Meilleur foyer RdG=1 Figure 5.7 Les trois positions considérées pour le meilleur foyer.
5.4 Modèle virtuel
5.4.1 Simulations avec miroir déformable frontal
Lorsque la première surface optique du système est le miroir déformable, le problème est simplifié et décrit par les équations 5.8 et 5.26. De plus, en prévision des expériences de la sec- tion 5.5, on choisit les paramètres suivants pour les simulations. La longueur focale de l'ima- geur est de /o = 12.5 mm et on utilise ici une lentille paraxiale parfaite. Le diamètre du miroir est de Dm = 100 mm et le détecteur a une semi-longueur de Hmax = 2.85 mm. Selon l'équa-
tion 5.1, on obtient une valeur de La = 219.19 mm et un angle 9max = 12.85 degrés. Le
stop est placé sur la lentille parfaite et a un diamètre de 0.568 mm, produisant un / / # = 22 pour l'imageur. Cette valeur correspond à la limite supérieure qu'il est possible de sélection- ner avec la lentille expérimentale et est dans l'ordre de grandeur qui respecte l'équation 5.26. Finalement, on utilise une longueur d'onde de A = 0.55 pm pour toutes les simulations.
Paraboles
Pour la première simulation, on produit sur le miroir déformable des formes paraboliques telles que décrites précédemment, avec les paramètres énumérés à la première ligne du ta- bleau 5.1. La figure 5.8 montre le résultat de la simulation pour la distorsion calculée avec les équations 2.2 et 2.3 pour ce système. Puisque la référence est au centre de l'image, la zone sans distorsion au centre montre que le grandissement est bien constant comme prévu. Ensuite, il y a la transition jusqu'à la zone non modifiée, où la distorsion atteint une valeur de -50% par rapport au centre, correspondant bien au RdG = 2 visible à la figure 5.9. Plus précisément, l'angle du champ de vue donné par ZEMAX est l'angle final 9 et on peut le relier à l'angle <p = arctan(r/L0) par le RdG(r). Avec rzi = 10 mm et un RdG = 2 dans
cette zone, on s'attend à ce que la zone d'intérêt soit jusqu'à 9 = 1.31 degré. De la même façon pour la zone de redressement, avec rZR = 10 mm, elle doit se finir à 9 = 5.22 degrés.
Ces valeurs d'angles 9 séparant les trois zones sont bien celles obtenues avec la simulation. 10
0
4 6 8 10 Champ de vue (degrés)
14
Figure 5.8 - Distorsion f tan(9) lorsque le miroir produit des paraboles créant une zone de grandissement constant au centre. Dans la zone inchangée, la distorsion de -50% correspond bien à un RdG = 2.
4 6 8 10 Champ de vue (degrés)
12 14
Figure 5.9 - RdG produit en fonction de l'angle du champ de vue pour les déformations paraboliques sur le miroir déformable. On obtient exactement les valeurs de RdG et d'angles 9 prévues par la théorie.
5.4 Modèle virtuel 99
À la figure 5.9, on observe des dépassements (overshoot) aux deux transitions. Ils sont explicables par le fait qu'on effectue une dérivée numérique contrairement à une dérivée analytique. Bien que la surface et la pente soient des fonctions continues, la courbure est définie par parties avec ces paraboles et il est normal que le RdG dépendant de la dérivée seconde de la surface soit aussi discontinu. En utilisant une fonction gaussienne, une surface dont également la courbure est continue, il n'y aura pas de ces dépassements à la figure 5.15.
Ensuite, on veut déterminer comment sont influencées la qualité d'image et les aberra tions. Pour le moment, le détecteur est situé au plan image original, soit à 12.5 mm de la lentille parfaite de l'imageur. Pour voir comment varie l'empreinte dans le plan image, la figure 5.10 montre le rayon de moyenne quadratique en fonction du champ de vue pour cette simulation. Comme on pouvait s'y attendre, la défocalisation dans la zone d'intérêt produit l'empreinte la plus large au centre. Puis, dans la zone de transition, on remarque que l'em preinte varie en fonction du champ de vue, laissant croire qu'il n'y a pas seulement de la dé focalisation, mais également de l'astigmatisme. Bref, même si le RdG tangentiel est constant dans cette zone de redressement, le RdG sagittal ne l'est pas. Par contre, cela n'est pas né cessairement problématique étant donné que la zone de redressement est choisie dans la zone du champ de vue qui est moins intéressante à imager. Finalement, dans la zone où le RdG demeure à 1, étant donné qu'on utilise une lentille parfaite, on a bien un rayon nul comme prévu.
f 15
ï
g- 31
î.
fi 5E °
« ro ce . 1 ■ ■ J L ' I Limite de diffraction Rayon RMS i _ i i 4 6 8 10Champ de vue (degrés)
12 14
Figure 5.10 Simulations du rayon de moyenne quadratique (RMS spot size) en fonction du champ de vue pour les déformations paraboliques. C'est au centre, dans la zone d'intérêt où le RdG = 2, que l'empreinte estlaplus large. Puisque le / / # a été choisi pour respecter le critère de Rayleigh avec un RdG = 2, il est normal que le rayon de moyenne quadratique soit inférieur au rayon de la tache de diffraction.
On utilise par la suite quatre champs de vue pour bien montrer ce qui se produit, soit au centre à 0 degré, dans la zone d'intérêt à 1 degré, dans la zone de redressement à 3 degrés et dans la zone non modifiée à 12.85 degrés. Le schéma de la figure 5.11 montre comment se comporte l'empreinte dans le plan image pour ces quatre champs alors que le schéma de la figure 5.12 présente les aberrations transverses, en unités arbitraires, pour ces quatre mêmes champs. Pour les deux champs à l'intérieur de la zone d'intérêt, soit à 0 degré et à 1 degré, on a pratiquement les mêmes empreintes et les mêmes aberrations. Cela est dû uniquement à la défocalisation, montré par les droites identiques en x et en y à la figure 5.12. Dans la zone de transition, c'est un mélange de défocalisation et d'astigmatisme, cette dernière aberration étant due à la courbure différente en x qu'en y. On peut expliquer ce phénomène par le fait que dans l'axe tangentiel (radial), les paraboles sont centrées en r = rzi + TZR alors que
dans l'axe sagittal, la symétrie est autour de l'axe optique à r = 0. Finalement, dans la zone non modifiée, puisque le miroir est plan et qu'on utilise une lentille parfaite, on n'a aucune aberration comme prévu. De plus, ces simulations montrent bien que lorsque l'empreinte est suffisamment petite, on a bien produit que de l'astigmatisme et de la défocalisation, en accord avec la soussection 5.3.2. < . f ♦ ♦ * ♦ • • ♦ + * + 1 I I I -
o
, i
■ ■ ' » r + • ! • ♦ .1 * ■ + t A ► . r H r ♦ * < • . 1 ►1
■ i 'e=o*
e-r
o
e=3° «-,...«*,
Figure 5.11 Empreinte à l'image pour quatre champs de vue. Dans la zone d'intérêt, à 0 et à 1 degré, l'empreinte est symétrique à cause de la défocalisation. Dans la transition, à 6 = 3 degrés, il y a un mélange de défocalisation et d'astigmatisme produisant une empreinte ovale. Dans la zone non modifiée, il n'y a pas d'aberration et l'empreinte est ponctuelle.
5.4 Modèle virtuel 101
e-o°
e-f
e-3°
' ' i 1 1 1 9=12.85'Figure 5.12 - Aberrations transverses à l'image pour quatre champs de vue. Dans la zone d'intérêt, àO et à 1 degré, les droites identiques en x et en y sont signe de défocalisation. Dans la transition, à 9 = 3 degrés, il y a un mélange de défocalisation et d'astigmatisme produisant des droites avec des pentes différentes en x et en y. Dans la zone non modifiée, il n'y a pas d'aberration et les droites ont une pente nulle.
Ensuite, pour voir quelle est l'influence de la défocalisation sur la qualité d'image, la figure 5.13 présente comment est affectée la MTF tangentielle pour ces quatre champs. On voit que la défocalisation abaisse la MTF aux basses fréquences et monte légèrement celle-ci aux hautes fréquences.
Finalement, pour vérifier l'équation 5.25 donnant l'amplitude du front d'onde dans la pupille de sortie, on obtient avec ZEMAX une amplitude crête-à-crête de 0.3344A, corres- pondant bien à la valeur de 0.3345A calculée par la formule.
Gaussiennes
On remplace maintenant les déformations paraboliques sur le miroir déformable par des déformations ayant une forme gaussienne. Tout d'abord, en positionnant cette déformation au centre du miroir, avec les caractéristiques décrites à la première ligne du tableau 5.2, on obtient la courbe de distorsion de la figure 5.14. Encore une fois, étant donné qu'on a un RdG = 2 au centre, visible à la figure 5.15, on a bien une distorsion de -50% dans la zone non modifiée. Par contre, on voit qu'il n'y a pas de zone avec un RdG constant au centre comme précédemment et que la distorsion varie rapidement.
0.8
~ 0.6
0.4
0.2
\ >yV i i T . 0 degré\ ■ -Limit* d* diffraction - - 1 degrè^ s. ^ v 3 degrés - ■ 12.85 d e g r é s ^ " ^ ^ . . ^ ^ ^20 40 60
Fréquence spatiale (cycles/mm)
80
Figure 5.13 - MTF tangentielle pour les quatre champs. Les courbes à O e t à l degré sont confondues, comme prévisible par la ressemblance entre ces deux champs. L'impact de cette défocalisation sur la MTF était anticipé, abaissant la modulation aux basses fréquences en échange d'une augmentation aux hautes fréquences.
4 6 8 10 Champ de vue (degrés)
14
Figure 5.14 - Distorsion f tan(6) lorsque le miroir produit une gaussienne ayant une amplitude de Ag = 28.51 pm et une largeur de a — b mm. Quand le RdG = 2, on a
5.4 Modèle virtuel 103
4 6 8 10 Champ de vue (degrés)
14
Figure 5.15 - RdG produit en fonction de l'angle du champ de vue pour une déformation gaussienne sur le miroir déformable.
Ensuite, pour bien voir l'effet sur les aberrations, on trace le rayon de moyenne quadra- tique en fonction du champ de vue, premièrement pour le cas où la gaussienne se situe au centre du miroir à la figure 5.16, puis dans le cas où cette même déformation est déplacée à une distance de 30 mm du centre du miroir à la figure 5.17. La première constatation est que la valeur maximale du rayon de moyenne quadratique de 11.4 pm quand RdG = 2 est la même pour la parabole que pour la gaussienne centrée ou la gaussienne décentrée. C'était prévisible par l'équation 5.25 qui ne dépend que de RdG max et non de la forme actuelle de la surface. Également observable en comparant la gaussienne centrée et celle décentrée, l'influence sur le grandissement et sur les aberrations produites est pratiquement la même. Puisqu'on est dans la condition des petits angles partout sur la surface, soit r << La, cette
ressemblance démontre bien que l'effet sur le grandissement ou sur la qualité d'image est le même partout pour une forme de déformation donnée, même si elle est décentrée.
15 a) g- S
1 io
O" •v c cI
° 5 <u ■o c 1 T 1 ■ J L < - - l - J Limite de diffraction Rayon RMSl
- 4 6 8 10 Champ de vue (degrés)12 14
Figure 5.16 - Rayon de moyenne quadratique en fonction du champ de vue avec une gaussienne centrée sur l'origine. Au centre, où RdG = 2, ia valeur du rayon de l'empreinte est encore de 11.4 um comme c'était le cas avec les paraboles produisant un RdG = 2 dans une zone constante.
E 15
Limite de diffraction Ravon RMS
4 6 8 10
Champ de vue (degrés)
Figure 5.17 - Rayon de moyenne quadratique en fonction du champ de vue avec une gaussienne décentrée de 30 mm. Le fait de déplacer la déformation n 'influence pas le RdG ou les aberrations produites puisqu 'on est dans l'approximation des petits angles partout sur la surface.
5.4 Modèle virtuel 105