du 4.2.1 dont les bornes des int´egrales calcul´ees sont

pr´ecis´ement les bords des fentes ´etudi´ees. S’agissant d’un ph´enom`ene d’interf´erences, l’impact

d’une mauvaise d´efinition du bord des zones est tr`es sensible.

Par ailleurs, la valeur maximale de ku vaut πn. Le fait que la densit´e de points soit finie

´equivaut donc `a un filtre hautes fr´equences. Cependant, pour les valeurs de ku sup´erieures `a

kL, les ondes sont ´evanescentes. Comme nous l’avons d´ej`a mentionn´e, nous ne nous int´eressons

pas ici au champ proche (w inf´erieur `a quelques microns). Nous annulons alors toutes les

composantes du spectre angulaire correspondant `a ku > kL. En effet, `a longue distance,

celles-ci impliquent le calcul d’exponentielles dont l’argument est tr`es n´egatif (quelques 10

3

), ce qui

augmente d’un facteur 30 le temps de calcul sous Mathematica (qui travaille en pr´ecision finie).

La Figure 4.7 montre la diff´erence entre les simulations avec et sans ce filtre, le long de l’axe

optique de la lentille de r´ef´erence. Sans le filtre angulaire, la valeur maximale deku reste limit´ee

par la densit´e de points de la grille, et vaut dans cette simulation environ 7kL. Comme le montre

cette figure, la contribution des ondes ´evanescentes devient n´egligeable au del`a de 15 µm, et les

calculs `a une distance moindre de la surface ne seront donc pas pertinents

11

.

-10x10

^-3

-5

0

5

10

Différence d'intensité

50

40

30

20

10

0

w [µm]

Fig. 4.7: Comparaison des simulations par transform´ee de Fourier avec et

sans filtre en fr´equence spatiale k

_u

< k

_L

. La courbe indique la diff´erence

d’in-tensit´e entre les deux cas sur l’axe optique de la lentille de r´ef´erence.

Rappe-lons que les intensit´es sont normalis´ees sur l’intensit´e de l’onde plane incidente.

Dans cette simulation, la valeur maximale dek

_u

est environ 7k

_L

.

Pour estimer l’erreur li´ee `a la densit´e de points, nous proc´edons de la mˆeme fa¸con que

pour la taille de la grille. Les intensit´es simul´ees pour diff´erentes densit´es sont compar´ees `a une

simulation `a nmax ≃ 520 µm

−1

. La Figure 4.6 (b) montre les diff´erences d’intensit´e calcul´ee

pour une largeur constanteL= 4 mm.

Pour les simulations par transform´ee de Fourier des structures unidimensionnelles pr´esent´ees

dans la suite de ce m´emoire, nous choisissons d’utiliser une largeur de grille et une densit´e de

11

On pourrait faire le calcul en deux ´etapes en calculant d’abord le champ proche (w <20µm) sans annuler

les ondes ´evanescentes, puis le champ plus lointain en annulant ces composantes. Nous ne l’avons pas fait car cela

ne pr´esente pas d’int´erˆet pour nos structures dont les longueurs focales sont de quelques centaines de microns.

Rappelons de plus queE

L(

u,0

+

) n’est certainement pas connu avec assez de pr´ecision pour se lancer r´eellement

dans des calculs significatifs.

points qui donnent une erreur similaire de l’ordre du pourcent. Les valeurs retenues sont alors

n ≃16 µm

−1

et L= 2000µm.

Un exemple de cartographie simul´ee est pr´esent´e sur la Figure 4.4 (b) pour la lentille de

r´ef´erence. Le calcul d’une carte de 2

15

×250 points n´ecessite environ 1 minute. Elle est ensuite

sous-´echantillonn´ee `a 257×250 points pour le trac´e et la comparaison avec la Figure 4.4 (a).

Nous disposons donc de deux m´ethodes num´eriques tr`es diff´erentes permettant de calculer

l’intensit´e diffract´ee par une structure uni-dimensionnelle `a des vitesses proches. Nous les avons

alors ´etalonn´ees et compar´ees.

Dans le document Manipulation d'atomes froids par des puces atomiques optiques (Page 96-100)